1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1.. 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 35
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 2
2x 3 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB cân tại gốc tọa độ O
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: cotx 3 tanx 2cot 2x 3
2( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5
x x x x x x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân : 4
0
cos sin
3 sin 2
x x
x
Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi M, N lần lượt
là trung điểm các cạnh CD, A D Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (A AM) và tính thể tích của khối tứ diện A AMP
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: ( )3 ( )3 ( )3
a b c b c a c a b P
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2
= 25 và điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại
A, B phân biệt sao cho MA = 3MB
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1
= 0 và hai đường thẳng 1 : x 1 y z 9
1 1 6 ; 2 : x 1 y 3 z 1
định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau
Câu VII.a (1 điểm) Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình:
z z
Tính giá trị của biểu thức: 2 2
A z z
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
Trang 21) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; – 1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng : 1 2
x y z
mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: 3
log 1 x log x
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = –x
Nghĩa là: f (x 0 ) = 1 2
0
1
1
1 : y – 1 = –1(x + 1) y = –x (loại); 2 : y – 0 = –1(x + 2) y = –x – 2 (nhận)
Câu II: 1) Điều kiện: sin cos 0
2
x x x k
Ta có:
cos 2 cos sin
sin 2 2sin cos
PT
2
cot 3
4
2) Điều kiện: 1
3
x
PT
(x 1) 2(x 1) 3x 1 3x 1 x 2 2 2x 5x 2 2x 1 0
2
x x
x x
Câu III: Đặt u sinx cosx
2
2
1 4
du I
u
Đặt u 2sint
2
2cos
12
4 4sin
tdt
t
Câu IV: Gọi Q là giao điểm của NP và AD Do PD = 2PD nên D N = 2DQ
2 2
4
a
AD DQ MD QM AM (đpcm)
1
3 A AP
V MD S (1)
2
2
a
Thay vào (1), ta được:
3 12
a
V
Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương
3
,
a b c c
c và
1
3 ta được:
a b c a b
Trang 3Tương tự:
3
b c a a
b c
3
c a b b
c a
Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P 1 minP 1 khi a b c 1
Câu VI.a: 1) P M/( )C 27 0 M nằm ngoài (C) (C) có tâm I(1;–1) và R = 5
M C
P MA MB MB MB BH 2 2
4 [ ,( )]
IH R BH d M d
Ta có: phương trình đường thẳng (d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a 2
+ b2 > 0)
2 2
0
6 4
5
a
a b
d M d
a b
a b
Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0
2) M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1 ; 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a
= (2; 1; –2)
AM
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM; a
= (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)
Ta có : d (M, 2 ) = d (M, (P)) 261t2 792t 612 11t 20
35t2 – 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 53
35
Vậy M (0; 1; –3) hay M 18 53 3; ;
35 35 35
Câu VII.a: ’ = –9 = 9i2 do đó phương trình có 2 nghiệm z 1 = –1 – 3i, z 2 = –1 + 3i
A z z = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
Câu VI.b: 1) 3x + 2y – 15 = 0; 2x + 5y – 12 = 0
2) Chọn ( ;1 2 ; 2 ) ( 2; 2 1; 2)
N d N t t t MN t t t
MN P MN n do M P t N d
Câu VII.b: Điều kiện: x > 0 Đặt t log7x x 7t
2
t
Hàm số ( ) 1 3 7 3 1
f t nghịch biến và (3)f 0 nên (*) có nghiệm t = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 343