Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H =xyz... Chứng minh rằng Câu 27... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H Câu 35... HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1... Vậy điều giả sử sai.. Do đó tồn tạ
Trang 1CLB Toán bồi dưỡng MathExpress www.toanboiduong.edu.vn
Hotline: 0868199115 Page 1
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC – GTLN, GTNN TRONG KÌ THI CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022
Câu 1 (Trích đề thi trường chuyên Nguyễn Du tỉnh Daklak năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a+ + b c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
P
Câu 2 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022)
Xét các số thực a b c, , không âm, thòa măn 2 2 2
1
a +b +c = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S
+ + +
Câu 3 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn 3 xy+ xz =2 Chứng minh rằng: 4yz 5xz 7xy 8
x + y + z
Câu 4 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022)
Cho a , b là các số dương thỏa mãn a+2b3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
P
ab
+ + + +
Câu 5 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022)
Cho a b c, , là các số dương Chứng minh rằng:
a)
3
2
a
a b −
+
b)
3
+ +
Câu 6 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2021 – 2022)
Cho các số thực a b c, , đôi một khác nhau và thỏa mãn (c+a)(c+b)= 4
Chứng minh rằng:
( ) (2 ) (2 )2
1
a b + c a + c b
Câu 7 (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022)
Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng: ( ) (2 ) (2 )2
12
Câu 8 (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022)
Câu 9 (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022)
Cho các số thực không âm a b, và c thỏa mãn a+ + =b c 5 Chứng minh 2a+2ab+abc18
Câu 10 (Trích đề thi chuyên Phổ thông năng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022)
Cho dãy n số thực x x1; 2;;x n (n5) thỏa mãn: x1x2 x n và x1+x2+ =x n 1
Trang 2a) Chứng minh nếu 1
3
n
x thì x1+x2 x n
3
n
3 + ++x x x k 3
Câu 11 (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022)
Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x+ +y xy=3
4
= − + − +
Câu 12 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phòng năm 2021 – 2022)
x xy y yz z zx
xyz
x y + y z + z x
Câu 13 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x+ + y z 1. Chứng minh rằng 12 1 12 1 12 1 512
Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022)
Cho x y z, , là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn 1 1 1 2
2021
Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: x+ + y z x−2021+ y−2021+ z−2021
Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lâm Đồng năm 2021 – 2022)
Cho a b c, , là các số dương và a+ + =b c 6
Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
P
Câu 16 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022)
3
b) Cho ba số thực dương x y z; , thỏa mãn: x2+y2 +z2 3 Chứng minh rằng:
( 4 4 4) ( 3 3 3)
3
x +y +z + x +y +z + + +x y z
Câu 17 (Trích đề thi chuyên Lê Qúy Đôn tỉnh Khánh Hòa năm 2021 – 2022)
Cho các số thực x x1; 2;,x21 thỏa mãn x x1; 2;:x21 − và 2 3 3 3 3
Chứng minh x1+x2++x21 18
Câu 18 (Trích đề thi chuyên tỉnh Nghệ An năm 2021 – 2022)
Cho các số dương a , b , c thỏa mãn ab+bc+ca3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
= + + + + + − + +
Câu 19 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực x y z , , 5; 7 Chứng minh rằng: xy+ +1 yz+ +1 zx+ + +1 x y z
Câu 20 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chung) năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực x y z; ; thỏa mãn x0; y0; z2 và x+ + =y z 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H =xyz
Câu 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022)
Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 6
3
+ −
= +
−
T
Trang 3Câu 22 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị (đề chung) năm 2021 – 2022)
Cho các số thực x y z, , thỏa mãn 0x y z, , 1 Chứng minh rằng: x+ + −y z 2(xy+yz+zx)+4xyz1
Câu 23 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022)
Cho hai số thực x y, thỏa mãn 0 x y 8 và xy4x+3y Chứng minh 2 2
100
Câu 24 (Trích đề thi chuyên tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022)
Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2 =3abc
T
Câu 25 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2021 – 2022)
Cho các số dương a b c; ; thỏa mãn a+ +b ab+ + =1 c 6 Chứng minh rằng:
a) a+ +b 2c10
+ + + + +
+ + +
Câu 26 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề khối xã hội) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)
Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn xyz =1 Chứng minh rằng
Câu 27 (Trích đề thi chuyên Toán Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x+ + =y z 3
Chứng minh:
5
Câu 28 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1
M
+ + + + + +
Câu 29 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hòa Bình năm 2021 – 2022)
Cho các số a b c, , đều lớn hơn 25
4
Q
Câu 30 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề chung) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)
Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2021
Chứng minh rằng:
3
7x 2xy 4y 7y 2yz 4z 7z 2zx 4x
Câu 31 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong ( đềchuyên Toán) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)
Cho a b c , , 0 và a+ + =b c 1 Chứng minh rằng a bc b ca c ab 2
+ + +
Câu 32 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tây Ninh năm 2021 – 2022)
Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 0x y z, , 1
2
T = x +y +z − x y+y z+z x
Câu 33 (Trích đề thi chuyên tỉnh Ninh Thuận năm 2021 – 2022)
Trang 4Cho các số thực dương x y z , , 0 thỏa mãn 1
8
3
xy yz zx− x y z
Câu 34 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chuyên Toán) năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xy+yz+zx=xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H
Câu 35 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Trị (đề chuyên Toán) năm 2021 – 2022)
Cho a b c, , là các số thực tùy ý Chứng minh:
4
a −ab b+ a b+
4 a +b b −bc c+ 3c +2ac+3a a b+ b c+ c+a
Trang 5HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (Trích đề thi trường chuyên Nguyễn Du tỉnh Daklak năm 2021 – 2022)
+ + +
= + + +
4 9 5
a a
13
4 9 5
b b
13
4 9 5
c c
12 27 5 5 5
1
4 9
P
a b c
3 3
15
3 13 24 54
2 3
3
= + + =
Dấu "=" xảy ra khi 2
3
a= = =b c
Câu 2 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022)
1+bc = +1 2bc b c+ =a +b + +c 2bc+2b c
2
1
1 2
a b c a b c a b c
Dấu "=" xảy ra khi 2, 0
2
2
Theo BĐT AM – GM, ta có:
( ) 2 1 2 2 ( 2 1)(2 2 2) 1 2 1 2 2 2 2
1
a
a
bc
Dấu "=" xảy ra khi a=1;b= =c 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 1 khi a=1;b= =c 0 và các hoán vị của nó
Câu 3 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022)
M
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Trang 6( ) ( )
2 yz xz 3.2 yz xy 4.2 xz xy 2z 6y 8x 2z 2x 6y 6x
M
z
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: M 2.2 xz+6.2 xy 4( xz+3 xy)=4.2=8
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1
2
x y z
x y z
= =
2
x= = =y z thì M 8 (đpcm)
Câu 4 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022)
Ta có:
2 2
9
3 9 8
2
+ + + +
4
b
−
Do đó:
2
2
b
b a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, 0
3 12
2 3
a b
=
+ =
2 3
2
a= b=
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 231
2 4
=
Câu 5 (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022)
a a
b ab
a
Theo BĐT Cauchy ta có:
+ b) Tương tự theo câu a) ta có:
3
2
b
b c − +
3
2
c
c a − +
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2
+ +
Ta có:
2 2
2 3
2
+
Tương tự ta có
2
3
b bc c b c
2
3
c ca a c a
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2
Câu 6 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2021 – 2022)
Trang 7Đặt x= +c a y; = +c b Khi đó xy =4.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
( )2 2 2
1 1 1
1
+ +
Ta có:
2
2 2
2
1 1 1 1 x y 1 x y xy
− + +
8
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
( ) (2 ) (2 )2
1
Dấu "=" xảy ra khi 4
2
xy
x y
=
− =
(tồn tại x y , tồn tại các giá trị a b c, , )
Câu 7 (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022)
2
12
( 18 ) 2 ( ).( 18 ) 6
( ) (2 ) (2 )2
6 6 12
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
( ) (2 ) (2 )2
2
6
+ + =
Câu 8 (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022)
; ; ; ; 0
x =a y =b z =c x y z
Ta có:
( ) (2 ) (2 )2 ( )
x y z
Dấu "=" xảy ra khi x= =y z
Dấu "=" xảy ra khi a= =b c
Trang 8Câu 9 (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022)
a+ ab abc+ = a+ab c+ a+a + + a+ ab abc+ a+a −
Ta sẽ chứng minh:
2
4
2
(a 3) (a 8) 0
Câu 10 (Trích đề thi chuyên Phổ thông năng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022)
3
n
x +x x , khi đó x i 0 với mọi 2 i n
2
x + x − + + +x x x x x +x x (vô lý)
3
n
3x n 3 Từ x1+x2+ +x n =1 1 1 2 1 2
3 x x x n− 1 x n 3
+ ++ = −
3
n
3
i
x với mọi i
3 + ++x x x k 3
3
l
2 3
l
Thật vậy nếu không tồn tại l thì 1 1
3
3
3 +x x 3
(mâu thuẫn do ( ) )
3
n
Do đó nếu tồn tại l thỏa ( ) thì suy ra 1 1
3
x+ x (vô lý)
Vậy điều giả sử sai Do đó tồn tại k thỏa đề bài
Câu 11 (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022)
Đặt a= + x y 0 xy= −3 a
4 4 4 12
2
4a a 12 a 2 a 6 0 a 2
+ − +
2
Tương tự:
2
2 17
y y
2
4
x y
P − x+y − xy+ +
2
3
4
a
( )
1
5 2 4
4 2
− − +
Trang 94 2
Dấu "=" xảy ra khi a =2 hay x= =y 1
Câu 12 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phòng năm 2021 – 2022)
BĐT
P
2 3
P
(BĐT Côsi)
2 3
2
2 2 2
2 3
3
+ +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= =y z
Câu 13 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)
( 2)( 2)( 2) 2 2 2
− − −
− + − + − +
Do x+ + y z 1 nên ta có
(1−x)(1−y)(1−z)(1+x)(1+y)(1+z)
(y z)(z x)(x y)(2x y z)(x 2y z)(x y 2z) ( ) 1
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
Từ ( ) ( )1 , 2 và ( )3 suy ra điều phải chứng minh
3
x= = =y z
Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022)
x + y + z =
x y z x y z
Do x y z , , 2021 nên x−2021, y−2021, z−20210
Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương ( x, y, z) và
2021
Trang 10( )2
2
x= = =y z
Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lâm Đồng năm 2021 – 2022)
Với a b , 0, ta chứng minh
3
2 2
2
a
a b −
2 2
1 1
2
− −
− +
+
2
+ −
Tương tự:
b c − c a −
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta có:
2
+ +
Ta có:
1
1
1
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
1
1
Dấu "=" xảy ra khi a= = =b c 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi a= = =b c 2
Câu 16 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3 27 27 3 27 27 27 27 54
3 3
Dấu "=" xảy ra khi 1
3
x= =y
3 đạt được khi
1 3
x= =y
b) Ta có: x4+ 1 2 x4.1=2x2 ; y4+ 1 2 y4.1=2y2 ; z4+ 1 2 z4.1=2z2
+ + + + − + + − + + +
2 2 ; 2 2 ; 2 2
Trang 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + − + + + + − + + + + + −
( ) ( 2 2 2) ( ) ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( )
VT x y z x y z 3 x y z 3 x y z x y z 3.3 3
+ + − + + + + + − + + − + + + −
( ) ( 2 2 2) ( )
VT x y z x y z 6
+ + − + + +
Mà: x2+ 1 2 x2.1=2 ;x y2+ 1 2 y2.1=2 ;y z2+ 1 2 z2.1=2z
2 2 2
+ + + + − + + − − + + + = + + + (đpcm)
Câu 17 (Trích đề thi chuyên Lê Qúy Đôn tỉnh Khánh Hòa năm 2021 – 2022)
Với mọi i có giá trị từ 1 đến 21, ta có:
x + x + x − x − x + x + x
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = i 1 hoặc x = − i 2
Áp dụng bất đẳng thức ( )* , ta có:
3
3
3
2 3
2 3
2 3
+
+
+
Suy ra
Dấu "=" xảy ra khi có 1 số bằng 2− và 20 số còn lại bằng 1
Câu 18 (Trích đề thi chuyên tỉnh Nghệ An năm 2021 – 2022)
+ + + +
2
a b
1 1 1 1 1 1
P
= = = và x+ + y z 3
x y + y z + x z x y y z x z
3 2x 2y 2z
2 2
Dấu '' ''= xảy ra khi x= = =y z 1 hay a= = =b c 1
Câu 19 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022)
, 5; 7 2 4
x y − x y x−y
− + + + + +
Chứng minh tương tự ta có: y+ z 2 yz+1; z+ x 2 zx+1
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có
Trang 12( ) ( )
2 x+ +y z 2 xy+ +1 yz+ +1 zx xy+ +1 yz+ +1 zx+ + +1 x y z
2
2 1 2
− =
− =
− =
Vì x y z nên giả sử x y z
Ta có ( )
− = − =
− = − =
− = − =
(vô nghiệm)
Vậy xy+ +1 yz+ +1 zx+ + +1 x y z
Câu 20 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chung) năm 2021 – 2022)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H =xyz
2
z
x= =y )
2 2
+ + + = + + =
z
Do đó H 2
Dấu "=" xảy ra khi
2
4 1; 2 2
z
z
= =
+ + = = = =
=
Vậy giá trị lớn nhất của H bằng 2 đạt được khi x= =y 1; z=2
Câu 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022)
( )
T
3 2 6 9 3 2 6 9 0 2 6 3 9 0 *
T x − x = x − x− Tx − Tx− x + x+ = T− x + − T x+ =
6 3 4 2 9 36 36 9 36 72 9 8 12
= − T − T− = − T+ T − T+ = T − T+
6
T
T
Với
2
2
3
−
2
2 3
−
3 6
2
T Min = =x
Trang 13Vì: 1 x 2 Thay x = 2 vào T ta được: 2 ( ) ( )
2
2 3
−
( )
2
=
x
x
1 6,5
2
=
Max
x T
x
Câu 22 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị (đề chung) năm 2021 – 2022)
Vì
( ) ( ) ( )
1 0
0 , , 1 1 0
1 0
xy z
xz y
−
−
−
3xyz xy yz zx xyz xy yz zx 0
+ + − + +
Lại có (x−1)(y−1)(z− 1) 0 xyz−xy−yz−zx+ + + − x y z 1 0 ( )2
Cộng vế theo vế của ( )1 và ( )2 ta được:
4xyz−2 xy+yz+zx + + + − x y z 1 0 + + −x y z 2(xy+yz+zx)+4xyz1 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi (x y z =; ; ) (1;1;1) hoặc (x y z =; ; ) (0;1;1) và các hoán vị của nó
Câu 23 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022)
100 1
x +y
Với 6 x y 8 − 0 y x 2 ( )2 ( )
2
− −
2 2
2 2 8 6 2 2 6 8
+ + − + − + = +
6x+8y 6 +8 x +y 2 2
6x 8y 10 x y
+ +
Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra điều phải chứng minh
Câu 24 (Trích đề thi chuyên tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022)
3 a b c 3
+ + = + + =
Áp dung bất đẳng thức AM - GM ta có:
2 2
bc+ca+ bc ca = ; c b c 2 b c 2
ca+ab ca ab = ; a a c 2 a c 2
bc+ab bc ab =b
3a +2b +c =2 a +b + a +c 4ab+2ac
1 1
3 2 4 2 2 2
Trang 14Suy ra 1 1 1 1 1.3 1
a b c
Dấu "=" xảy ra khi a= = =b c 1
Vậy GTLN của T là 1
2 khi a= = =b c 1
Câu 25 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2021 – 2022)
2
a b
+ + +
2
2
a b
= + + + + + + + +a b 2 2c12
Suy ra a+ +b 2c10
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a+ =1 b+ =1 a b
Vậy a+ +b 2c10
− + − + − − + + − + +
2 2
1 1 2 ( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
+
1 2
2 2
a b
c
+ + + + +
+ + +
Câu 26 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề khối xã hội) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)
Với x y z, , là các số dương và xyz =1 ta có:
3 3 3
x +y = x+y x −xy+y và x2−xy+y2 xy
z
+ + + +
x
+ + và z3 x3 z x
y
+
x+ y x y = xy
Mà
2
Trang 15Suy ra ( 3 3 3) 4 4 4 3 3 3
Ta được điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi: x= = =y z 1
Câu 27 (Trích đề thi chuyên Toán Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)
Đặt
P
+ +
+ + +
Tương tự ta có:
,
5 2 3
2 3 y z x
+ +
5 2 3
2 3 z x y
+ + +
P
a b c
a b c
Dấu "=" xảy ra khi a= =b c
a+ + b c a b c
+ +
Do đó:
P = Dấu "=" xảy ra khi x= = =y z 1
Câu 28 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022)
Ta có:
2 3 2 1 2 3 2 1
+ + + + + + + +
M
ab
M
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1
2 đạt được tại a= = =b c 1
Câu 29 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hòa Bình năm 2021 – 2022)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: