1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MÔN TOÁN 11 (Hướng dẫn này có 04 trang) Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 2u và 2 1 ( 1) 1 n n n n u u nu với mọ[.]
Trang 1HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
MÔN TOÁN 11
(Hướng dẫn này có 04 trang)
-
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (u n) xác định bởi: u 1 2 và (n1)u n1u n nu n21 với mọi số nguyên
dương n
1 2 2017
b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho u n c với mọi số nguyên dương n
(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai)
4,0
a) Từ giả thiết suy ra u n 0 và 1 ( 1) n 1 n, *
n
1 2 2017
b) Ta chứng minh c 1
Trước hết ta chứng minh u n ¥1, n * (2) bằng quy nạp
Với n 1, 2 thì hiển nhiên (2) đúng
Giả sử (2) đúng với nk k( 2) Khi đó: 1 1 1 ( 1) 1
1
k
2 1
2
1,0
Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được 1 1 1 ( 1) 1 0 1 1
1
k
đúng với n k 1 Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng
Vậy c 1
0,5
k
k
|u n 1| (u 1)
Suy ra limu k 1 Do đó c 1 Vậy c 1 (đpcm)
0,5
Chú ý Nếu học sinh chỉ chứng minh được limu k 1 mà chưa chứng minh được c 1 thì cho
1 điểm
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB AC và · 0
120 )
BAC , về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác đều ABB ACC', ' Gọi M N P M N P, , , ', ', ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng B C,CA,AB B C C, ' ', ' , A AB' Chứng minh rằng:
Trang 2a) Các tam giác MN P M NP' ', ' là các tam giác đều
b) MM NN PP', ', ' đồng quy
(Đề xuất của Tổ ra đề)
4,0 a) Xét thế hình như hình vẽ (Học sinh chỉ dựa vào thế hình chứng minh thì vẫn cho điểm tối
đa)
Cách 1 Xét phép quay véc tơ ngược chiều kim đồng hồ Ta có
Q MNuuuur Q BAuuurCCuuuur Q BAuuur Q CCuuuur BBuuurCAuuur MPuuuur
Suy ra tam giác MN P' ' đều Tương tự, tam giác M NP' đều
Q
P'
N'
M'
M
C'
B'
A
2,0
Cách 2 Chứng minh các tam giác P AN P PM' ', ' và MNN' bằng nhau Suy ra tam giác
' '
b) Vì BAC1200 nên các đường thẳng MM NN PP', ', 'không song song
Gọi Q là giao điểm của NN PP', ' Đặt ·MPN·ANP;·APN MNP· .
Ta có các điều kiện sau tương đương:
1) MM NN PP', ', ' đồng quy
2) M M Q, ', thẳng hàng
3) P NMM Q( ' )N PMM Q( ' )
4) P NMM P( ' ')N PMM N( ' ')
5)
·
·
·
·
·
·
·
·
6) sin 60 : sin(60 ) sin 60 : sin(60 )
2,0
Trang 37) sin(60)sin(60)sin(60)sin(60) (luôn đúng)
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :¡ ¡ thoả mãn
2 2
với mọi số thực x y,
(Đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
Theo giả thiết ta có f x( )(x2y2) ( )f y với mọi x y,
Đổi vai trò x y, được 2 2
f y x y f x Do đó 2 2 2 22
1,5
Cho x 2 thì f y( )(4y2 2) f y( ) Suy ra f y ( ) 0 với mọi y 1,0 Mặt khác x y 0 ta được f(0)0 Vậy f(0)0 0,5 Cho y 0 ta được f x ( ) 0 với mọi x Vậy f 0 1,0
Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên (x n) xác định bởi: x 0 0, x 1 1 và x n2 3x n1x n với mọi số tự nhiên n
a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4
b) Chứng minh rằng x n100 x n (mod 101) với mọi số tự nhiên n
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
a) Ta có x n x n3(mod 4) Suy ra x2017 x1( om d 4), do đó x2017 1(mod4) 1,0
b) Cách 1
Ta chỉ ra x100 0 (mod101) và x1011 (mod101) Đầu tiên ta có
5
n
x
Khai triển Newton cho ta:
1 2 0,
2
k
k n k
Œ
1,0
Ta có 452 5 (mod101) Suy ra
1 0,
2
k n k
Œ
Hay 24 ( 21) (mod101)
45
n
1,5
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: x 0 (mod101) và x 1 (mod101) Do công thức
Trang 4truy hồi, suy ra x n100 x n (mod101) với mọi số tự nhiên n
Cách 2 Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của x n modulo 101 Danh sách các số dư của
dãy khi chia cho 101 như dưới đây:
[0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1,
3, 8,….]
2,0
Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn Suy ra đpcm 1,0
Chú ý Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì
không cho điểm
Câu 5 (4 điểm) Xét klà số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1,,A20 71 của tập
2017
{0,1,,10 1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k phần tử và mỗi phần tử của
2017
{0,1,,10 1} đều biểu diễn được dưới dạng x1 L x2017 trong đó x iA i với i 1, , 2017 Hãy xác định giá trị bé nhất của k
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
Ta kí hiệu A1 L A2017 là tập tất cả các số có dạng x1 L x2017 trong đó x iA i với mọi
1, , 2017
Ta chỉ ra 10 chính là giá trị bé nhất có thể của k
Với mọi số nguyên không âm m ta có thể viết
s
trong đó s là số tự nhiên và a0,,a s{0,1,,9} và a s 0
1,5
Với mỗi số 2017
m thì s 2017 vì nếu s 2017 thì ma s10s 102017, mâu
thuẫn
Với mỗi j 1, , 2017 ta đặt A j {10j1t t: 0, ,9} Khi đó với mọi m {0,1,,1020171},
thì m x1 L x2017, trong đó x j 10j1a j1,j1, 2, ,s và 1 x j 0, j s 2, , 2017
1,0
-Hết -
Ghi chú: Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa
