1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MÔN TOÁN 10 (Hướng dẫn này có 03 trang) Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực 2 2 31 1 1 1x x x x (Dựa trên[.]
Trang 1HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
MÔN TOÁN 10
(Hướng dẫn này có 03 trang)
-
Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:
1x x x 1 1 x 1
(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Thái Nguyên)
4,0
Điều kiện xác định: 1 5 1
Đặt u 1x v2, x2 x 1,t 31 ta được x
1 1
u v t
u v t
Từ (2) suy ra 0u v t, , 1 1 u2 v2 t3 u v t 1 Do đó
2
2
3
1
0 1
1 (2)
0 1 0
u
u v t
v t
u v t
v
u t
t
t t
u v
Thay lại biến x ta được tập nghiệm của phương trình là S {1}. 1,0
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi (O1) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A; (O2)
là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A P là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2); K L, theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1), (O2) với đoạn thẳng BC Gọi ( )S là đường tròn ngoại tiếp tam giác
PKL
a) Chứng minh rằng: AK AL, tiếp xúc với ( )S
b) Gọi Q là giao điểm thứ hai của ( )S và AP; E là giao điểm của QK và AB; F là giao điểm của QL và AC Chứng minh rằng các điểm A K L S E F, , , , , cùng thuộc một đường tròn
(Bài đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
a) Tứ giác ABKP là tứ giác nội tiếp nên ABP AKP
AC là tiếp tuyến của (O1) nên ABP PAC Suy ra AKP PAC (1) 1,0
Tứ giác APLC là tứ giác nội tiếp nên PAC PLK (2)
Từ (1) và (2), suy ra AK là tiếp tuyến của đường tròn ( )S
Tương tự, ta chứng minh AL là cũng là tiếp tuyến của đường tròn ( )S
1,0
Trang 2E
Q
K
P
O2
O1
C B
A
b) Cách 1 Dễ thấy AKSL là tứ giác nội tiếp Ta chứng minh tứ giác AEKL là tứ giác nội tiếp
Thật vậy, Ta có BEQ EAQ EQA (3)
Tứ giác KPLQ là tứ giác nội tiếp nên KQP PLK (4)
1,0
AB là tiếp tuyến với (O2) nên EAQ PLA (5)
Cách 2 Ta có KLQ KPQ và KPQ ABK nên ABK KLQ, suy ra QL ABP 1,0
Do đó BEK KQL Mà KQL ALK (do AL là tiếp tuyến với (S)) nên
Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức f x( )x4x3mx2nxp, trong đó m n p, , là các số nguyên đôi một phân biệt, khác không, sao cho f m( )m4m3 và f n( )n4n3 Tìm m n p, ,
(Bài đề xuất của Tổ ra đề)
4,0
Xét đa thức g x( ) f x( )x4 x3 mx2nx p Theo giả thiết g m( )g n( )0 Do g x( ) là
đa thức bậc 2 nên g x( )a x m x n( )( ) 1,0
Từ đó ta có: mx2nx p a x m x n( )( )
Đồng nhất các hệ số cho ta pamn, n a m n( ) và m a 1,0
Từ đó ta được n m m n( ) hay (m1)n m2 Từ đây ta được m 1 1∣ hay m 1 1 suy
Chú ý Học sinh có thể thay trực tiếp m n, rồi giải hệ phương trình nghiệm nguyên để tìm
, ,
m n p
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , )a b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) a b 2 là lũy thừa của một số nguyên tố;
ii) 2
a b chia hết cho 2
a b
(Bài đề xuất của Tổ ra đề)
Trang 3Hướng dẫn chấm Điểm
4,0
Đặt 2
,
m
a b p p nguyên tố và m nguyên dương Ta viết
2
a b
m
p ∣ b b b b
1,0
Từ 3
( ,b b 1)1, và 2
1
m
p ∣b
Ta có b3 1 (b 1)(b2 b 1) và (b1,b2 ∣b 1) 3
+ Nếu (b1,b2 b 1) 1 thì p m∣b 1 hoặc p m∣b2 b 1 Từ p m b2ab2b1 nên ta
chỉ có p m|b 1 và suy ta p m a b2 b 1 Do đó a b 1
+ Nếu (b1,b2 b 1) 3suy ra p 3
1,5
Xét m 1, không có ( , )a b
Xét m 3, khi đó 3∣b 1 hoặc 3∣b2 b 1 và 3m1 là ước của phần tử còn lại
Từ b 1 b2 a 1 3m1, vì vậy 3m1∣b2 b 1 Do đó b2 b 1 0 (mod 9), mâu thuẫn
1,0
Vậy ( , )a b {(1,1);(5,2) }
Câu 5 (4 điểm) Cho tập S {1, 2,3, , 2025} Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho: Với mọi tập con
Tcủa S gồm n phần tử, tồn tại hai phần tử phân biệt u v, T sao cho u v 20
(Dựa trên đề đề xuất của THPT Chuyên Bắc Giang)
4,0
Giả sử n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề Xét tập
{1, 2, ,10} {20,21, , 2025}
Ta thấy, với mọi u v, T phân biệt thì:
Nếu u v , {20, 21, , 2025} thì u v 4120 Vậy không có u v, thỏa mãn u v 20
Nếu u v , {1, 2,3, ,10} thì u v 1920 Vậy không có u v, thỏa mãn u v 20
1,0
Nếu u{1, 2,3, ,10},v{20, 21, , 2025} thì u v 2120 Vậy không có u v, thỏa mãn
20
Mặt khác, với mọi tập TS T,| | 2017 , xét 9 cặp số sau (1;19), (2;18), , (9;11)
Nếu một trong các cặp trên thuộc T thì đó là cặp ( ; )u v thỏa mãn u v 20.
Nếu không có cặp nào thuộc T thì |T | 2025 9 2016, vô lí
Vậy với mọi tập TS T,| | 2017 luôn tồn tại u v, T thỏa mãn u v 20
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của n là 2017
2,0
-Hết -
Ghi chú: Thí sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa