1756-5011-1-PB

Khoa hồc & Công Nghá»⁄ pdf

KHOA HOC VA CONG NGHE 43

PHUONG PHAP DAI HUU HAN TRONG PHAN TICH KET CẤU

Cuộc thi Quả táo vàng của Khoa KT & CN

1 Tổng quan về phương pháp dải hữu hạn

Để giải quyết một bài toán cơ học vật

rắn biến dạng tổng quát cần thiết phải tìm được

15 ẩn hàm (gồm 3 phương trình vi phân cân

bằng nội, 6 phương trình liên tục - phương trình

Cauchy, 6 phương trình quan hệ giữa ứng suất

- biến dạng), đồng thời các ẩn hàm này phải

thỏa mãn các điều kiện biên động học và tĩnh

học Điều này rõ ràng không thực hiện được đối

với những bài toán tổng quát do khó khăn về

mặt toán học Vì thế có nhiều phương pháp tính

ra đời nhằm giải quyết vấn đề trên Hiện nay

phương pháp số được ứng dụng nhiều nhất

trong phân tích kết cấu là phương pháp phần tử

hữu hạn (finite element method - FEM)

(*) Thac si, GVCH Khoa Ky Thuat & Cong

Nghệ Đại học Mở Bán công TP.HCM

LE VAN BINH(*)

FEM là một công cụ rất mạnh mẽ và linh hoạt trong việc phân tích kết cấu đã được

phát triển nhanh chóng và ứng dụng giải quyết

rất nhiều những bài toán cơ học Tuy nhiên đối

với những kết cấu có đặc tính hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản, nếu phân tích bằng FEM một cách đầy đủ là không cần

thiết và thường dẫn đến việc phân tích một bài

toán bậc cao để có thể thu được nghiệm tốt

Chính vì vậy bài toán chính xác đòi hỏi nhiều

công cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế, bài

toán được giải quyết một cách cứng nhắc hoặc phải thực hiện nhiều bước tính toán trung gian dài dòng và tốn thời gian Điều này thể hiện rõ

trong các bài toán phân tích kết cấu ở trạng thái

tĩnh (static analysis) của vật rắn 3 chiều hay những bài toán phân tích dao động và ổn định của các kết cấu không gian Do đó chúng ta

cần lựa chọn một phương pháp tính có thể giảm

bớt khối lượng tính toán bằng cách sử dụng linh

hoạt phương pháp phần tử hữu hạn để phân

tich các loại kết cấu mong muốn

Từ những vấn đề nêu trên, gần đây đã

phát triển một phương pháp phan tich két cau

có thể thỏa mãn những yêu cầu của bài toán đó

là phương pháp dải hữu hạn (finite strip method

- FSM) Trong phương pháp này, kết cấu được

chia thành những dải (strip) hoặc những miền

con (subdomain) 3 chiều như lăng trụ (prism)

hoặc lớp (layer) mà các dải đó có một cặp cạnh

(2-D) hay nhiều mặt đối diện (3-D) trùng lặp với

nhau ở các biên của kết cấu Do đặc tính của phương pháp, các kết cấu thường có dạng hình

học không thay đổi dọc theo một hoặc hai trục

tọa độ để kích thước mặt cắt ngang của các dải

44 TẬP SAN KHOA HỌC SỐ 4(5)-2005

(hoặc của lăng trụ hay lớp) không thay đổi từ

đầu đến cuối Vì vậy các kết cấu như dầm cầu

dạng hộp (box girder bridge) hoặc các loại tấm

mỏng (voided slab) rất dễ dàng chia thành các

dải hoặc lăng trụ, hay các loại kết cấu tấm và

(œ) tấm phẳng

(Plate Strips)

KZ

Lb

$5 79

(c) Céu ddm hSp cong

(Shell Strips)

2 Lựa chọn hàm chuyển vi

FSM có thể xem là trường hợp đặc biệt

của FEM bằng cách sử dụng hàm gần đúng

của chuyển vị (displacement approach) theo

mô hình tương thích Tuy nhiên, FEM sử dụng

một hàm xấp xỉ chuyển vị dạng đa thức trong

tất cả các chiều, trong khi FSM sử dụng các đa

wed f,00Y,

m=l

vỏ dày nhiều lớp đẳng hướng rất thuận tiện khi

chia thành các layer để nghiên cứu Các dạng

kết cấu sau đây sẽ minh họa cách chia phần tử

theo dải và áp dụng phương pháp tính toán FSM

(Œ) Tếm rỗng khoét lỗ †ròn

(Quadrilateral Finite Prisrrs)

) Tdm dèy nhiều lớp

(Finite Layers) thức đơn giản kết hợp với chuỗi hàm lượng giác

và các chuỗi đạo hàm riêng liên tục với điều kiện các chuỗi phải thỏa mãn một điều kiện tiên

quyết (priori) về điều kiện biên tại biên của các

dai (lang trụ, lớp) Công thức tổng quát của

hàm chuyển vị được cho bởi tích của các đa

thức và chuỗi Vì vậy, đối với các dải trong bài toán 2 chiều được giảm xuống bài toán một

chiều Hàm chuyển vị được viết như sau :

(2.1a)

Tương tự cho trường hợp “dải pri sm”, bài toán ba chiều được giảm xuống

thành bài toán 2 chiều :

=Š /(x,2)Y,

m=]

(2.1b)

Đối với “dải layer” bài toán ba chiều được phân tích như bài toán 1 chiều :

r t

w= » >» ấp (ZX AY,

m=l n=l

(2.1c)

Trong biểu thức trên, các chu ỗi đã được cắt bớt ở bậc thứ r và số hạng thứ

t; /„(x), /„(x,z), /„(z) là các biểu thức đa thức với các hằng số không xác định

cho số hạng thứ m và n của chuỗi XY, m2?" m tương ứng là các chuỗi thỏa mãn các

điều kiện biên theo phương x và y và chỉ rõ hàm độ võng trong các phương này

Chính vì thế bậc tự do của hệ thống giảm nên số ẩn số cần tìm giảm Bài toán

trở nên đơn giản hơn

KHOA HOC VA CONG NGHE 45

Thí dụ: Hàm độ võng của dải chịu uốn được xác định như sau:

(1) phần chuỗi của hàm chuyển vị này được dẫn từ phương trình vi phân chủ

đạo của bài toán dầm chịu uốn (đương nhiên, một “dải” có thể xem như một kết

cấu dạng thanh là bài toán 1 chiều của cơ học vật rắn), cụ thể:

4

Y= iY (2.2)

a

Trong d6 a 1A chiéu dai cia dam (dai) va u 1a thong sé

Dạng tổng quát nghiệm của phương trình cơ bản (2.2) là:

TŒ)=Ẳ si 2) +C, cos 2) CG snh| #2] +C, cost{ | (2.3)

vGi cdc hé s6 Cj Cp dude x4c dinh tir diéu kién bién

(1) Phân äa thức của hàm chuyển vị hay ham dang (shape function) 14 mét

đa thức liên kết với thông số chuyển vị nút, và nó mô tả trường chuyển vị tương

ứng bên trong mặt cắt ngang của dải khi thông số chuye ”n vị nút được cho bằng

đơn vị Hàm dạng phụ thuộc vào hình dạng mặt cắt ngang của strip và số đường

nút bên trong strip

(a) (b) (c)

L b/2 + bj? Ăd L b/2 iL: b/2 4

(d) (e)

(g)

Hình 2 - Mặt cắt ngang dạng dải và dạng lăng trụ

Kíihiều -©@/;LIcj =i N= £ =,

Hàm dạng đối với phần tử dải chịu uốn trên hình 2b, ta có hàm dạng:

(c.Eš -z> }x€ -x]

Hàm chuyển vị sẽ la w= INlB}= >4 lic, Ic, Is},

m=l

Trong đó, các thông số của đường nút là: § Ì, = „9,„ w,„9,„

w„; và Є là chuyển vị và góc xoay cho số hạng thứ zm của chuỗi Y„ và xem như là các ẩn số cần tìm theo ESM

Tư tưởng chủ yếu của phương pháp FSM cũng tương tự như FEM là tìm

dạng gần đúng của ẩn hàm trong các miễn con Vẹ (hay còn gọi là phần tử

element) thuộc miễn V của nó Tuy nhiên dang V, của phương pháp FSM có tính

chất không thay đổi trong toàn miễn V do đó chỉ áp dụng trong các bài toán như

đã nêu ở trên Các miễn con V„ này liên kết với nhau trên biên gọi là đường nút

(nodal line) Các thông số của đường nút có thể gọi là bậc tự do của phần tử và

xem là các ẩn số cần tìm Sau khi tính toán được các thông số chuyển vị của

đường nút {Š},, các thành phần chuyển vị, ứng suất, biến dạng của phần tử sẽ

được “ nội suy ” bằng ma trận các hàm dạng thông qua các phép nội suy của

Lagrange hay Hermitian Để rõ hơn về phương phap nay, ta xem bang so sánh

sự khác nhau của phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu han

Phương pháp phần tử hữu hạn

(FEM)

Phương pháp dải hữu hạn

(“SM)

Có thể áp dụng phân tích kết cấu với

mọi dạng hình học, mọi điều kiện biên

và vật liệu khác nhau Là công cụ rất

mạnh và linh hoạt

Trong bài toán tĩnh, thường được áp

dụng cho các kết cấu với gối tựa đơn giản, có hoặc không có gối tựa đàn

hồi trung gian, đặc biệt là ca Âu Trong

bài toán động, thường sử dụng cho kết cấu với mọi điều kiện biên nhưng không có øối tựa rời rạc

Thường có số lượng phương trình

nhiều và ma trận độ cứng có dải rộng

(bandwith) tương đối lớn Có thể

không tìm được lời giải vì giới hạn của

các công cụ tính toán

Số lượng phương trình ít hơn và ma

trận độ cứng có dải hẹp, đặc biệt đúng

cho bài toán gối tựa đơn giản Do đó

thời gian tính toán ít hơn nhiều để tìm

ra lời giải chính xác

Số lượng dữ kiện đưa vào rất lớn và dễ

gây ra các lỗi lầm, đòi hỏi sự tự động

hoá việc phủ lưới và phát sinh tải

trọng

Số lượng dữ kiện đưa vào rất ít vì các đường lưới ít do việc giảm kích thước

bài toán phân tích

Số lượng dữ liệu xuất ra lớn bao gồm

tất cả các chuyển vị nút và ứng suất

phần tử Các phần tử bậc thấp hơn sẽ

không có được ứng suất chính xác tại

các nút và ứng suất trung bình được

nỘI suy

Dễ dàng chỉ r õ các chuyển vị và ứng

suất cần tìm và xuất ra kết quả một

cách chính xác

Đồi hồi một số lượng lớn các yếu tố

cốt lõi và rất khó khăn để lập trình

Thông thường cần có những kỹ thuật

tính toán cao phải dùng đến như

phương pháp thu gọn khối lượng hay

phương pháp lặp để giảm các yêu cầu

chính Cần một số nhỏ các yếu tố cốt lõi và

dễ lập trình hơn Bởi vì chỉ cần một vài trị riêng thấp nhất nên từ 2 đến 3

số hạng đầu tiên của chuo Fi cũng cho

kết quả khá chính xác, có thể giải các

ma trận bằng các ma trận con trị riêng

chuẩn

3 Một số kết quả tính toán Khảo sát bài toán ứng suất phẳng của

lý thuyết đàn hồi, được giải theo 3 phương pháp

khác nhau:

1 Sử dụng phương pháp giải tích của lý

thuyết đàn hồi

2 Sử dụng FEM (phần mềm SAP2000

- hãng CSI, Mỹ)

3 Sử dụng FSM với 2 loại phần tử bậc thấp (LO2) và bậc cao (HO2) (chương trình

FSMISA - Lê Văn Bình - ĐH Mở BC TpHCM)

0.E+00 1.E-03 2.E-03

3.E-03 4.E-03 5.E-03

6.E-03

7.E-03 8.E-03

BIỂU ĐỒ CHUYỂN VỊ

(a=8, b=4; a/b=2)

—mM—@G}

== FEM

—— LO2

—&— HO2

9.E-03 + T T T T T T T

0 05 1

T T T T T T T T 1 (m)

Nhận xét: Kết quả tính toán cho thấy,

mặc dù dùng SAP2000 với lưới phần tử là

8x8=64 phần tử, nhưng lời giải của FEM cho kết

quả không chính xác so với FSM chỉ với lưới 4

strip (lời giải của lý thuyết đàn hồi xem như

chính xác) Điều này có thể dễ dàng lý giải

được, do FEM chỉ tính toán và quy đổi toàn bộ

tải trọng và độ cứng của kết cấu về nút, do vậy

kết cấu bị "cứng hóa", do vậy lời giải chuyển vị

đương nhiên sẽ nhỏ hơn so với FSM và lý

thuyết đàn hồi

Tương tự như FEM, khả năng tự động hóa của FSM rất cao, do vậy chỉ cần sử dụng một

chương trình với thư viện phần tử được lập sẵn thì có thể giải quyết hầu hết các bài toán kết

cấu như đã nêu ở phần 1 Sơ đồ giải thuật thực

hiện theo chương trình FSMISA như sau:

BAT BAU |

(Start)

Ị

ĐỌC DỮ LIỆU NHẬP (Read Data Input)

LAP TREN TAT CA CAC SO HANG CUA CHUO!

(Loop on Number of Terms)

Y

NHAP CAC HE SOT ẢI TRỌNG CHUỒI

(Read Fourier Load Coefficient)

Y

LAP TREN TAT CA CAC PHAN TU DAI

1

TÍNH TOÁN MA TRAN BO CUNG VA TAI TRONG PHAN TU

Ị

| LẮP GHÉP VÀO MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG TỔNG THỂ

(Assemblage of Stiffness and Load Matrix)

(Form Siffness and Load Matrix for Strip)

ee,

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÌM THÔNG SO DUGNG NUT

— Y

| XUẤT CÁC THÔNG SỐ CHUYỂN VỊ ĐƯỜNG NÚT

Y

TINH TOAN CAC THANH PHAN UNG SUAT, CHUYEN VI

(Output Internal Forces)

yo

KET THUC

(Stop)

4 Két luan

FSM đặc biệt có hiệu quả khi giải các

kết cấu thỏa mãn các điều kiện như đã nêu ở

phần 1 Trong thực tế có rất nhiều các kết cấu

như cầu dầm hộp (box girder bridge), cầu dây

văng (cable-stayed bridge), kết cấu tấm vỏ

bằng các vật liệu phức tạp có thế áp dụng

FSM để tính toán Ngoài ra, trong bài toán phân

tích kết cấu chịu tải di động thì FSM khẳng định

ưu thế vượt trội so với FEM Các phần mềm

phần tử hữu hạn hiện nay chỉ có khả năng phân tích kết cấu chịu tải di động trên phần tử 1 chiều (1-D element) (chẳng hạn như SAP2000), do

đó vẫn hạn chế về khả năng tính toán Với

FSM, hoàn toàn có thể phân tích bài toán trên

các "dải layer" với phương pháp tính đơn giản, khả năng tự động hóa tính toán và độ:chính xác cao,

KHOA HOC VA CONG NGHE 49

TOM TAT

Phương pháp dải hữu hạn (FSM) là một công cụ mạnh mẽ trong phân tích các kết cấu có dạng hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản, chẳng hạn như cầu dầm hộp, cầu dây văng, các kết cấu tấm vỏ Ngoài ra, phương pháp này rất tiện lợi để phân tích các kết cấu chịu

tải trọng di động, phân tích dao động và ổn định của kết cấu Bài báo này trình bày những ứng dụng cơ bản của phương pháp, từ đó có thể phát triển thành một phần mềm chuyên dùng để tính toán cho các công trình cầu chịu tải trọng di động

SUMMARY

Finite strip method (FSM) is a powerful tool for analyzing structures having regular geo- metric plans and simple boundary conditions, such as box girder bridges, cable-stayed bridges, plate and shell structures, etc Furthermore, this method is very convenient to analyze structures having moving load, and the vibration and stability of structures This article shows some basic applications of the FSM, thereon, specific software for FSM can be developed to compute for proj- ects with bridges under moving load.