(Luận văn thạc sĩ) nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ thống đơn giản

VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VNHỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021... VÀ ĐÀO TẠO KHOA H

VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LÊ BÁ DŨNG

NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2021

VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LÊ BÁ DŨNG

NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TSKH Đoàn Thái Sơn

Hà Nội - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân và sự hướng dẫn tận tình của PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn Mọi kết quảnghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể

Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo

vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phươngtiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan

Hà Nội, Ngày 20 tháng 4 năm 2022

Học viên

Lê Bá Dũng

-LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKH.Đoàn Thái Sơn, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu Luậnvăn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thờigian dài Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị, bạn bè của Viện Toán học

vì sự giúp đỡ, góp ý và tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu để tôithực hiện tốt luận văn của mình

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ

sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, Ngày 20 tháng 4 năm 2022

Học viên

Lê Bá Dũng

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic 3

1.2 Định lý hồi qui Poincaré 7

1.3 Định lý Birkhoff 8

2 Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork 18 2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên 18

2.1.1 Hệ động lực ngẫu nhiên 18

2.1.2 Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên 23

2.1.3 Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên 30

2.2 Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính 33

2.2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên 34

2.2.2 Tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ

nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên 382.2.3 Độ đo dừng của hệ rẽ nhánh Pitchfork và số mũ Lyapunov 422.2.4 Hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork 45

Kết luận 48

α,√α] , với α ≥ 0.

Vớiα = 0 tập hút toàn cục chỉ gồm duy nhất một điểm là{0} Với α < 0thìdòng tác động vào các giá trị ban đầu và khiến chúng hội tụ tới cùng một điểmvới tốc độ mũ theo thời gian Đặc biệt, với hai nghiệm của bài toán giá trị banđầu khác nhau thì chúng bất khả phân biệt sau một khoảng thời gian nào đó.Với α > 0, khoảng cách giữa hai nghiệm xuất phát từ hai giá trị ban đầu vớidấu khác nhau hội tụ tới số thực dương2√

α, mặc dù ban đầu chúng có thể rấtgần nhau Xét họ các phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDEs) sau

dx = (αx − x3)dt + dWt (2)trong đó α ∈ R và (Wt)t∈R là quá trình Wiener Phương trình (2) sinh ra một

Hệ động lực ngẫu nhiên Trong luận văn này ta nhắc lại khái niệm tập hút toàn

cục của Hệ động lực ngẫu nhiên Tập hút này đồng thời là tập compact ngẫunhiên, tức là, ánh xạω 7→ A(ω)nhận giá trị là một tập con compact của khônggian trạng thái X = R Hơn nữa nó là bất biến, liên thông và hút mọi tập tấtđịnh bị chặn Với mọiα ∈ R thì phương trình trên có tập hút ngẫu nhiên chính

là một tập compact

A(ω) = Aα(ω) = [a−α(ω), a+α(ω)],với biến ngẫu nhiên ω 7→ a±α(ω) Ta sẽ chứng minh rằng với mọi α ∈ R thì

a−α(ω) = a+α(ω) h.c.c Do đó tập hút ngẫu nhiên Aα chỉ gồm duy nhất mộtđiểm Điều này có nghĩa rằng mọi nghiệm của phương trình (2) hội tụ tới nhaubất kể dấu của α Khi đó ta nói nhiễu ngẫu nhiên sinh ra hiện tượng đồng bộhóa Các kết quả nghiên cứu này được giới thiệu và chứng minh trong công bố[2] của H Crauel và F Flandoli

Cấu trúc của luận văn như sau:

Chương 1: Chương này được dành để nhắc lại một số định nghĩa, định lý và tínhchất quan trọng của lý thuyết Ergodic phục vụ cho luận văn này

Chương 2: Nội dung phần này trình bày tính chất nhiễu sinh ra hiện tượng đồng

bộ hóa cho hệ rẽ nhánh Pitchfork

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức tuynhiên khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận được sự góp ýcủa quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương này giới thiệu một số khái niệm về ánh xạ bảo toàn

độ đo, ánh xạ ergodic, giới thiệu và chứng minh định lý Birkhoff ergodic Cáckết quả khác về lý thuyết ergodic có thể đọc thêm ở [3] và [4]

1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic

Ta bắt đầu bằng khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic

Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ bảo toàn độ đo) Cho 2 không gian xác suất(Ω1, F1,P1),(Ω2, F2,P2)và phép biến đổi T : Ω1 → Ω2 được gọi là:

(i) đo được nếu với mọiB2 ∈ F2 thìT−1B2 ∈ F1

(ii) bảo toàn độ đo nếuT là đo được và

P1(T−1(B2)) = P2(B2), ∀B2 ∈ F2

Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ ergodic) Phép biến đổi bảo toàn độ đoT : Ω → Ωtrên không gian xác suất (Ω, F ,P) được gọi là ergodic nếu với B ∈ F mà

T−1B = B thì P(B) = 0hoặc P(B) = 1

Có một số cách phát biểu khác về tính Ergodic Các định lý sau sẽ trình bàymột số điều kiện tương đương của của tính Ergodic.

Định lý 1.3 Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất(Ω, F ,P) Khi đó, các khẳng định sau tương đương:

(i) T là ergodic,

(ii) Với bất kỳB ∈ F mà P(T−1B∆B) = 0thì P(B) = 0 hoặc P(B) = 1,

(iii) Với mọi A ∈ F mà P(A) > 0 thì P(S∞

ĐặtB∞ = T∞

n=0

S∞ i=nT−iB.Vì

∞

S

i=n

T−iB là dãy giảm theonvà mỗi tập trên

có cùng độ đo vớiB nên P(B∞∆B) = 0 và do đó P(B∞) = P(B) Hơn nữa,

Dẫn đến P(B ∩ T−nA) > 0vớin ∈ N

Chứng minh(iv) ⇒ (i) Giả sửB ∈ F vàT−1B = B Nếu0 < P(B) < 1thì0 = P(B ∩ (Ω \ B)) = P(T−nB ∩ (Ω \ B)), ∀n ≥ 1.Điều này mâu thuẫnvới(iv).Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.4 Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất(Ω, F ,P) Khi đó, các khẳng định sau tương đương:

(i) T là ergodic,

(ii) Nếu f là hàm đo được và(f ◦ T )(ω) = f (ω), ∀ ω ∈ Ω thìf = c h.c.c, (iii) Nếu f là hàm đo được và(f ◦ T )(ω) = f (ω) h.c.c thìf = c h.c.c, (iv) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f ◦ T )(ω) = f (ω), ∀ ω ∈ Ω thì

2n,k + 1

2n

!

và(1E◦ T )(ω) = 1E(ω), ∀ ω ∈ Ω Theo giả thiết (iv)ta có1E = c h.c.c nên

1E = 0, hoặc1E = 1, nên P(E) =R 1EdP = 0hoặc P(E) = 1

Các trường hợp (iii) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iv), (v) ⇒ (iv) và (iii) ⇒ (v) là hiểnnhiên Ta có điều phải chứng minh

1.2 Định lý hồi qui Poincaré

Định lý 1.5 (Định lý hồi qui Poincaré) Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất (Ω, F ,P) Cho tập hợp E ∈ F với

P(E) > 0.Khi đó, hầu chắc chắn các phần tử thuộcE hồi quy thường xuyên vô hạn lần về E dưới một số dương lần phép lặp bởi T; tức là tồn tại tập F ⊂ E

với P(F ) = P(E) sao cho với mỗi ω ∈ F, tồn tại một dãy các số tự nhiên

Cn ⊂

[

Do đó

0 ≤ P(Cn) ≤P

[

j≥n

T−j(E)

.Hơn nữa

[

j≥n

T−j(E) = T−n

[

j≥0

T−j(E)

,kết hợp với tính bảo toàn độ đo,

0 ≤ P(Cn) ≤ P



T−n

[

FN = max

0≤n≤Nfn ≥ 0.Khi đó,

Z{ω:FN(ω)>0}f dP ≥ 0.

Chứng minh. Hiển nhiên FN ∈ L1(P) Với mỗi 0 ≤ n ≤ N, FN ≥ fn Kếthợp điều này với U là toán tử tuyến tính dương, ta cóU FN ≥ U fn.Từ đó,

Ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 1.7 Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất(Ω, F ,P) Với mỗiα ∈ R vàg ∈ L1(P), đặt

Z

f∗dP =

Z

f dP

Trước khi đi vào chứng minh chi tiết Định lý 1.8, ta xét 2 hệ quả quan trọngcủa định lý như sau.

Hệ quả 1.9 (Định lý Von Neumann về tính ergodic trong không gianLp) Giả

sử 1 ≤ p < ∞ và T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất (Ω, F ,P) Khi đó, nếu f ∈ Lp(P) thì tồn tại hàm f∗ ∈ Lp(P) sao cho

f∗ ◦ T = f∗ h.c.c và

1n

X

i=0

P(Ti(A) ∩ B) → P(A)P(B)

Ngược lại, giả sửT−1E = E vớiE ∈ F ĐặtA = B = E trong giả thiết hội

tụ, ta có

1n

n−1

X

i=0

P(Ti(E) ∩ E) =P((E) → P2(E)

Do đó P(E) = 0 hoặc P(E) = 1

Chứng minh Định lý 1.8. Vớif ∈ L1(P)như giả thiết, đặt

f∗(ω) = lim sup

n→∞

1n

1

cho nên ta chỉ cần chứng minh P(Eα,β) = 0 nếu β < α Dễ có điều kiện

T−1Eα,β = Eα,β tương đương vớiT Eα,β = Eα,β Áp dụng Hệ quả 1.7 cho:

Nếu ta thay tương ứng f, α, β bởi −f, −β, −α với lưu ý (−f )∗ = −f∗,(−f )∗ = −f∗ ta cũng có

1n

lim

n→∞gn(ω) =

lim

n→∞

1n

D n k

f dP

Ta có điều phải chứng minh.

Chú ý 1.11. (i) Định lý Birkhoff đúng trong trường hợp tổng quát (Ω, F ,P)

là không gian đo và P là độ đo σ- hữu hạn

(ii) NếuT là ergodic, áp dụng điều kiện(iii)của Định lý 1.4 thìf∗ = c h.c.c.(iii) NếuT là ergodic, với mọi hàm đo đượcf,

lim

n→∞

1n

Định lý 1.13 (Định lý Birkhoff cho dòng) Giả sử(Ω, F ,P) là không gian xác suất,(St)t∈R là một dòng các phép biến đổi độ đo và f ∈ L1(Ω, F ,P) Khi đó giới hạn sau

lim

t→∞

1t

Định lý 1.14 Cho các không gian đo (Ω, F ), (Ω0, F0) và ánh xạ T là ánh xạ

F /F0- đo được Giả sửµlà độ đo trênF và f : (Ω0, F0) → (R,B(R)) là ánh

xạF0/B(R)- đo được Nếu f là hàm không âm thì

Ω 0

1A0µT−1(dω0) = µT−1(A0).Bởi tính chất tuyến tính của tích phân, (1.2) đúng với hàm đơn giản không âm.Nếu f là hàm không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản không âm {fn}n∈N

sao cho 0 ≤ fn ↑ f nên 0 ≤ fnT ↑ f T và áp dụng Định lý hội tụ đơn điệu

ta có (1.2) Với hàmf khả tích bất kì, vì |f | = f+ − f− nên (1.2) đúng Cuốicùng nếu thay thếf bởif 1A0, (1.2) chính là (1.3)

Nhận xét 1.15 Nếuf ∈ L1(Ω, F ,P), bằng phép đổi biến, tính bảo toàn độ đocủa dòngStω tương đương với

n

Z

0

f (Suω)dutồn tại P- hầu chắc chắn Ta thấy rằng vớin < t < n + 1

Kết hợp với P là độ đo xác suất nên giới hạn (1.1) tồn tại Do đó đẳng thức

f∗(Shω) = lim

t→∞

1h

(i) (t, ω) 7→ θ(t, ω)là ánh xạ đo được,

(ii) θ(0, ·) = idΩ(idΩ là ánh xạ đồng nhất từ Ωvào chính nó),

(iii) Tính chất dòng (nửa dòng):θ(t + s) = θ(t) ◦ θ(s),với mọit, s ∈ R.

Ví dụ 2.2 Cho không gian chính tắc các quỹ đạo:

Kí hiệuF làσ-đại số Borel của không gian metric(Ω, d)

Cho quá trình ngẫu nhiên Wt : Ω → R, ω 7→ ω(t), t ∈ R Khi đó tồn tại độ

đo Wiener P sao cho quá trình ngẫu nhiên{Wt}t∈R là chuyển động Brown mộtchiều Sau đây, ta định nghĩa hàm chuyển thời gian:

θtω(·) = ω(· + t) − ω(t), t ∈ R.Khi đó,(Ω, F ,P, (θt)t∈R)là một hệ động lực metric với họ các biến ngẫu nhiên{Wt}t∈R là chuyển động Brown, xem [5]

Định nghĩa 2.3 (Hệ động lực ngẫu nhiên) Cho(Ω, F ,P,θ(t) t∈I)là một hệđộng lực Metric với thời giant Một hệ động lực ngẫu nhiên (RDS) trên khônggian đo được(R,B(R))liên kết với hệ động lực Metricθ(·)là một ánh xạ

ϕ : T × Ω ×R −→ R,

(t, ω, x) 7−→ ϕ(t, ω, x)thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Tính đo được:ϕlàB(I) ⊗ F ⊗B(R)/B(R)- đo được.

(ii) Tính đồng chu trình: Các ánh xạ ϕ(t, ω) := ϕ(t, ω, ·) : R → R lập nênmột chu trình trênθ(·), tức là, chúng thỏa mãn

ϕ(0, ω) = idR (ánh xạ đồng nhất trên R),ϕ(t + s, ω) = ϕ(t, θsω) ◦ ϕ(s, ω), ∀s, t ∈I, ω ∈ Ω

Định nghĩa 2.4 (Tích chéo) Cho hệ động lực ngẫu nhiênϕ Khi đó ánh xạ

(ω, x) 7→ (θtω, ϕ(t, ω, x)) =: ψ(t)(ω, x), t ∈ I,

là một hệ động lực đo được trên(Ω ×R, F ⊗B(R))và được gọi là tích chéo.

Cho hệ động lực ngẫu nhiênϕ, sinh ra một tích chéoψ Giả sử độ đo xác suất

µtrên(Ω×R, F ⊗B(R))là bất biến vớiψ, tức làψ(t)µ = µvới mọit ∈ I Gọi

πΩ : Ω ×R → Ω, πΩ(ω, x) = ω là phép chiếu vàoΩ VìπΩ◦ ψ(t) = θ(t) ◦ πΩnên

ngẫu nhiênϕ, hayϕ- bất biến, nếu nó thỏa mãn

(i) ψ(t)µ = µ, với mọi t ∈ I,

(ii) πΩµ = P

Định nghĩa 2.6 Giả sửµlà độ đo xác suất trên(Ω×R, F ⊗B(R))với marginal

P trên(Ω, F ) Ta gọi hàmµ·(·) : Ω ×B(R) → [0, 1]là độ đo mẫu củaµtươngứng với P nếu

(i) với mọiB ∈ B(R), ω 7→ µω(B)là F- đo được,

(ii) B 7→ µω(B) là độ đo xác suất trên(R,B(R)), h.c.c

(iii) với mọiA ∈ F ⊗B(R),

Định nghĩa 2.7 (Quá khứ, tương lai của hệ động lực ngẫu nhiên) Cho hệ động

lực ngẫu nhiên đo được ϕtrên (R,B(R)) với thời gian 2 chiều Ta gọi σ- đại

số conF− ⊂ F là quá khứ củaϕnếu nó thỏa mãn với mọit ≥ 0

(Ω ×R, F ⊗ B(R)) với marginal P trên (Ω, F ) sao cho độ đo mẫu ω 7→ µω

làF−- đo được hoặcF+- đo được, tức là E(µ·|F±) = µ, h.c.c, được gọi là độ

đo Markov.

Tiếp theo ta sẽ trình bày định nghĩa về quá trình Markov phục vụ cho phầnsau

Định nghĩa 2.9 Choµlà độ đo xác suất trên không gian(R,B(R))với bộ lọc

tự nhiên (F )t≥0 Cho X = {Xt, Ft; t ≥ 0} là quá trình liên tục, tương thích

nhận giá trị thực Quá trình này được gọi chuyển động Brown với phân phối ban

Px(B) = P0(B − x), B ∈ B(R)

Khi đó, Px và Xt(ω) = ω(t) và bộ lọc tự nhiên là quá trình Brown bắt đầu tại

x Ta định nghĩa Pµ như sau

(i) Pµ(X0 ∈ B) = µ(B), ∀B ∈ B(R)

(ii) với mọis, t ≥ 0 vàB ∈ B(R),

Pµ(Xt+s ∈ B|Fs) = Pµ(Xt+s ∈ B|Xs), h.c.c

2.1.2 Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.11 Một ánh xạK : Ω → 2Rnhận giá trị tập con của R được gọi

là đo được nếu với mỗix ∈ R thì ánh xạ từ Ω → R, ω 7→ d(x, K(ω))là ánh

xạ đo được Trong đó,

d(A, B) = sup

ninfd(x, y) : y ∈ B : x ∈ Ao

là nửa metric Hausdorff

Một ánh xạ nhận giá trị tập đóng, đo được được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên.

Một tập ngẫu nhiênK được gọi bất biến (chặt)ϕ- forward nếu với mọi t > 0,

ϕ(t, ω, K(ω)) ⊂ K(θtω) (ϕ(t, ω, K(ω)) = K(θtω)), h.c.c

Chú ý 2.12. (i) Tập đóng ngẫu nhiên không phụ thuộc vào việc chọn metric

d Hơn nữa với mọi tập đóng ngẫu nhiên khác rỗngω → K(ω)tồn tại dãy

đo được kn : Ω → R, n ∈ N sao cho K(ω) = kn(ω) : n ∈ N

(ii) Trong trường hợp tổng quát, giao bất kì các tập đóng ngẫu nhiên thì chưachắc là một tập đóng ngẫu nhiên Tuy nhiên nếu (Kt)t∈I là một dãy giảmcác tập compact ngẫu nhiên thì K = lim

t∈I Kt = T

t

Kt là một tập đóngngẫu nhiên

Định nghĩa 2.13 Cho một tập đóng ngẫu nhiênK, tập hợp

được gọi là tậpΩ- giới hạn củaK Theo định nghĩa trên ΩK(ω)là tập đóng.Tương tự như định nghĩa tậpΩ- giới hạn trong tất định ta cũng có định nghĩatương đương sau

ΩK(ω) =ny ∈ R : ∃ tn → ∞, xn ∈ K(θ−tnω) : ϕ(tn, θ−tnω, xn) −−−→ yn→∞ o.Tậpθ- chuyển của một tậpΩ- giới hạn là

ΩK(·) ◦ θt = Ω(K, θtω) = {y ∈ R : ∃ tn → ∞ và xn ∈ K(θ−tn+tω) :

ϕ(tn, θ−tn+tω, xn) −−−→ y}.n→∞Nhận xét sau chứng minh hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tất định,trong đó ta sử dụng giả thiết về tính liên tục củaϕ(t, ω, x)

Nhận xét 2.14 TậpΩ- giới hạn của một tập đóng ngẫu nhiênK là bất biến

Chứng minh. Vớiy ∈ ΩK(ω), tồn tại các dãy tn → ∞ và xn ∈ K(θ−tnω) saochoy = lim

n→∞ϕ(tn, θ−tnω, xn) Vớit > 0 điều này dẫn đến

nθtω).Do đó từ định nghĩatậpθ- chuyển mà ta cóϕ(t, ω, y) ∈ ΩK(θtω)

Ngoài cách chứng minh trên, ta còn có cách chứng minh thuần "tất định"như sau

Chứng minh Nhận xét 2.14. Với mọiB ⊂ R, t ≥ 0 vàω ∈ Ω,

Định nghĩa 2.15 (Tập hút ngẫu nhiên) Một tập ngẫu nhiênA được gọi là hút

tập ngẫu nhiênB nếu

d(ϕ(t, θ−tω, B(θ−tω)), A(ω)) −−−→ 0, h.c.c.t→∞

Định nghĩa 2.16 (Tập hấp thụ ngẫu nhiên) Nếu 2 tập ngẫu nhiênA, B sao choP- h.c.c tồn tại thời điểmtB(ω)mà với mọit ≥ tB(ω)

ϕ(t, θ−tω, B(θ−tω)) ⊂ A(ω),thìAđược gọi hấp thụB, vàtB được gọi thời điểm hấp thụ.

Nhận xét 2.17 Nếu một tập ngẫu nhiênAhút tập ngẫu nhiênB thì

ΩB ⊂ A, h.c.c

Điều ngược lại chưa chắc đúng Nó chỉ đúng trong trường hợpA hấp thụB