báo cáo chuyên đề và bài tập nhóm 5

LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG 3 Bài 5 Cho  là một trị riêng của toán tử tuyến tính f Chứng minh n là trị riêng của ( 2)nf n  Giải Vì  là một trị riêng của toán tử tuyến tính f nên v   sao cho[.]

LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG

Vì  là một trị riêng của toán tử tuyến tính f nên  v sao cho f v( )v

Ta chứng minh rằng f v n( )n v (*) (n 2) bằng phương pháp qui nạp

Giả sử (*) đúng với n k k ( 2) nghĩa là f v k k v

Ta cần chứng minh (*) đúng với n k 1nghĩa là chứng minh f k 1( )v k 1v

Thật vậy: Ta có f k 1( )v  f f v( ( ))k  f(k v) ( Do giả thiết qui nạp) (1)

Do tính chất của ánh xạ tuyến tính nên f(k v)k( ( ))f v  k( )v k 1v (2)

Suy ra (*) đúng với n k 1 (k2) Do đó: f v n( )n v(n 2)

Vậy n là một trị riêng của fnn 2 

Bài 11 Tìm đa thức đặc trưng của các ma trận sau đây:

b c

Đa thức đặc trưng của ma trận A là:   4

Ta thấyP A( ) phân rã trên  và P A( ) 0    0 (bội 4)

Để A chéo hóa được thì

Vậy các vectơ riêng của AB có dạng: u a;0 ,a0

* Tìm vectơ riêng của 0 0

1 0

BA  

 

Vậy các vectơ riêng của BA có dạng: v 0; ,b b0

Ta có u v a  , 0,b0.Nên ABvà BA không có chung vectơ riêng nào

Bài 29 Cho n * Chứng minh:  A M K n  ta có: P A T   P A 

Suy ra u 3 2, 1,1   là một cơ sở của E(16)

Khi đó, Sv v v1; ;2 3 là một cơ sở của  gồm các vectơ riêng của f.3

b) Đa thức đặc trưng của B là   3 2 2  3

111

22

Vậy E  0  a a a;2 ; ;0a , dim 0 1E  và có vectơ cơ sở là 1;2;1;0 

 Dạng chính tắc Jordan của A có dạng (1 khối):

a) Hãy tìm đa thức tối tiểu của f , từ đó cho kết luận về tính chéo hóa của toán tử f.

b) Tìm một cơ sở của  sao cho trong đó ma trận biểu diễn của3 f có dạng chính tắc Jordan Từ

đó hãy chỉ ra một cơ sở cho mỗi không gian con đặc trưng của f

Chọn u 3 1;1;0 , vì 1;1;0 là vector riêng của f ứng với giá trị riêng 3.

Ta có ma trận chuyển cơ sở từ S0 sang S:

45.3 14( 2).3 5.5

u u u u v v v v  Các biểu thức dưới đây

có thể là tích vô hướng trong  không? Giải thích?3

, :

u v u v u v u v c) u v, : 2 u v u v1 1 2 24u v3 3 d) u v, :u v u v u v1 1 2 2 3 3

,với  ,   và với mọi u v, , wV

a) Biểu thức u v, :u v u v1 1 3 3 không thể là tích vô hướng vì chỉ thoả tính chất TVH1, TVH2,

u v u v u v u v  không thể là tích vô hướng vì không thỏa tính chất

(TVH1) của tích vô hướng

c) Biểu thức u v, : 2 u v u v1 1 2 24u v3 3 là tích vô hướng vì thỏa mãn 4 tính chất của tích vô hướng

Với mọi  ,   và với mọi u v w V, , 

d) Biểu thức u v, :u v u v u v1 1 2 2 3 3 không thể là tích vô hướng vì không thỏa mãn tính chất

TVH4 của tích vô hướng

 Tìm v1: v u1  1 (1,1,1)

 Tìm v2: v2 u2v1 Suy ra: 2 1

2 1

,0

u v v

3

u v v

u       u     Gọi W  u u u1; ;2 3 là không gian con của

ℝ4 sinh ra vởi các vector u u u1, ,2 3 vàW là không gian con của  trực giao với W4

a) Tìm một cơ sở của mỗi không gianW và W

b) Cho u 5;5; 3;1 4 Tìm hình chiếu trực giao pr u w  của u lên W và tính khoảng

cách d u , W từ u đến W

Giải a) Lập ma trận A là ma trận vectơ dòng của hệ u u u1; ;2 3

Hệ B ' {(1,6,4,0),( 5,2,0,2)} độc lập tuyến tính nên nó là cơ sở củaW.

b) Tìm cơ sở trực chuẩn của W

Áp dụng quá trình trực giao hoá Gram-Smidt để biến cơ sở u u u1, ,2 3thành cơ sở trựcchuẩn

 Tìm v1: v u1  1 2;1; 2;4 

 Tìm v2: v2 u2v1 Suy ra: 2 1

2 1

,1

u v v

Giải a) Ta chứng minh V V1 2 V1 V2

Ta thấy đa thức đặc trưng P A  không phân rã trên  Do đó ma trận A không có dạng códạng chính tắc Jordan.

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 2 Tìm đa thức tối tiểu của các ma trận sau:

111

22

Vậy E  0  a a a;2 ; ;0 a , dim 0 1E  và có vectơ cơ sở là 1;2;1;0

 Dạng chính tắc Jordan của A có dạng (1 khối):

a) Hãy tìm đa thức tối tiểu của f , từ đó cho kết luận về tính chéo hóa của toán tử f.

b) Tìm một cơ sở của  sao cho trong đó ma trận biểu diễn của3 f có dạng chính tắc Jordan

Từ đó hãy chỉ ra một cơ sở cho mỗi không gian con đặc trưng của f

 Với  1, ta giải hệ phương trình:

Chọn u 3 1;1;0 , vì 1;1;0 là vector riêng của f ứng với giá trị riêng  3

Ta có ma trận chuyển cơ sở từ S0 sang :S

Khi đó A PJP  1, với 1

1 2 2 0 4

1 1 1

45.3 14( 2).3 5.5

CHƯƠNG 5 – KHÔNG GIAN EUCLIDE

có thể là tích vô hướng trong 3

,với  ,   và với mọi u v, , wV

TVH2, TVH3, không thỏa tính chất TVH4.

Xét u=(0,1,0) Khi đó u u, =0 nhưng u¹q

b) Biểu thức 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

, :

u v =u v +u v +u v không thể là tích vô hướng vì không thỏa tính chất

(TVH1) của tích vô hướng.

chất TVH4 của tích vô hướng

Xét u=(0,1,0) Khi đó: u u, = - <1 0

¡ xét tích vô hướng Euclide Hãy áp dụng quá trình Gram-Smidt để biến

cơ sở {u u u1, ,2 3} thành cơ sở trực chuẩn:

2 2

u v v

2 2

u v v









b) Cho = 5,5, − 3,1 � ℝ4 Tìm hình chiếu trực giao prW(u) của u lên W và tính khoảng cách d u , W từ u đến W.

Giải a) Lập ma trận A là ma trận vectơ dòng của hệ {u1,u2,u3}

5

; ,42

Hệ B' {(1,6, 4,0),( 5,2,0,2)}= - độc lập tuyến tính nên nó là cơ sở của W^.

b) Tìm cơ sở trực chuẩn của W

Đặt v = =u (2;1; 2;4- )

Ta có v2= +u2 l v1; sao cho v2 ^v1 Ta suy ra : 2 1

2 1

,

|| ||

u v v

 Chứng minh (V V1 2)^ V1^ V2^

+( 1 2) , 1 2

íï Î

ïî mà <x, y>= 0 nên 1 ( )

1 2 2

íï Îïî