toan-11-bai-1-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc

Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học A Câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số Xét hai mệnh đề chứa biến P(n) “3n < n + 100” và Q(n) “2n > n” với n * a) Với n = 1, 2, 3,[.]

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

A Câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n):

“3n < n + 100” và Q(n): “2n > n” với n *

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với n * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Lời giải:

a)

Với n = 1 thì P(1): “31 < 1 + 100” đúng, Q(1): “21 > 1” đúng

Với n = 2 thì P(2): “32 < 2 + 100” đúng, Q(2): “22 > 2” đúng

Với n = 3 thì P(3): “33 < 3 + 100” đúng, Q(3): “23 > 3” đúng

Với n = 4 thì P(4): “34 < 4 + 100” đúng, Q(4): “24 > 4” đúng

Với n = 5 thì P(5): “35 < 5 + 100” sai, Q(5): “25 > 5” đúng

b) Với P(n): Do với n = 5 thì P(n) sai nên P(n) không đúng với mọi n *

Với Q(n): Quan sát 2n ta thấy 2n tăng rất nhanh so với n nên 2n > n với mọi n * hay Q(n) đúng với n *

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n *

1 2 3 n

2

+

Lời giải:

Khi n = 1, VT = 1

Suy ra VP 1(1 1) 1

2

+

Giả sử đẳng thức đúng với n=  , nghĩa là: k 1

k(k 1)

2

+

= + + ++ =

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

k 1

(k 1)(k 2)

S 1 2 3 k (k 1)

2

+

= + + ++ + + =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

k(k 1)

2

+

+

= + + = + + k(k 1) 2(k 1)

2

+ + +

2

= Vậy đẳng thức đúng với mọi n *

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3n và 8n với n * a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Lời giải:

a)

n = 1 suy ra 31 = 3 < 8 = 8.1

n = 2 suy ra 32 = 9 < 16 = 8.2

n = 3 suy ra 33 = 27 > 24 = 8.3

n = 4 suy ra 34 = 81 > 32 = 8.4

n = 5 suy ra 35 = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả bằng tổng quát: 3n > 8n với mọi n 3

Với n = 3, bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=  , nghĩa là: 3k 3 k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3k+1 > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 3k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

Với k suy ra 16k 16.3 48 83  = 

Suy ra 3k+1 > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n 3

B Bài tập

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n *, ta có các đẳng thức:

2 5 8 3n 1

2

+

b)

n

− + + + + =

c) 2 2 2 2 n n 1 2n 1( )( )

1 2 3 n

6

+ + + + =

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

2 5 8 3n 1

2

+

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.(3.1 1) 2

2 + =

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=  , tức là k 1

k

k(3k 1)

S 2 5 8 3k 1

2

+

= + + ++ − =

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n= + , nghĩa là phải chứng minh k 1

k 1

(k 1) 3(k 1) 1

2

+

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

k 1

S + = 2+ + ++5 8 3k 1− + 3(k 1) 1+ − =Sk +3k+2 k(3k 1) 3k 2

2

+

2

2

2

2

2

=

(k 1) 3(k 1) 1

2

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n *

b)

n

− + + + + = (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1

2, vế phải bằng

1 2

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức (2) đúng với n=  , tức là k 1

−

= + + + + =

Ta phải chứng minh

k 1

S

2

+

−

=

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

+ = + + + + + + Sk 1k 1

2 +

= + 2k k 1 1k 1

−

k 1

2 +

− +

=

k 1

k 1

2

+

+

− +

2

+ +

−

= (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n *

c) 2 2 2 2 n n 1 2n 1( )( )

1 2 3 n

6

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1 1)(2 1) 1

6 + + =

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1

Đặt vế trái bằng Sn

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n=  , tức là k 1

k

k k 1 2k 1

S 1 2 3 k

6

= + + + + =

Ta phải chứng minh ( )( ) ( )

k 1

S

6

+

=

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Sk+1 = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2

( )( ) ( )2

k k 1 2k 1

k 1 6

6

=

(k 1 k 2k 1) ( ) (6 k 1)

6

6

=

6

= (k 1 k)( 2 2k)( 3)

6

= (k 1 k)( 2 2k)( 2 1)

6

=

(k 1 k)( 2) (2 k 1) 1

6

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n *

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n * ta có: a) n3+ 3n2 + 5n chia hết cho 3;

b) 4n+ 15n − 1 chia hết cho 9;

c) n3 + 11n chia hết cho 6

Lời giải:

a) n3+ 3n2 + 5n chia hết cho 3;

Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với ( 3 2 )

k

n= k 1,S = k +3k +5k 3

Ta phải chứng minh rằng Sk 1+ 3

Thật vậy :

Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 +5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

= Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S 3k

Mà ( 2 )

3 k +3k+3 3 nên Sk 1+ 3

Vậy n 3+ 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi n  *

Cách khác: chứng minh trực tiếp

Có: n 3+ 3n2 + 5n

= n.(n 2+ 3n+ 5)

= n.(n 2+ 3n+ 2 + 3)

= n.(n 2+ 3n+ 2) + 3n

= n(n + 1)(n + 2) + 3n

Mà n n 1 n( + )( +2) 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và 3n 3

Suy ra 3 2 ( )( )

n +3n +5n=n n 1 n+ +2 +3n 3

Vậy n 3+ 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi n *

b) 4n+ 15n − 1 chia hết cho 9;

Đặt Sn = 4n + 15n – 1

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S 91

k

n= k 1,S = 4 +15k 1 9−

Ta phải chứng minh Sk 1+ 9

Thật vậy, ta có:

Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4k + 15k + 15 – 1

= 4.4k + 15k + 14

= 4.4k + 60k – 45k + 18 – 4

= (4.4k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18

= 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì S 9k nên 4S 9k

Mặt khác 9 5k – 2( ) 9 nên Sk 1+ 9

Vậy 4n +15n –1 9 với mọi n *

c) n3 + 11n chia hết cho 6

Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, S1 = 13 + 11.1 = 12 nên S 61

Giả sử với ( 3 )

k

n= k 1,S = k +11k 6

Ta phải chứng minh Sk 1+ 6

Thật vậy, ta có:

Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + (3k2 + 3k + 12)

= (k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4)

= Sk + 3(k2 + k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì S 6k

Mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên ( 2 )

3 k + +k 4 6

Do đó Sk 1+ 6

Vậy ( 3 )

n +11n 6 với mọi n *

Cách khác: Chứng minh trực tiếp

Có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

Suy ra n(n – 1 n)( +1) 6

Lại có 12n 6

Vậy n3+11n n n – 1 n 1= ( )( + +) 12n 6 với mọi n *

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự

nhiên n , ta có các bất đẳng thức: 2

a) 3n > 3n + 1

b) 2n+1 > 2n + 3

Lời giải:

a) 3n > 3n + 1

Với n = 2 ta có: 32 = 9 > 7 = 3.2 + 1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=  , tức là: 3k 2 k > 3k + 1 (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

3k+1 > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3k+1 > 9k + 3

 3k+1 > 3k + 4 + 6k – 1

Vì k suy ra 6k 1 11 02 −   nên 3k+1 > 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1 Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 3n > 3n + 1 đúng với mọi số tự nhiên n 2

b) 2n+1 > 2n + 3

Với n = 2 ta có: 22+1 = 8 > 7 = 2.2 + 3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=  , tức là: 2k 2 k+1 > 2k + 3 (2)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

2k+2 > 2(k + 1) + 3 = 2k + 5

Nhân hai vế của (2) với 2, ta được:

2k+2 > 4k + 6

2k+2 > 2k + 5 + 2k + 1

Vì k suy ra 2k + 1 > 0 nên 22 k+2 > 2k + 5

Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 2n+1 > 2n + 3 đúng với mọi số tự nhiên n 2

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng

n

+ với n * a) Tính S1, S2, S3

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp

Lời giải:

a) S1 1 1

1.2 2

= =

2

S

1.2 2.3 3

3

S

1.2 2.3 3.4 4

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn n

n 1

= + (1), với mọi n *

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 1

2

= vế phải bằng 1 1

1 1= 2 + Vậy đẳng thức (1) đúng

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=  , tức là: k 1

k

S

1.2 2.3 k(k 1) k 1

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh:

k 1

k 1

S

k 2

+

+

=

+

Ta có: Sk 1 Sk 1

(k 1)(k 2)

k 1 (k 1)(k 2)

k(k 2) 1 (k 1)(k 2)

+ +

=

2

=

2

k 1

k 1 k 2

+

=

k 1

k 2

+

= + Tức là đẳng thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo

của một đa giác lồi n cạnh là n(n 3)

2

−

Lời giải:

Kí hiệu đường chéo của đa giác n cạnh là Cn

Ta chứng minh ( )

n

n n 3 C

2

−

= (1) với mọi n *, n 4 Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo

Mặt khác 4(4 − 3) : 2 = 2 nên (1) đúng với n = 4

Vậy khẳng định đúng với n = 4

Giả sử (1) đúng với n k 4=  , tức là Ck k(k 3)

2

−

=

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 Tức là ( ) ( )

k 1

k 1 k 1 3 C

2

+

+

Xét đa giác lồi k + 1 cạnh

Đa giác k cạnh A1A2 Ak có k k( 3)

2

−

đường chéo (giả thiết quy nạp)

Nối Ak + 1với các đỉnh A2, ,Ak−1, ta được thêm k − 2 đường chéo

Ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

k k 3

2

−

2

−

2

2

− −

=

(k 1 k)( 2)

2

2

+  + − 

= Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh