Bài 1 Sự xác định của đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn Câu hỏi 1 trang 98 Toán lớp 9 tập 1 Trên hình 53, điểm H nằm bên ngoài đường tròn (O), điểm K nằm bên trong đường tròn (O) Hãy so sán[.]
Trang 1Bài 1: Sự xác định của đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn Câu hỏi 1 trang 98 Toán lớp 9 tập 1: Trên hình 53, điểm H nằm bên ngoài
đường tròn (O), điểm K nằm bên trong đường tròn (O) Hãy so sánh OKH và OHK
Lời giải:
Gọi bán kính của đường tròn (O) là R
Theo đề bài, điểm H nằm bên ngoài đường tròn (O), điểm K nằm bên trong đường tròn (O) nên ta có:
OK < R < OH OK < OH
Xét tam giác OKH có :
OK < OH
(do góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn)
Câu hỏi 2 trang 98 Toán lớp 9 tập 1: Cho hai điểm A và B
a) Hãy vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó
b) Có bao nhiêu đường tròn như vậy ? Tâm của chúng nằm trên đường nào ?
Lời giải:
a)
Trang 2b)
Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B như trên Tâm của những đường tròn đó nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Câu hỏi 3 trang 98 Toán lớp 9 tập 1: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Hãy vẽ đường tròn đi qua ba điểm đó
Lời giải:
- Cách vẽ:
+ Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng
+ Vẽ hai đường trung trực d và d’ lần lượt của AB và AC
+ Hai đường d và d’ giao nhau tại điểm I
+ Dùng compa vẽ đường tròn tâm I bán kính IA, ta được đường tròn đi qua ba điểm A, B, C
Trang 3- Hình vẽ:
Câu hỏi 4 trang 99 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm bất
kì thuộc đường tròn Vẽ A’ đối xứng với A qua O (h.56) Chứng minh rằng điểm A’ cũng thuộc đường tròn (O)
Lời giải:
Do A’ đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của đoạn thẳng AA’ (tính chất đối xứng qua một điểm) và A thuộc đường tròn (O)
OA ' OA R
Do đó điểm A’ cách tâm O một khoảng đúng bằng bán kính R nên điểm A’ cũng thuộc đường tròn (O)
Câu hỏi 5 trang 99 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), AB là một đường
kính bất kì và C là một điểm thuộc đường tròn Vẽ C’ đối xứng với C qua AB (h.57) Chứng minh rằng điểm C’ cũng thuộc đường tròn (O)
Trang 4Lời giải:
Do C và C’ đối xứng nhau qua AB nên AB là đường trung trực của CC’ (tính chất đối xứng trục) Mà AB là đường kính của đường tròn (O) nên OAB
O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CC’
OC' OC R
(do điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó)
Do đó điểm C’ cách tâm O một khoảng đúng bằng bán kính R nên điểm C’ cũng thuộc đường tròn (O)
Bài tập
Bài 1 trang 99 Toán lớp 9 tập 1: Hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC =
5cm Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó
Lời giải:
Trang 5Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD Dựa vào tính chất của hình chữ nhật ta có:
OA = OB = OC = OD
Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng cách đều điểm O một khoảng bằng OD nên A,
B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R = OD
Xét tam giác ABD vuông tại A có:
AB = 12cm
AD = BC = 5cm (hai cạnh đối nhau của hình chữ nhật)
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
BD AB AD
BD 12 5 169
Ta lại có: OD 1BD 1.13 6,5
(cm) (tính chất của đường chéo hình chữ nhật)
Do đó, đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm O và bán kính R = 6,5cm
Bài 2 trang 100 Toán lớp 9 tập 1: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải
để được khẳng định đúng
(1) Nếu tam
giác có ba góc
nhọn
(4) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác
Trang 6(2) Nếu tam
giác có góc
vuông
(5) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác
(3) Nếu tam
giác có góc tù
(6) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất
(7) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất
Lời giải:
- Nối (1) với (5): Vì trong tam giác nhọn, giao của ba đường trung trực nằm bên trong tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên trong tam giác
- Nối (2) với (6): Vì trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó Tức là trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác
- Nối (3) với (4): Vì trong tam giác tù, giao của ba đường trung trực nằm bên ngoài tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên ngoài tam giác
Bài 3 trang 100 Toán lớp 9 tập 1: Chứng minh các định lí sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông
Lời giải:
a)
Trang 7Giả sử có tam giác ABC vuông tại A
Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC
Khi đó ta có: OB OC 1BC
2
Xét tam giác ABC vuông tại A
AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
1
OA BC
2
(2) (do tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
Từ (1) và (2) ta có: OA OB OC 1BC
2
Do đó ba điểm A, B, C cách đều điểm O nên A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm
O bán kính R 1BC
2
Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền
b)
Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC
A, B, C cùng nằm trên đường (O)
OA = OC = OC = R
BC là đường kính của đường tròn (O) OA OB OC R 1BC
2
O là tâm của đường tròn và BC là đường kính của đường tròn
Trang 8 O là trung điểm của BC
Do đó, AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông tại A (do tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)
Vậy tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A Hay nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông
Bài 4 trang 100 Toán lớp 9 tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị
trí của mỗi điểm A(-1; -1), B(-1; -2), C( 2; 2) đối với đường tròn tâm O bán kính 2
Lời giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến gốc tọa độ , ta có:
OA ( 1) ( 1) 2 R 2 Điểm A nằm trong đường tròn tâm O bán kính 2
OB ( 1) ( 2) 5 R 2 Điểm B nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính 2
OC ( 2) ( 2) 2 R 2 Điểm C nằm trên đường tròn tâm O bán kính 2
Bài 5 trang 100 Toán lớp 9 tập 1: Đố Một tấm bìa hình tròn không còn dấu
vết của tâm Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó
Trang 9Lời giải:
- Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính
- Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai
- Giao điểm của hai nếp gấp hay chính là giao hai đường kính là tâm của đường tròn
