ly-thuyet-on-tap-chuong-i-chi-tiet-toan-lop-12

Ôn tập chương I A Lý thuyết 1 Tính đơn điệu của hàm số 1 1 Nhắc lại định nghĩa Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K Ta nói Hàm số y = f(x) đồ[.]

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải

1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với x  K thì f(x) không đổi trên K

Ví dụ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f (x) 0 f (x) 0 ;     x K

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên

Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với  x 2

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

2.1 Quy tắc

- Bước 1 Tìm tập xác định

- Bước 2 Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

- Bước 3 Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (; 1) và (3; )

3 Khái niệm cực đại, cực tiểu

- Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là ; b là

) và điểm x0(a; b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và

0

xx thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và

2 Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại

(giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì

x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì

x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Ví dụ Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x3 + 3x2

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi x

b) Nếu f’(x0) = 0; f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

f”(1) = f”(– 1) = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f (x) M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M

D

Mmax f x

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

f (x)m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3

7 Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc

không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi; xi+1) Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất trên khoảng đó Chẳng hạn hàm số f (x) 1

x

 không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1)

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số y 2xx2 trên khoảng

8.1 Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng

dạng ( a; ); ( ;b) ; (  ; ) Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của

đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

Trên các khoảng (; 0) và (2;  ); y' âm nên hàm số nghịch biến

Trên khoảng (0; 2); y’ dương nên hàm số đồng biến

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = y(2) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) = –1

+ Các giới hạn vô cực:

xlim ( x 3x 1) ; lim ( xx 3x 1)

Ta có y(0) = – 1 nên (0; – 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy Điểm đó cũng

là điểm cực tiểu của đồ thị

Đồ thị hàm số được cho trên hình bên

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 3x + 1

x  1 

f’(x) + 0 +

f(x) 2

3 Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và đi qua điểm A(1; 2)

Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)

Trên các khoảng ( ; 1) và (0; 1) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng (– 1; 0) và (1; ) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biên

+ Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và yCT = y(0) = – 1

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và x = 1; yCD = y(– 1)= y(1) = 0

+ Giới hạn tại vô cực:

Và y’ không xác định khi x = –1; y’ luôn luôn dương với mọi x khác – 1

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và ( 1; )

11 Sự tương giao của các đồ thị

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1)và (C2), ta phải giải phương trình f(x) = g(x) Giả sử phương trình trên có các nghiệm x0; x1; … khi đó, các giao điểm của (C1)và (C2) là M0 (x0; f(x0)); M1 (x1; f(x1))…

Ví dụ Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 3x + 2 và đường thẳng y =

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; 1) và (0; 1)

Nghịch biến trên khoảng (–1; 0) và (1;)

b) Hàm số đã cho xác định với mọi x

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (; 0) và (2; )

Nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Ta thấy với mọi x khác – 1 thì y’ > 0

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ; 1 và ( 1; )

Ta thấy, với mọi x ≠ 0 thì y’ > 0

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 0 và (0;) (đpcm)

Bài 3 Chứng minh hàm số y 8xx2 đồng biến trên khoảng (0; 4); nghịch biến trên khoảng (4; 8)

Bài 4 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

Phương trình y’ = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị

Bài 5 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

Và y”(1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

y”(– 1) = – 8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = – 1

55



55

y”(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 3

Bài 6 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3).x – 3 đạt cực đại tại x = 1

Vậy để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì m > 3

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) Hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 2 trên đoạn [–1; 2]

b) Hàm số

2

x 3xy

x 1





 trên đoạn [– 4; – 2]

max f (x) y(6) 2 3;min f (x) y(4) 0   

Bài 8 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

yx 1 x  Giá trị của M – 2m bằng bao nhiêu?

Lời giải

Điều kiện xác định: 2

1 x     0 1 x 1 Xét hàm số f (x)x 1 x 2 trên [–1; 1], có

1max f (x) a

8



Theo giả thiết ta có: 1a2 8 a2 64 a 8

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn là a = 8 hoặc a = – 8

Bài 10 Tìm các đường tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

Suy ra: đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 4 và x = 1

Trên các khoảng (; 0) và (1;  ); y'dương nên hàm số đồng biến

Trên khoảng (0; 1) thì y’ âm nên hàm số nghịch biến

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = y(1) = – 2

Bài 14 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 + 2x2

Trên các khoảng (; 0) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng (0; ) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến + Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và yCT = y(0) = 0

Hàm số không có cực đại

+ Giới hạn tại vô cực:

4

2 x

4

2 x

2

x2lim x 1

3 Đồ thị

Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = (– x)4 + 2(– x)2 = x4 + 2x2 = f(x)

Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng

Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (0; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; 0)

Bài 15 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x 2

Và y’ không xác định khi x = 1; y’ luôn luôn âm với mọi x khác 1

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và (1; )

+ Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; – 2); cắt trục hoành tại điểm (– 2; 0)

Bài 16 Cho hàm số y = – 2x3 + 3x2 – 1 có đồ thị (C) như hình vẽ Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình – 2x3 + 3x2 – 1 – m = 0

Lời giải:

Ta có: – 2x3 + 3x2 – 1 – m = 0 (1)

– 2x3

+ 3x2 – 1 = m

Do đó, số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị (C)

và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục Ox và đi qua điểm (0; m))

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+ Nếu m < – 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm

+ Nếu m = – 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm

+ Nếu –1< m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm

+ Nếu m = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm

+ Nếu m > 0 thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm