Bài 1. Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ

§¹i sè Trung tâm Đào tạo E learning Cơ hội học tập cho mọi người Bài 1 Tập hợp – Quan hệ Ánh xạ 1 BÀI 1 TẬP HỢP – QUAN HỆ ÁNH XẠ I GIỚI THIỆU Xin chào các anh/ chị học viên! Rất hân hạnh được gặp các[.]

BÀI 1 TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ

I GIỚI THIỆU

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 môn Đại số tuyến tính.

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học Ta cần tìm hiểu khái niệm

về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp

Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngôi đóng vai trò quan trọng Từ đó,

ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ Các ánh xạ cơ bản được xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh

xạ Cuối chương xét lực lượng của tập hợp

Bài học này gồm có 07 nội dung:

6 Câu hỏi trắc nghiệm

7 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

III NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

- Nếu y không thuộc A, ta viết y  A

- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu  Ví dụ, tập các nghiệm thực của phương trình 2

1

x   là tập rỗng

Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết

Mệnh đề toán học là một khẳng định toán học hoặc là đúng hoặc là sai (không có nhập nhằng), ký hiệu bởi các chữ in A,B,C,

Ví dụ:

812

: 

A là mệnh đề đúng

04

Đọc

bao hµm trong chøa

Tính chất 1.3 (Tính chất chung của  và )

:)(

)(

)(

)

1

( A BC  AB  AC tính chất phân phối đối với 

:)(

)(

)(

Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập A và tập B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B (Hình 1.5)

Ký hiệu A B \    x A vµ x  B 

A

B

Hình 1.5

Tập bù

Khi A  E th× \ E A gọi là bù của A trong E, ký hiệu C AE hay A (Hình 1.6)

Ví dụ: Gọi A là tập nghiệm của phương trình 2  

A X





3.2 QUAN HỆ HAI NGễI

3.2.1 KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGễI

Giả sử cho tập X khỏc rỗng và một tớnh chất Rđược thỏa món với một số cặp phần tử , nào đó của

a b X Khi đú, ta núi a có quan hệ R với b và viết là aR b, cũn R được gọi

là một quan hệ hai ngụi trong X

3.2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP

Quan hệ R trong tập X (tức R  X2) có thể có các tính chất sau:

3.2.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Quan hệ R trong tập X gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.Trong trường hợp này, ta viết a b~ thay v× aR b

Ví dụ: Quan hệ đồng dạng giữa các tam giác; quan hệ cùng tỉnh của một tập hợp dân một thành phố là các ví dụ trực quan của quan hệ tương đương

Các lớp tương đương: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trong X Với mỗi phần tử ,

a  X ta ký hiệu C a   là tập hợp mọi phần tử thuộc X tương đương với a và gọi là lớp tương đương chứa a

Ta thu được định lý: Một quan hệ tương đương trong X xác định một phân hoạch của X, mỗi phần tử của phân hoạch này là một lớp tương đương

Họ các lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu X / ~

- Lớp tương đương ứng với b  0 là các số chẵn

- Lớp tương đương ứng với b  1 là các số lẻ

3.2.4 QUAN HỆ THỨ TỰ

Định nghĩa 1.5: Quan hệ R trong X gọi là quan hệ thứ tự (hay quan hệ thứ tự bộ phận) nếu có tính phản đối xứng và bắc cầu

Nếu ngoài ra, với bất kỳ hai phần tử nào x  X y ,  X đều có xR y hoặc

y R x thì quan hệ thứ tự gọi là thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính)

Khi R là một quan hệ thứ tự trong X, ta nói X được xếp thứ tự bởi R thay vì xR y ta viết x  y và đọc " bÐ h¬n " hoÆx y c " ®i tr- í c "x y Ta viết y  x và đọc là

" lí n h¬n " hoÆ y x c " ®i sau " y x

Nếu xy vµ xy ta viÕt xyhay yx

Ví dụ 1: Quan hệ < hoặc  thông thường trong tập hợp các số thực là các quan hệ thứ tự toàn phần, R là tập được sắp thứ tự

Ví dụ 2: Quan hệ "a b" tøc lµ béi sè cña trong *a b N là quan hệ thứ tự bộ phận Tập X trong đó đã xác định một quan hệ thứ tự gọi là tập được sắp xếp

Tập X gọi là miền xác định hay nguồn của ánh xạ, tập Y gọi là đích của ánh xạ

Phần tử y Y  ứng với phần tử x  Xbởi quy tắc đã cho gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y  f x  

Nói riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số Cho f X :  Y là một ánh xạ từ X vào Y

3.3.2 ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH

Trong số các ánh xạ, các ánh xạ dưới đây giữ vai trò quan trọng:

 Ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu f x  1  f x  2 th× x1 x2, nói cách khác hai phần tử khác nhau sẽ có ảnh khác nhau

 Ánh xạ f gọi là toàn ỏnh, nếu f X    Y, núi cỏch khỏc   y Y đều tồn tại

  sao cho

ỏnh xạ f X :  X cho bởi f x      x , x X gọi là ỏnh xạ đồng nhất trờn X, ký hiệu

là iX Dễ thấy, iX là song ỏnh Trường hợp X = R là tập mọi số thực thỡ iR chớnh là ỏnh xạ

3.3.3 ÁNH XẠ NGƯỢC (CỦA MỘT SONG ÁNH)

Giả sử f X :  Y là song ỏnh thỡ với bất kỳ y Y  đều tồn tại duy nhất một phần tử

  sao cho

xX f x y

Ánh xạ f1: Y  X xỏc định bởi: 1   

f y    x y f x gọi là ỏnh xạ ngược f.

Vậy, ỏnh xạ ngược của 1

f lại là ỏnh xạ f, vậy f và f1 là cặp song ỏnh ngược

Vớ dụ:

Ánh xạ f R :  R xỏc định bởi   3

f x  x cú ỏnh xạ ngược f1  x  3 x

3.3.4 THU HẸP VÀ MỞ RỘNG MỘT ÁNH XẠ

Giả sử f X :  Y là một ỏnh xạ, A  X là tập con thực sự của X.

ỏnh xạ g A: Y xác định bởi g x  f x , x A gọi là thu hẹp của ỏnh xạ f trờn tập

A, ta ký hiệu g  fA

Nếu: X'X X, 'X thì ánh xạ 'X Y sao cho h x    f x , x X gọi là mở rộng của f

lờn tập X

Thực chất, việc đánh số hay việc đếm số phần tử là sự thiết lập một song ánh f từ tập n

số tự nhiên En   1,2, , n  vào tập A Nhận xét đó giúp ta đưa vào khái niệm lực lượng của một tập hợp bất kỳ

Định nghĩa 1.7:

Cho hai tập hợp A và B khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn) Nếu tồn tại một song ánh :

f A  B thì ta nói A và B đồng lực lượng

Tập có cùng lực lượng với tập En gọi là tập hữu hạn

Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử.Vậy khái niệm “cùng lực lượng” là sự khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường

Nếu A và B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B và viết AB

Tập có cùng lực lượng với tập số N gọi là tập vô hạn đếm được

Tập vô hạn không cùng lực lượng với tập N gọi là tập không đếm được

Người ta chứng minh được rằng tập các số thực R là tập không đếm được

Các tập hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được thường được gọi chung là đếm được

3.3.6 QUY NẠP TOÁN HỌC

Quy nạp toán học thường được sử dụng để chứng minh các mệnh đề dạng n P(n), trong đó

n là số nguyên dương tùy ý

Quá trình chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương n bao gồm hai bước:

1 Bước cơ sở: Chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng

2 Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n)  P(n + 1) là đúng với mọi số

nguyên dương n, trong đó người ta gọi P(n) là giả thiết quy nạp

Khi hoàn thành cả hai bước chúng ta đã chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương, tức là đã chứng minh P(n) là đúng

Ví dụ: Bằng quy nạp toán học, hãy chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên

là n2

Giải: Gọi P(n) là mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2” Đầu tiên ta cần làm bước cơ sở, tức là phải chỉ ra P(1) là đúng Sau đó phải chứng minh bước quy nạp, tức là cần chỉ ra P(n + 1) là đúng nếu giả sử P(n) là đúng

Bước cơ sở: P(1) hiển nhiên là đúng vì 1 = 12

Đẳng thức này chứng tỏ P(n + 1) được suy ra từ P(n)

Vì P(1) là đúng và vì mệnh đề kéo theo P(n)  P(n + 1) là đúng với mọi n nguyên dương, nguyên lý quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) là đúng với mọi n nguyên dương

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

Bài tiếp theo anh/ chị sẽ được học về Định thức và ma trận

Chúc anh/ chị học tập tốt!

V HỆ THỐNG BÀI TẬP _ CÓ LỜI GIẢI

Bµi 1: Cho hai tËp hîp X vµ Y

Từ (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Bài 3: Cho  là một họ các bộ phận của E Hãy xác định các

Bài 4: Cho f là một ánh xạ từ E vào F

Chứng minh rằng f là toàn ánh khi và chỉ khi đối với mỗi tập G và với các ánh xạ g và h bất kỳ từ F vào G, ta có:

, ' Do giả thuyết không phải là toàn á nh

g y F g y C

y f E h y C h

Bài 5: Cho f là một ánh xạ từ E vào F

Chứng minh rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi với mỗi tập D

1 -

2

1 2

1 2 1 2

Cho :

và là 2 phần bất biến theo

Hỏi và có bất biến theo ?

Vậy A1 A2 bất biến theo f

Bài 8: Xét hai tập có thứ tự E và F, trong đó thứ tự cho bởi

 trên cả hai tập Hãy xác định quan hệ R sau đây Xác định trên

ChiÒu : Gi¶ sö A    B th× hÖ (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm

y  z v×