tat-tan-tat-ve-su-dong-bien-va-nghich-bien-cua-ham-so-toan-lop-12

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈[.]

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K)

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phần I Các bài toán không chứa tham số

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

1 Phương pháp giải

Bước 1 Tìm tập xác định D

Bước 2 Tính đạo hàm y’ = f'(x) Tìm các giá trị xi (i=1, 2, , n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định

Bước 4 Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

Bước 5 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn

A Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

B Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

D Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó

Ví dụ 4 Cho hàm số y  x 3 2 2x Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2;2).

B Hàm số đồng biến trên khoảng (;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) và đồng biến trên khoảng ( 2;2).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

Ví dụ 5 Cho hàm số y x sin x,2

2

  với x 0; Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên  0; B Hàm số nghịch biến trên  0;

C Hàm số nghịch biến trên 0;7

12



 

 

  D Hàm số nghịch biến trên

7 11

;

12 12

 

 

Lời giải

Tập xác định: D 0;

Đạo hàm: y 1 2sin x cos x 1 sin 2x

     ; y 0 sin 2x 1

2

    

(k )

         

       





Do   x 11

7 k

x 12



 



  

 



Bảng biến thiên

12



11

12 



y + 0  0 +

y

Chọn D

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số y = -x + 3x - 3x + 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định 3 2

đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến trên R

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;

C Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1;

D Hàm số luôn đồng biến trên R

Câu 2 Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên R?

Câu 6 Cho hàm số y 3x2 x3 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2

B Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2;3  

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2;3  

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3

Câu 7 Cho các hàm số sau:

A (I), (II) B (I), (II) và (III)

C (I), (II) và (IV) D (II), (III)

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2và đồng biến trên khoảng 2;2

B Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2và nghịch biến trên khoảng 2;2

C Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng  1;2

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng  1;2

A Luôn đồng biến trên R

B Luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

C Đồng biến trên từng khoảng xác định

D Luôn nghịch biến trên R

Câu 12 Cho hàm số Khoảng đồng biến của hàm số này

là

A (0;) B (;0) C (2;) D (0; 2)

Câu 13 ho hàm số: Trong các mệnh đề sau,

tìm mệnh đề sai:

A f(x) nghịch biến trên khoảng (5 0) B f(x) giảm trên khoảng

C f(x) nghịch biến trên khoảng ( 3 ; 1)  D f(x) đồng biến trên

Câu 16 Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số y2xcos x luôn đồng biến trên

B Hàm số y  x3 3x 1 luôn nghịch biến trên

C Hàm số y 2x 1

x 1





 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định

D Hàm số y2x4 x2 1 luôn nghịch biến trên (-∞;0)

Câu 17 Cho hàm số y 2xx2 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 19 Cho y2x4 4x2 Hãy chọn mệnh đề sai trong bốn phát biểu sau:

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -∞; -1) và (0;1)

B Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (1;+ ∞)

C Trên các khoảng (-∞;- ) và (0 ), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

D Trên các khoảng (-1;0) và (1;+ ∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến

Câu 20 (ĐỀ THPT QG 2017) Hàm số nào sau đây đồng biến trên R.

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành)

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành)

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x)

Chọn B

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên 3;3 và hàm số yf x 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng nào?

A  2;3 B  0;2 C 1;0 D.  3; 1

Câu 2 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số yf x  chỉ có hai điểm cực trị

B Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng 1;3

C Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng ;2

D Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 4;

Câu 4 Cho hàm số f x xác định trên   và có đồ thị của hàm số f x  như hình

vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  ; 2 ; 0;  

B Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 2;0 

C Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  3; 

D Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng ;0

Câu 5 Cho hàm số f x xác định trên   và có đồ thị của hàm số f x  như hình

vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng 4;2 

B Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  ; 1 

C Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  0;2

D Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng  ; 4 và 2;

Câu 6 Cho hàm số f x có đạo hàm   f ' x xác định, liên tục trên   và f ' x có  

Khẳng định nào sau đây là đúng?

f x có đạo hàm là f ' x  và hàm số yf ' x  có đồ thị như hình vẽ bên

Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A Trên 2;1 thì hàm số f x luôn tăng  

B Hàm f x giảm trên đoạn   1;1

C Hàm f x đồng biến trên khoảng   1;

D Hàmf x nghịch biến trên khoảng    ; 2

Câu 9 Cho hàm số yf x  liên tục và xác định trên Biết f x có đạo hàm  

C Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng    0;1

D Hàm số f x đồng biến trên khoảng   0;

Câu 10 ho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

D thì f '(u(x)) không đổi dấu khi u(x)D

Bài toán 2: Cho hàm yf (x)hoặc yf '(x)xét sự biến thiên của hàm

Ví dụ 1 ho hàm số f (x) , bảng xét dấu của f '(x) như sau:

Hàm số f (5 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (2;3) B (0;2)

C (3;5) D (5 +∞)

Lời giải

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên và có đồ thị hàm f x 

như hình vẽ dưới đây Hàm số    2 

g x f x x đồng biến trên khoảng nào?

    2

2

2

1x

x

22x 1 0

Vậy hàm số yf (x) nghịch biến trên khoảng 5 3;

Bài 5 (Sở GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) liên tục trên và

có đạo hàm f’(x) thỏa mãn f’(x) = ( -x)(x+2)g(x) + 2018 với Hàm

số y = f(1-x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?

Bài 9 (Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên

là f’(x) = (x-1)(x+3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;20] để hàm số y = f(x2+3x-m) đồng biến trên khoảng (0;2)?

R

Bài 10 Cho hàm số f x có đồ thị của hàm số   yf x 22 như hình vẽ

Hỏi hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Phần II Các bài toán có chứa tham số

Dạng 4 Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác định (khoảng xác định) của hàm số

a0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên hay không

- Không xét bài toán tìm m để hàm số yax4 bx2 c đơn điệu trên R do phương trình y’=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm là x = 0

Bài toán 2 Tìm tham số m để hàm số y ax b

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định    y 0, x D adbc0

 có c chứa tham số thì ta nên xét c0 để kiểm tra

xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không

Mở rộng:

* Tìm tham số m để hàm số

2

ax bx cy

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định   y 0, x D

ax bx cy

dx ex f

 



  thì ta cũng

làm theo phương pháp nêu trên

- Đối với bài toán 2, đạo hàm ychỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được

cho y0, y0. Lý do là nếu ta cho y 0 thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn (mà

định nghĩa nêu rõ y 0 tại một số hữu hạn điểm x mà thôi)

* Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên

Cách 2 Đặt tsin x (hoặc tcos x) với điều kiện t  1;1 

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y   0, x D

(Dấu " " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D )

A m < - 2 B m > - 2 C m ≤ -2 D m ≥ - 2

Câu 6 Cho hàm số 3   2  2   

yx  m 1 x  2m 3m2 x2m 2m 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 11 Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số

yf (x)2xa sin xbcosx luôn tăng trên ?

Câu 15 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

yf (x) x mcos x luôn đồng biến trên ?

Bài toán 1 Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K

cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

Cách 1: Biến đổi theo dạng mg(x), x K (hoặc mg(x), x K)

Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi xK

Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m

Cách 2: Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y 0 (x phụ thuộc m)

Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo

- Điều kiện x1x2 p có thể được xử lý theo hai cách chính:

Cách tính nhanh đạo hàm loại này Đạo hàm của hàm số đã cho là

tích hai vế phải của (1) và (2)

- Biến đổi theo dạng mg(x), x K (hoặc mg(x), x K)

- Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi xK

Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m

- Giả sử hàm g x tồn tại Max-Min trên   Ta có:

Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2)

3

A   2 m 2 B    2 m 1 C    2 m 1 D   2 m 2

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số Sm sao cho hàm số

  

  C

142;

Câu 10 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số

     nghịch biến trên (x1, x2) và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định Nếu | x1x | 6 32  thì giá trị m là:

Bước 1: Tính đạo hàm f (x) và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (âm hoặc dương)

Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:

- Nếu hàm f (x) đồng biến trên  a;b thì  x  a;b , 0f (a)f (x)f (b).

- Ngược lại nếu hàm f (x) nghịch biến trên  a;b thì , f (a)f (x)f (b)0

Bài toán 2: Giải phương trình dạng f (u)f (v) với u, vD

Phương pháp:

Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để đưa phương trình về dạng f (u) f (v) với

u, vD. x  a;b

Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng f (t) đơn điệu trên D (f (t) luôn âm hoặc

luôn dương trên D )

Bước 3: Giải phương trình: f (u) f (v)  u v

Bài toán 3: Giải phương trình dạng f (x)g(x) có nghiệm duy nhất xx0

Phương pháp:

Bước 1: Tìm một nghiệm xx0 của phương trình (bằng tính nhẩm hoặc nhân

lượng liên hợp v v…)

Bước 2: Tính đạo hàm f (x) và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (tức là

hàm f (x) đơn điệu trên miền xác định)

Bước 3: Chứng minh hàm số g(x) là hàm hằng hoặc đơn điệu (ngược lại hàm

f (x) ) Từ đó khẳng định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất xx 0

2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 Cho hàm yf x  số có f x 0,  x Tìm tất cả các giá trị thực của x để 1  

Ví dụ 2 (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số f x có bảng biến  

thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  2 

3f x 4x m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0;?

+ Với u 4, phương trình ( ) vô nghiệm

+ Với u 4, phương trình ( ) có một nghiệm x 2 0 

+ Với 4  u 0, phương trình ( ) có hai nghiệm x 0

+ Vơi u 0 , phương trình ( ) có một nghiệm x 0

3    , phương trình (2) có một nghiệm u 4, một nghiệm

u 2 và một nghiệm u0 nên phương trình đã cho có ba nghiệm x0

+ Nếu m 2 m 6

3    , phương trình (2) có một nghiệm u 4 và một nghiệm

u0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x0

Vậy 9  m 6 có 15 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán

Chọn A

Ví dụ 3 Khi giải phương trình: 4x3  x (x 1) 2x 1  0, ta tìm được nghiệm

Phương trình (*) được viết: f (2x)f 2x 1  2x 2x 1

2

x

42x 1 4x

Câu 14 Bất phương trình 2x33x2 6x 16  4 x 2 3 có tập nghiệm là

 a;b Hỏi tổng ab có giá trị là bao nhiêu?

A 2 B 4 C 5 D 3

Câu 15 Bất phương trình x2 2x 3 x2 6x 11  3 x  x 1 có tập nghiệm a;b Hỏi hiệu b a  có giá trị là bao nhiêu?

A 1 B 2 C 3 D 1

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C B B C B C D D D D B A A C A