Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng MBC.. Gọi V, V lần lượt là thể tớch của cỏc khối chỳp 1
Trang 1Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2012 -2013
ĐỀ THAM KHẢO SỐ 01 MễN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt Cừu I (2 điểm)
Cho hàm số 3 2
y x x x cú đồ thị là (C) và hai điểm A( 1;3), B(1; 1)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tỡm cỏc điểm M thuộc (C) sao cho tam giỏc ABM cừn tại M
Cừu II (2 điểm) 1. Giải phương trỡnh 2
4
2 Giải bất phương trỡnh: 3 2 3
x 3x 2 x 2 6x 0 (x Ă )
3 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hệ phương trỡnh sau cỳ nghiệm:
(x, y )
Ă
Cừu III (1 điểm) Cho hỡnh chỳp S.ABCD cỳ đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh 2a;
SA SB SC 2a Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V lần lượt là thể tớch của cỏc khối chỳp 1 S.ABCD và S.BCNM
a) Tớnh tỷ số V1
V b) Chứng minh V 2a3
Cừu IV (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mún x + y + z = xyz và x > 1, y > 1, z > 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P x 21 y 12 z 12
Cừu V (1 điểm) Tỡm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của
2
P x x x x x
Cừu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2; -1) Đường phõn giỏc trong của cỏc gúc B và C lần lượt cú phương trỡnh x 2y 1 0 ;
x y Viết phương trỡnh đường thẳng BC 3 0
Cừu VII (1 điểm) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P)xyz1 0 và đường thẳng: d:
3
1 1
1 1
2
x
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trỡnh của đường thẳng nằm trong (P), vuụng gúc với d sao cho khoảng cỏch từ I đến bằng 3 2
Cừu VIII.(1 điểm) Giải phương tŕnh 42x x2 2x3 16.2 4x8 2x34x4 (x Ă )
============== Hết =============
Trang 2Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2012 -2013
Cừu 1.Tam giỏc ABM cừn tại M suy ra MA = MB M thuộc đường trung trực của đoạn AB
2
x
x y y Do M thuộc (C) nờn tọa độ M thỏa mún hệ pt
2
2
2 2
x
x
y
Cừu 2 1
2
x x x x
sinx1 sin 2 xcos cos 2x x 1 sinxcosx 1
1
2 2
2
x k
Cừu 2 2.Điều kiện xỏc định: x 2 Đặt y x 2, điều kiện y 0
Bất phương trỡnh trở thành: x3 3xy2 2y3 0 x y 2 x 2y 0 x y
x 2y 0
Với x = y thỡ
2
x 0
Với x + 2y ≥ 0 thỡ
2
x 0
x 0
x 0
4(x 2) x
x 2 2 3
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh đú cho là T 2 2 3;
Cừu 2.3Ta cỳ hệ:
Điều kiện xỏc định: 2 x 2
(1) x 12x y 2 12 y 2
f (t) t 12t, t 2;2
f '(t) 3t 12 3 t 4 0, t 2;2
Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trờn 2;2 (3)
Ta cỳ x và y 2 cựng thuộc đoạn 2;2 và f (x) f (y 2) nờn kết hợp (3) suy ra x y 2 Thay vào (2) ta cú phương trỡnh 3 4 x2 4x2 m (4)
Do đú hệ phương trỡnh đú cho cỳ nghiệm khi và chỉ khi phương trỡnh (4) cỳ nghiệm x thuộc đoạn [-2;2]
Đặt g(x) 3 4 x2 4x , x [2 2;2]
Trang 3Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2012 -2013
g '(x) 0 x 0 g(0) 6; g( 2) g(2) 16
x [ 2;2]min g(x) 16; m ax g(x)x [ 2;2] 6
Vậy hệ phương trỡnh đú cho cỳ nghiệm khi và chỉ khi 16 m 6
2
S.ABC
V
S.ACD
V SA SD 8 Suy ra 1 S.MBC S.NCM
3V
8
V 8
2 Gọi O là giao điểm của AC và BD
Dễ thấy SOC BOA SO BO BSD vuụng tại S
2
4
Mà
SD 12a SD
2
P
(1)
Mà x 1 y 12 y 1 z 12 z 1 x 12
(3)
1
Mà
1
2
(6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra P 3 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 3
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 3 1
Cừu 6.Gọi BE, CF lần lượt là đường phõn giỏc trong của cỏc gúc B và C của tam giỏc ABC
Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua BE và CF
Đường thẳng AM cú phương trỡnh 2x y 3 0
Trang 4Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2012 -2013
Tọa độ giao điểm I của AM và BE là nghiệm của hệ phương trỡnh 2x y 3 0 x 1
Do đú I(1;1) Vỡ I là trung điểm của đoạn thẳng AM nờn M(0;3) Tương tự N(-2;-5)
Đường thẳng BC đi qua M và N nờn cú phương trỡnh 4x y 3 0
Cừu 5.Số hạng tổng quỏt của 5
1 3x là C5k( 3) k x k
Số hạng tổng quỏt của 7
1 2x là C7m2m x m
Số hạng chứa x6 trong P x( ) là 2 4 4 4 5 5 5
2x C ( 3) x 3xC 2 x
Suy ra hệ số của x6 trong P x( ) là 4 4 5 5
2C ( 3) 3C 2 1206
Cừu 7.• (P) cú vộc tơ phỏp tuyến n(P) (1;1;1) và d cú vộc tơ chỉ phương u (1;1;3)
) 4
; 2
; 1 ( )
(P I
d
• vỡ (P); d cú vộc tơ chỉ phương u n(P);u(4;2;2)
• Gọi H là hỡnh chiếu của I trờn H mp (Q)qua I và vuụng gỳc
Phương trỡnh (Q): 2(x1)(y2)(z4)02x yz40
Gọi d1 (P)(Q)d1cú vộctơ chỉ phương
n(P);n(Q)(0;3;3)3(0;1;1) và d1 qua I
t z
t y
x ptd
4 2
1 :
Ta cỳ Hd1H(1;2t;4t)IH (0;t;t)
3
3 2
3 2 2
t
t t
IH
• TH1:
1
7 1
5 2
1 : )
7
; 5
; 1 ( 3
t
TH2:
1
1 1
1 2
1 : )
1
; 1
; 1 ( 3
t
Cừu 8. Với x 2 PT 42 x2(24x41) 2 (2 x3 4x41)0 (24x41)(42 x2 2 )x3 0 TH1: 24x4 1 4x40 x 1
TH2:
3
4 2 2
2 x 2x x32 x 2 4 3
x x ( 2)( 2 2 4) 2( 2)
x
x
x=2 Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 2