Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic
Ta bắt đầu bằng khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic. Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ bảo toàn độ đo) Cho 2 không gian xác suất ( 1 ;
F 1 ; P 1 ), ( 2 ; F 2 ; P2) và phép biến đổi T : 1 ! 2 được gọi là:
(i) đo được nếu với mọi B 2 2 F 2 thì T 1 B 2 2 F 1 :
(ii) bảo toàn độ đo nếu T là đo được và
P 1 (T 1 (B 2 )) = P 2 (B 2 ); 8B 2 2 F 2 : Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ ergodic) Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : ! trên không gian xác suất ( ; F; P) được gọi là ergodic nếu với B 2 F mà
Tính Ergodic có thể được diễn đạt qua nhiều cách khác nhau, và một số điều kiện tương đương sẽ được trình bày trong các định lý sau đây Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu T là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P), thì các khẳng định liên quan đến tính Ergodic là tương đương với nhau.
(ii) Với bất kỳ B 2 F mà P(T 1 B B) = 0 thì P(B) = 0 hoặc P(B) = 1;
(iii) Với mọi A 2 F mà P(A) > 0 thì P(S 1 n=1 T n A) = 1;
(iv) Với mọi A; B 2 F thỏa mãn P(A) > 0; P(B) > 0 thì tồn tại n > 0 sao cho P(T n A \ B) > 0:
Chứng minh Chứng minh (i) ) (ii): Cho B 2 F mà P(T 1 B B) = 0.
Trước hết ta xây dựng một tập B 1 sao cho T 1 B 1 = B 1 và P(BB 1 ) = 0. Với mỗi n 0, ta có P(T n B B) = 0 Thật vậy, vì
[ [ nên cùng với giả thiết T là ánh xạ bảo toàn độ đo ta có
Từ nhận xét trên ta biết rằng với mỗi n 0 ,
1 = T T i B là dãy giảm theo n và mỗi tập trên n=0 i=n i=n đo với B nên (B )= (B): Hơn nữa, có cùng độ (B B) = 0 và do đó
Do đó ta đã chỉ ra một tập B 1 thỏa mãn T 1 B 1 = B 1 và P(B 1 B) = 0: Từ tính ergodic ta có hoặc P(B 1 ) = 0 hoặc P(B 1 ) = 1 và do đó P(B) = 0 hoặc P(B) = 1:
Chứng minh (ii) ) (iii): Cho A 2 F và P(A) > 0 Đặt A 1 = S 1 n=1 T n A; ta có
Kết hợp với P(T 1 A 1 ) = P(A 1 ) nên P(T 1 A 1 A 1 ) = 0: Từ giả thiết (ii) ta được P(A 1 ) = 0 hoặc P(A 1 ) = 1 Ta không thể có P(A 1 ) = 0 vì T 1 A A 1 và P(T 1 A) = P(A) > 0 Do đó P(A 1 ) = 1.
Chứng minh (iii) ) (iv): Cho P(A) > 0; P(B) > 0 Theo giả thiết (iii) ta có P n=1 T nA 1 = 1 nên
Giả sử B thuộc F và T là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P) Nếu 0 < P(B) < 1, ta có P(B \ ( n B)) = P(T n B \ ( n B)) = 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thuyết Do đó, các khẳng định liên quan đến định lý 1.4 là tương đương.
(ii) Nếu f là hàm đo được và (f T )(!) = f(!); 8 ! 2 thì f = c h.c.c,
(iii) Nếu f là hàm đo được và (f T )(!) = f(!) h.c.c thì f = c h.c.c,
(iv) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f T )(!) = f(!); 8 ! 2 thì f = c h.c.c,
(v) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f T )(!) = f(!) h.c.c thì f = c h.c.c.
Chứng minh Chứng minh (i) ) (ii): Giả sử T là ergodic, f là đo được và f T = f h.c.c Với mỗi k 2 Z và n > 0 đặt
Do đó theo mục (ii) Định lý 1.3 có P( (k; n)) = 0 hoặc P( (k; n)) = 1 Với
1 S là hợp rời nhau nên tồn tại k n : P( (k n ; n)) = 1: mỗi n 2 N, k2 Z (k; n) Đặt Y = (k n ; n) thì P(Y ) = 1 và f liên tục trên Y nên f = c h.c.c. n=1 minh (iv) ) (i): Giả sử E 2 F và T 1E = E Khi đó 1 2 L2( P )
E và (1 E T )(!) = 1 E (!); 8 ! 2 Theo giả thiết (iv) ta có 1 E = c h.c.c nên
) , nhiên Ta có điều phải chứng minh.
Định lý hồi qui Poincaré
Định lý 1.5 (Định lý hồi qui Poincaré) Giả sử T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P) Cho tập hợp E 2 F với P(E)
Khi đó, các phần tử thuộc tập E sẽ hồi quy vô hạn lần về E dưới tác động của phép lặp T với xác suất P(F) = P(E) Điều này có nghĩa là tồn tại một tập hợp F E, sao cho đối với mỗi phần tử trong F, sẽ có một dãy số tự nhiên n1 < n2 < thỏa mãn T ni thuộc F cho mọi i.
Chứng minh Đặt C n := ! 2 : T j (!) 2= E; 8j n Hiển nhiên
Do đó để chứng minh định lý ta chỉ cần chỉ ra C n 2 F và P(C n ) = 0 với mọi n 1: Dễ có
Hơn nữa j n T j (E) = T n j 0T j (E) ; kết hợp với tính bảo toàn độ đo,[
Ta có điều phải chứng minh.
Định lý Birkhoff
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số kết quả quan trọng liên quan đến định lý Birkhoff Định lý 1.6, hay còn gọi là định lý ergodic cực đại, khẳng định rằng nếu U : L 1 (P) → L 1 (P) là một toán tử tuyến tính dương với điều kiện f ≥ 0 và ||U|| ≤ 1, thì đối với mỗi số tự nhiên N và hàm f thuộc L 1 (P), ta có thể thiết lập f₀ = 0 và fₙ = f + U f + + Uⁿ⁻¹ f.
Chứng minh Hiển nhiên F N 2 L 1 (P) Với mỗi 0 n N, F N f n Kết hợp điều này với U là toán tử tuyến tính dương, ta có U F N U f n : Từ đó,
= F N (!): Điều này dẫn đếnf FN U F N trên A = !:FN(!)>0 nên
Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.7 Giả sử T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( ; F; P) Với mỗi 2 R và g 2 L 1 (P), đặt
Chứng minh Xét trường hợp A = Đặt f = g thì
P(B ): Trong trường Áp dụng Định lý 1.6 có f d > 0 nên gdP hợp tổng quát, áp dụng cách chứng minh trên cho j A ta có
Định lý Birkhoff, một yếu tố quan trọng trong lý thuyết ergodic, được trình bày như sau: Giả sử ( ; F; P) là không gian xác suất và ánh xạ T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo với f thuộc L 1 (P) Khi đó, trung bình của f(T i (!)) từ i=0 đến n hội tụ h.c.c tới hàm số khả tích f thuộc L 1 (P).
Trước khi đi vào chứng minh chi tiết Định lý 1.8, ta xét 2 hệ quả quan trọng của định lý như sau.
Hệ quả 1.9, theo định lý Von Neumann về tính ergodic trong không gian L p, chỉ ra rằng với điều kiện 1 < p và T là phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian xác suất ( ; F; P), tồn tại một hàm f thuộc L p (P) sao cho f T = f h.c.c Điều này có nghĩa là, nếu f thuộc L p (P), thì có một hàm f khác cũng thuộc L p (P) thỏa mãn mối quan hệ này, dẫn đến việc tổng quát hóa các tính chất ergodic trong không gian xác suất.
Chứng minh Cho hàm số g bị chặn và đo lý Birkhoff thì f (!) ! 0: p được Khi đó g 2 L p (P) và theo định
Sử dụng Định lý hội tụ bị chặn có
Suy ra, với mọi > 0, tồn tại N( ; p) : với mọi n > N và k > 0 thì n 1 1 X g(T i !) n i=0
Cho f 2 L p (P) và S n (f)(!) = n i =0f(T i !): Ta sẽ chứng minh Sn(f) là p
: Với > 0 bất dãy Cauchy trong L ( ) với chú ý Pn( ) f kì, chọn g 2 L p (P) sao cho kf gk p < 4 thì kSnf S n+kfk p kS n f S n gk p + kS n g S n+k gk p + kS n+k g S n+k fk p
Do đó tồn tại f 2 L p (P) sao cho kS n f f k p ! 0:
Hệ quả 1.10 Giả sử T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( ; F; P) Khi đó, T là ergodic nếu và chỉ nếu với mọi A; B 2 F
Chứng minh Giả sử T là ergodic Áp dụng định lý Birkhoff cho f = 1 A ,
Nhân cả hai vế với 1 B ta có
=0 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn,
Ngược lại, giả sử T 1 E = E với E 2 F: Đặt A = B = E trong giả thiết hội tụ, ta có
Chứng minh Định lý 1.8 Với f 2 L 1 (P) như giả thiết, đặt f (!) = lim sup1 n 1 f(T i (!)); f (!) = lim inf1 n 1 f(T i (!)):
Ta chứng minh n + 1 n a n+1 (!) f T = f và f T = f Thật vậy, với a n (!) 1 n 1
Ta cần chứng minh f = f h.c.c và tính khả tích của f : Với ; 2 R, đặt
! : f (!) < f (!) ; 2 Q cho nên ta chỉ cần chứng minh P(E ; ) = 0 nếu < : Dễ có điều kiện
T 1E ; = E ; tương đương với T E ; = E ; Áp dụng Hệ quả 1.7 cho:
Nếu ta thay tương ứng f; ; bởi f; ; với lưu ý ( f) = f , ( f) = f ta cũng có
Tóm lại P(E ; ) P(E ; ) nhưng vì < nên P(E ; ) = 0: Vậy f = f h.c.c và
Sử dụng bổ đề Fatou cho dãy hàm g n (!) =
Z Z g n dP và nlim gn(!) = nlim 1 n 1
Với mỗi > 0 đủ bé, ta có D k n \B n k = D k n : Hơn nữa điều kiện T 1 D k n = D k n tương đương với điều kiện T D n = D n : Áp dụng Hệ quả 1.7 ta có k k
Lấy tổng theo k 2 N ta có
Vì điều này đúng với mọi n 1 ta có
Z f dP Z f dP: Áp dụng các bước trên với f tương ứng f ta cũng có
Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.11.(i) Định lý Birkhoff đúng trong trường hợp tổng quát ( ; F;
P) là không gian đo và P là độ đo - hữu hạn.
(ii) Nếu T là ergodic, áp dụng điều kiện (iii) của Định lý 1.4 thì f = c h.c.c.
(iii) Nếu T là ergodic, với mọi hàm đo được f, n 1 Z P n!1 n i=0 lim 1
Trong bài viết này, chúng ta sẽ trình bày một mở rộng của định lý Birkhoff, được áp dụng cho chương tiếp theo Trước hết, chúng ta cần định nghĩa dòng các phép biến đổi bảo toàn độ đo Cụ thể, cho (St)t2R là một nhóm các phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P), với điều kiện St+s(!) = St(Ss(!)) cho mọi t và s thuộc R.
Dòng (St)t2R được định nghĩa là một dòng nếu mọi ánh xạ đo được f(!) trên không gian tích Descartes R đều có ánh xạ f(St!) cũng đo được Định lý 1.13, hay còn gọi là Định lý Birkhoff cho dòng, khẳng định rằng trong không gian xác suất ( ; F; P), nếu (St)t2R là một dòng các phép biến đổi độ đo và f thuộc L1 ( ; F; P), thì các điều kiện trên vẫn được thỏa mãn.
Khi đó giới hạn sau t!1 t Z
1 f(S !)du := f (!); tồn tại với xác suất bằng 1 Hơn nữa f (S t !) = f (!) và
Để chứng minh định lý Birkhoff cho dòng, chúng ta cần áp dụng định lý về phép thế biến Định lý 1.14 chỉ ra rằng, với các không gian đo ( ; F) và (0 ; F0), cùng với ánh xạ T là ánh xạ F=F0 - đo được, nếu f : (0 ; F0) → (R; B(R)) là ánh xạ F0 =B(R)- đo được và f là hàm không âm, thì các điều kiện cần thiết sẽ được thỏa mãn.
0 trong đó T 1 là độ đo ảnh trên F 0 Khi đó f là hàm khả tích với T 1 nếu và chỉ nếu f T là hàm khả tích với và
Chứng minh Nếu f = 1 A 0 thì f T = 1 T 1 A 0 và
Do tính chất tuyến tính của tích phân, công thức (1.2) áp dụng cho hàm đơn giản không âm Nếu f là hàm không âm, thì tồn tại một dãy các hàm đơn giản không âm ff_n với n thuộc tập số tự nhiên N.
16 sao cho 0 f n " f nên 0 f n T " f T và áp dụng Định lý hội tụ đơn điệu ta có
(1.2) Với hàm f khả tích bất kì, vì jfj = f + f nên (1.2) đúng Cuối cùng nếu thay thế f bởi f1 A 0 , (1.2) chính là (1.3).
Nhận xét 1.15 Nếu f 2 L 1 ( ; F; P), bằng phép đổi biến, tính bảo toàn độ đo của dòng S t ! tương đương với
Chứng minh Định lý Birkhoff cho dòng Không mất tính tổng quát, giả sử rằng
F = ( ) fĐặt 1 = R 0 ( ) u Vì u là hàm B R B R - đo được và 1là hàm F B R - đo được và định lý Fubini có
Hơn nữa S 1 là phép biến đổi bảo toàn độ đo P và S 1 n = S n nên n 1 n 1 1 n k=0 f 1 (S
X X0 0 Áp dụng Định lý 1.8 cho thời gian rời rạc, giới hạn n lim 1 Z f(S u !)du n!1 n
0 tồn tại P- hầu chắc chắn Ta thấy rằng với n < t < n + 1 n t n+1
Kết hợp với P là độ đo xác suất nên giới hạn (1.1) tồn tại Do đó đẳng thức
( h ) t!1 h Z t+h ( u ) = t!1 t + h Z t+h ( u ) = ( ) fS ! = lim 1 f S ! du lim 1 f S !du f !
0 h đúng với P- h.c.c Áp dụng lần nữa Định lý 1.8 cho thời gian rời rạc
Ta có điều phải chứng minh.
Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về hiện tượng nhiễu tạo ra sự đồng bộ hóa trong hệ rẽ nhánh Pitchfork, như đã được đề cập trong [2] ở Mục 2.2 Để phát biểu và chứng minh kết quả này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên ở Mục 2.1.
Hệ động lực ngẫu nhiên
Hệ động lực ngẫu nhiên
Trong mục này chúng ta xét thời gian I = R hoặc I = R + và -đại số trên I là
Đại số Borel, ký hiệu là B(I), được định nghĩa trong hệ động lực Metric Giả sử ( ; ; ) t2I là tập hợp các phép biến đổi bảo toàn độ đo từ không gian xác suất F P vào chính nó.
; F; P; (t) t 2R được gọi là hệ động lực Metric nếu thỏa mãn các điều kiện sau.
(i) (t; !) 7!(t; !) là ánh xạ đo được,
(ii) (0; ) = id (id là ánh xạ đồng nhất từ vào chính nó),
(iii) Tính chất dòng (nửa dòng): (t + s) = (t) (s); với mọi t; s 2 R.
Ví dụ 2.2 Cho không gian chính tắc các quỹ đạo:
Trên , ta xác định metric cảm sinh bởi tôpô của các tập mở compact sau d(!; !) := 1 1 j! !j n
Kí hiệu blà -đại số Borel của không gian b b
Cho quá trình ngẫu nhiên W_t trên R, tồn tại độ đo Wiener P để W_t trở thành chuyển động Brown một chiều Chúng ta định nghĩa hàm chuyển thời gian như sau: ϕ(t) = W(t + t) - W(t) với t thuộc R.
Hệ động lực metric ( ; F; P; (t) t2R ) được định nghĩa với các biến ngẫu nhiên fWtg t2R là chuyển động Brown, theo tài liệu [5] Định nghĩa 2.3 nêu rõ rằng một hệ động lực ngẫu nhiên (RDS) trên không gian đo được (R; B(R)) liên kết với hệ động lực Metric ( ) là một ánh xạ.
(t; !; x) 7! ’(t; !; x) thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Tính đo được: ’ là B(I) F B(R)=B(R)- đo được.
(ii) Tính đồng chu trình: Các ánh xạ ’(t; !) := ’(t; !; ) : R ! R lập nên một chu trình trên ( ), tức là, chúng thỏa mãn
’(0; !) = id R (ánh xạ đồng nhất trên R);
’(t + s; !) = ’(t; s !) ’(s; !); 8s; t 2 I; ! 2 : Định nghĩa 2.4 (Tích chéo) Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’ Khi đó ánh xạ
(!; x) 7!( t !; ’(t; !; x)) =: (t)(!; x); t 2 I; là một hệ động lực đo được trên ( R; F B(R)) và được gọi là tích chéo.
Hệ động lực ngẫu nhiên tạo ra một tích chéo, với giả định rằng độ đo xác suất trên (R; F B(R)) là bất biến với mọi t thuộc I Định nghĩa phép chiếu vào R là (!; x) = !, và do đó, vì (t) = (t), ta có thể kết luận rằng các yếu tố này liên quan chặt chẽ đến nhau trong hệ thống này.
Độ đo bất biến là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên Đối với một hệ động lực ngẫu nhiên, một độ đo xác suất trên không gian (R; F B(R)) được gọi là độ đo bất biến nếu nó thỏa mãn các điều kiện cụ thể liên quan đến hệ động lực đó.
(ii) = P: Định nghĩa 2.6 Giả sử là độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) với marginal P trên ( ; F) Ta gọi hàm ( ) : B(R) ! [0; 1] là độ đo mẫu của tương ứng với P nếu
(i) với mọi B 2 B(R); ! 7! ! (B) là F- đo được,
(ii) B 7! !(B) là độ đo xác suất trên (R; B(R)), h.c.c.
R Định nghĩa 2.7 (Quá khứ, tương lai của hệ động lực ngẫu nhiên) Cho hệ động lực ngẫu nhiên đo được ’ trên (R; B(R)) với thời gian 2 chiều.
Ta gọi - đại số con F F là quá khứ của ’ nếu nó thỏa mãn với mọi t 0
Tương tự F + F được gọi là tương lai của ’ nếu nó thỏa mãn với mọi t 0
Ta có thể xây dựng Fbé nhất như sau
F + = ’(t; ; x) : t 0; x 2 R : Định nghĩa 2.8 (Độ đo Markov) Cho hệ động lực ngẫu nhiên đo được ’ với thời gian 2 chiều và quá khứ F và tương lai F + : Một độ đo xác suất trên
( R; F B(R)) với marginal P trên là F - đo được hoặc F + - đo được, tức là đo
( ; F) sao cho độ đo mẫu ! 7! ! E( jF ) = , h.c.c, được gọi là độ
Quá trình Markov được định nghĩa như sau: Cho một độ đo xác suất trên không gian (R; B(R)) với bộ lọc tự nhiên (F) t 0 Gọi X = fX t ; F t ; t 0g là một quá trình liên tục, tương thích nhận giá trị thực Quá trình này được gọi là chuyển động Brown với phân phối ban đầu nếu
2 với 0 s < t, gia số X t với kì vọng 0 và phương sai
Xs là độc lập với Fs và có phân phối chuẩn t s.
Gọi P 0 là độ đo Wiener trên (C[0; 1); B(C[0; 1))) Khi đó P 0 và
X t (!) := !(t) và bộ lọc tự nhiên là một quá trình Brown bắt đầu tại 0 Với x 2
R ta định nghĩa độ đo xác suất P x
Khi đó, P x và X t (!) = !(t) và bộ lọc tự nhiên là quá trình Brown bắt đầu tại x Ta định nghĩa P như sau
B Định nghĩa 2.10 (Quá trình Markov) Cho là độ đo xác suất trên (R;
B(R)) Một quá trình X = fX t ; F t ; t 0g trên không gian xác suất ( ; F; P ) được gọi là quá trình Markov với phân phối ban đầu nếu
Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên
Ánh xạ K: ! 2 R được gọi là đo được nếu với mỗi x 2 R, ánh xạ từ ! R, ! 7!d(x; K(!)) cũng là ánh xạ đo được Trong đó, n o d(A; B) được định nghĩa là sup inf d(x; y) với y 2 B và x 2 A, là nửa metric Hausdorff.
Một ánh xạ nhận giá trị tập đóng, đo được được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên.
Một tập ngẫu nhiên K được gọi bất biến (chặt) ’- forward nếu với mọi t > 0,
Chú ý 2.12 (i) Tập đóng ngẫu nhiên không phụ thuộc vào việc chọn metric d Hơn nữa với mọi tập đóng ngẫu nhiên khác rỗng ! ! K(!) tồn tại dãy đo được k n : ! R; n 2 N sao cho K(!) = k n (!) : n 2 N
Trong trường hợp tổng quát, việc giao các tập đóng ngẫu nhiên không đảm bảo rằng kết quả sẽ là một tập đóng ngẫu nhiên Tuy nhiên, nếu (K_t)_{t \in I} là một dãy giảm, thì có thể có những đặc điểm nhất định liên quan đến tính chất của các tập này.
T các tập compact ngẫu nhiên thì K = lim K t = K t là một tập đóng t2 I t ngẫu nhiên. Định nghĩa 2.13 Cho một tập đóng ngẫu nhiên K, tập hợp
(K; !) = K(!) = ’(s; s!)K( s!); t 0 s t được gọi là tập- giới hạn của K Theo định nghĩa trên K (!) là tập đóng.
Tương tự như định nghĩa tập - giới hạn trong tất định ta cũng có định nghĩa tương đương sau n o n!1
Tập - chuyển của một tập - giới hạn là
’(t n ; t n + t!; x n !) n!1 yg: Nhận xét sau chứng minh hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tất định, trong đó ta sử dụng giả thiết về tính liên tục của ’(t; !; x).
Nhận xét 2.14 Tập- giới hạn của một tập đóng ngẫu nhiên K là bất biến.
Chứng minh Với y 2 cho y = lim ’(t n ; n!1
K(!), tồn tại các dãy t n ! 1 và x n 2 K( t n !) sao t n !; x n ) Với t > 0 điều này dẫn đến
= lim ’(t ~ n ; ~ t !; x n ); n!1 t n với t~ n = t + t n ! 1 và x n 2 K( t n !) = K( t ~ n t!): Do đó từ định nghĩa tập - chuyển mà ta có ’(t; !; y) 2 K( t !):
Ngoài cách chứng minh trên, ta còn có cách chứng minh thuần "tất định" như sau
Chứng minh Nhận xét 2.14 Với mọi BR; t 0 và ! 2 ;
= ’( ;t!; K( t(!)) = K ( t !): s t s Ở đây ta sử dụng f A f(A ) với hàm f bất kì, và f(A) f(A) với f là hàm bị chặn lần lượt tương ứng với hai kí hiệu tập con.
Tập hút ngẫu nhiên A được định nghĩa là tập hút tập ngẫu nhiên B nếu tồn tại một điều kiện d(’(t; t !; B( t!)); A(!!)) t!1 0 Đồng thời, tập hấp thụ ngẫu nhiên A và B được xác định khi có một thời điểm t B (!) mà tại đó xác suất P- h.c.c tồn tại cho mọi t lớn hơn hoặc bằng t B (!).
’(t; t !; B( t!)) A(!); thì A được gọi hấp thụ B, và t B được gọi thời điểm hấp thụ.
Nhận xét 2.17 Nếu một tập ngẫu nhiên A hút tập ngẫu nhiên B thì
B A; h:c:c: Điều ngược lại chưa chắc đúng Nó chỉ đúng trong trường hợp A hấp thụ B.
Chứng minh Vì A hút B, theo định nghĩa ta có với mọi > 0, tồn tại thời điểm
= ( (!)) sao cho d(’(t; t !; B( t!)); A(!)) < với mọi t > Cùng với nhận xét d(A; B) = d(A; B), ta có d s ’(s; s !; B( s !)) ; A(!) = d s ’(s; s!; B( s!)); A(!)
Mệnh đề này nêu rõ một số tính chất của tập giới hạn B trong một tập ngẫu nhiên B, khi tồn tại một tập compact ngẫu nhiên A có khả năng hấp thụ B.
Mệnh đề 2.18 Giả sử A; B là hai tập ngẫu nhiên mà A hấp thụ B, và A là tập compact P- h.c.c Khi đó P- hầu chắc chắn
(i) B(!) khác rỗng, và B(!) A(!), do đó nó là tập compact.
(ii) B(!) là bất biến chặt.
Chứng minh Từ giả thiết A hấp thụ B, tồn tại thời điểm t B (!) sao cho với mọi t t B (!) :
Do đó với dãy (t n ) n 2N tiến tới vô cùng và dãy (b n ) n2N B( t n !) thì với n đủ lớn sao cho t n t B (!) ta có
Vì A(!) là tập compact nên với dãy ’(t n ; t n !; b n ) như trên tồn tại dãy con hội tụ tới điểm y 2 X:
Chứng minh (i): Với mọi dãy t n và b n xác định như trên, ta có điểm giới hạn y = lim ’(t n ; t n!; b n ) thỏa mãn y 2 B(!) nên B(!) 6= ; Hơn nữa
A(!); nên B (!) là tập con đóng của một tập compact nên nó là tập compact
Để chứng minh định lý, dựa vào Nhận xét 2.14 và định nghĩa tính bất biến chặt, ta cần chứng minh rằng với mọi s 0, B(s!)’(s;!) B(!) Giả sử y thuộc B(s!) với s 0, ta có y = lim’(t_n; t_n + s!; b_n) với các dãy t_n tiến tới 1 và b_n thuộc B(t_n + s!) Do đó, y = lim’(s;!)’(t_n - s; t_n + s!; b_n) khi n tiến tới vô cực.
Với n đủ lớn t n s t B (!) đặt k n := ’(t n s; t n + s!; bn) 2 A(!):
Khi đó ta trích ra được một dãy con kn j hội tụ tới u 2 B (!) Vì ’(t; !) là hàm liên tục nên y = lim n!1’(s; !)’(tn s; t n +s!; bn)
Chứng minh (iii): Nếu B (!) không hút B thì từ định nghĩa tồn tại > 0, dãy t n ! 1 và dãy b n 2 B ( t n !) sao cho với mọi n 2 N d ’(tn; t n !; b n ); B(!) :
Nhưng dãy ’(t n ; t n !; b n ) n2N có dãy con hội tụ tới một điểm trong cùng với tính liên tục của hàm ’(t; !) mẫu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tập - giới hạn của một tập compact ngẫu nhiên A mà hấp thụ một tập ngẫu nhiên B nào đó.
Mệnh đề 2.19 Giả sử A; B là các tập ngẫu nhiên sao cho A là compact P-h.c.c và A hấp thụ B Khi đó và A hút B.
Chứng minh Lấy y 2 B(!) thì theo định nghĩa y = lim ’(tn; với các dãy tn ! 1 và bn 2 B( t !): Chọn T 0 và đặt n!1 n t !; bn) n
’(tn; t n !; bn) = ’(T; T !)’(tn T; t n !; bn); và t n + T t B ( T !) Kết hợp với chú ý b n 2 B( t n !) = B( (t n T ) T !) nên dãy k n := ’(t n T; t n!; bn) = ’(tn T; ( t n T ) T!; bn) 2 A( T !):
’(t n ; t n!; bn) 2 ’(T; T !; A( T !)) ’(t; t !; A( t !)); t T hay y 2 A(!) Vì B(!) khác rỗng bởi tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 nên
Tập hút toàn cục được định nghĩa là một tập hợp compact trong một hệ động lực ngẫu nhiên, với các điều kiện cụ thể được thỏa mãn.
(ii) A hút mọi tập bị chặn tất định B X:
Trong bối cảnh hệ động lực ngẫu nhiên, A được xác định là tập hút toàn cục của hệ thống Theo định lý 2.21, nếu hệ động lực ngẫu nhiên ’ tồn tại một tập compact ngẫu nhiên ! 7!K(!) có khả năng hấp thụ mọi tập đóng xác định B R, thì tập này sẽ có dạng cụ thể.
B R là một tập hợp toàn cục của ’ Nếu I là thời gian rời rạc, A được đo lường với F; trong trường hợp I là thời gian liên tục, A được đo lường với F tương ứng với P.
Chứng minh Với tập đóng B R bất kì, theo tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 ta có B K và B là tập compac nên A là tập compact Vì ! 7!S
B R là bất biến chặt theo tính chất (ii) của Mệnh đề 2.18 và vì ’ là ánh xạ liên tục
Tính bất biến của A được suy ra từ định nghĩa (A) Hơn nữa, A là bất biến chặt, điều này xuất phát từ tính compact của nó Để chứng minh tính đo được, cần lưu ý rằng với bất kỳ x thuộc R và mọi tập xác định.
(t; !) 7!d(x; ’(t; t!; B) = inf d(x; ’(t; t !; y) : y 2 B ; là ánh xạ đo được nhờ tính khả ly của R và liên tục của ’ Với mọi0 t ( t ) = t t )) d x;[
Nếu thời gian I là rời rạc, ta có ngay tính đo được của B Với thời gian liên tục
I, chú ý rằng với 2 R bất kì
! : inf d(x; ’(t; trong đó là phép chiếu chính tắc từ I vào Tính đo được của ánh xạ
! 7!d(x; [ t ’(t; t !; B)) tương ứng với P-đầy đủ của F Lấy giao
0 t trên thuộc các tập đếm được bị chặn, chẳng hạn 2 N, thì B là tập đo được.
Và vì A có thể lấy trên hợp đếm được các tập bị chặn B, ta có điều phải chứng minh.
Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên
Giả sử \( \{X_n\} \) là hệ động lực ngẫu nhiên trên \( \mathbb{R} \) với tập hút ngẫu nhiên \( A \) Chúng ta muốn chỉ ra rằng với mọi \( \epsilon > 0 \), tồn tại một tập compact \( K \subset \mathbb{R} \) sao cho \( A \) đồng nhất với tập giới hạn của \( K \) với xác suất không nhỏ hơn 1 Hơn nữa, nếu hệ động lực này là ergodic, thì tồn tại một tập compact \( K \subset \mathbb{R} \) sao cho \( A = K \) với xác suất 1.
Mệnh đề 2.22 Giả sử ! 7!I(!) là tập bất biến chặt, tức là, với mọi t 0
Khi đó, P ! : I(!) D(!) P ! : I(!) D(!) ; hay, viết gọn,
P(I D) P(I D); với tập ngẫu nhiên bất kì D 2 F B(R):
Chứng minh F ! : I !) D(!) : Đặt: n = = ( n : n 2 N Áp dụng định lý hồi quy Poincaré
1.5 cho họ f n 2 Ng 1 (dấu bằng suy ra từ tính bảo toàn độ đo của 1) dẫn đến
N2 N n N thỏa mãn P(F 1 ) P(F ) Với mỗi ! 2 F 1 thì I( n !) D( n !) kể từ n 2 N nào đó trở đi, nên theo tính bất biến chặt của I,
N2 N s N Điều này có nghĩa rằng F 1 ! : I(!) D(!) , hay
Ta có điều phải chứng minh Hệ quả 2.23 Giả sử ’ là RDS liên kết với dòng ergodic Nếu I là tập bất biến chặt thì P(I D ) = 1 với mọi D 2
Chứng minh Giả sử D là tập ngẫu nhiên mà P(I D) > 0: Đặt
Với mỗi ! 2 F , vì I là bất biến chặt và tập D cũng bất biến( theo Chú ý 2.14), ta có
Từ đó F t 1 F; với mọi t 0 nên P(F t 1 F n F ) = 0 Khi đó F là tập con của - đại số của các tập - bất biến Mệnh đề 2.1.3 dẫn đến
Vì là ergodic, mọi tập có độ đo dương sẽ có độ đo đủ hay P(I D ) 1:
Hệ quả 2.24 Giả sử ’ là RDS và I là tập compact bất biến chặt Khi đó với mọi > 0 tồn tại một tập compact tất định K R mà
Khi là ergodic thì tồn tại tập compact tất định K sao cho P(I K) = 1 và điều này cũng đúng với mọi tập compact tất định K sao cho P(I K) 6 0:
Chứng minh Vì I(!) là tập compact ngẫu nhiên nên với mọi > 0 tồn tại tập compact tất định K = K
P(I K) P(I K) 1 : Khi là ergodic thì kết luận P(I K ) = 1 với mọi tập K mà P(I K) 6= 0 suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.23
Hệ quả 2.25 Giả sử ’ là RDS có tập hút toàn cục ! 7!A(!) hút các tập compact Khi đó mọi tập ngẫu nhiên compact bất biến chặt ! 7!I(!) thỏa mãn
Chứng minh Theo Bổ đề 2.24, với mọi > 0 cho trước tồn tại tập compact K = K R sao cho P(I K ) 1 : Hơn nữa vì A hút K nên K A (theo mục (i) của Mệnh đề 2.18) hay P( K A) = 1 Từ đó
33 Điều này đúng với> 0 bất kì nên I A h.c.c.
Hệ quả 2.26 cho thấy rằng nếu A1 và A2 là các tập hút ngẫu nhiên từ một không gian RDS, và nếu các tập này đều là compact, thì A1 và A2 sẽ bằng nhau Điều này dẫn đến kết luận rằng một tập hút ngẫu nhiên tồn tại duy nhất trong không gian này.
Chứng minh Từ Bổ đề 2.24 suy ra P(A 1 A 2 ) = 1 và P(A 2 A 1 ) = 1 Ta có điều phải chứng minh.
Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính
Hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên
Chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình (2.1) sinh ra RDS Đối với mỗi ! 2 và giá trị ban đầu x t 0 = x 0 cùng với T > 0, hàm liên tục x( ; !; x 0 ) : [t 0 ; T ] ! R được coi là nghiệm của phương trình (2.1) nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân sau: x t := x(t; !; x 0 ) = x 0 + Z.
Với c > 0, xét quá trình ngẫu nhiên Ornstein-Uhlenbeck dz t = cz t dt + dW t : (2.2)
Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta biết rằng phương trình trên có nghiệm duy nhất cho bởi
0 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên z := R
0 nghiệm của phương trình (2.2), tức là, e cs dWs Khi đó t 7!z ( t!) là z ( t !) = z (!) c Z
Thật vậy, với nhận xét W s ( t !) = ( t !)(s) = !(t + s) !(t) ta có
= e ct Z e cs dW s = e ct Z e cs d W s + Z 0 e cs dW t
Bằng phép thế biến y t = x(t; !; x 0 ) z ( t !), ta chỉ ra rằng y t thỏa mãn phương trình tích phân sau dy t = h( t !; y t )dt; h( t !; y t ) = x t x t 3 + cz ( t !):
Phương trình (2.3) là RDE cần tìm, và định lý 2.27 phát biểu về tính chất đồng chu trình của nghiệm phương trình này Hàm số liên tục (t; !; y) được coi là nghiệm của phương trình RDE nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân y t := (t; !; y 0 ) = y 0 + Z.
0 t h( s !; (s; !; y 0 ))ds; với mọi t 2 I(!; y 0 ) là miền tồn tại cực đại và y(t 0 ) = y 0 Khi đó (t; !; y 0 ) là một đồng chu trình.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh (t; !; y) thỏa mãn tính chất đồng chu trình, tức là thỏa mãn các tính chất sau:
Chứng minh (i): Giả sử t 2 I( s !; (s; !)y0): Khi đó t
+ Z h u !; (u s; s!; (s; !; y 0 )) du: s Định nghĩa hàm số k(u; !; y ) := 8 (u; !; y 0 ); 0 u s;
Vậy t + s 2 I(!; y 0 ) và bởi tính duy nhất nghiệm ta có
Chứng minh (ii): Giả sử t + s 2 I(!; y 0 ) Khi đó,
0 t h( u s !; (u + s; !; y 0 ))du: Đặt ! := s!(y 0 ) = (s; !; y 0 ) và (u; !; y 0 ) := (u + s; !; y 0 ) ta có g(t; !; y 0 ) = y 0 + Z
0 t h( u !; (u; !; y 0 ))du; tức là, t 2 I(!; y 0 ) = I( s !;(s; !; y 0 )) và vì tính tồn tại duy nhất nghiệm, (t;
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.28 Hệ động lực ngẫu nhiên x : R 0 + R ! R cho bởi x(t; !; x 0 ) := (t; !; y 0 ) + z ( t !); sinh bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.1).
Chứng minh Vì là nghiệm của phương trình (2.3) nên x(t; !; x 0 ) = (t; !; y 0 ) + z ( t !)
Ta có điều phải chứng minh.
2.2.2 Tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh
Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ là một khái niệm quan trọng trong xác suất, được định nghĩa như sau: một biến ngẫu nhiên R : ! R được coi là tăng dưới hàm mũ nếu giới hạn lim 1 ln + R( t !) = 0 với xác suất P hầu chắc chắn khi t tiến tới vô cùng Đồng thời, một tập D 2 F B(R) được gọi là tăng dưới hàm mũ nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ R sao cho xác suất P cũng hầu chắc chắn.
D(!) B R(!) (0); trong đó D(!) = x 2 R : (!; x) 2 D là tập ngẫu nhiên compact.
Nếu RDS có tập hút ngẫu nhiên, thì RDS x t cũng sẽ có tập hút ngẫu nhiên Điều này được chứng minh dựa trên định nghĩa của tập hút ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên z (t!) là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, cùng với các nhận xét liên quan.
Nhận xét 2.31 Trị tuyệt đối của nghiệm của phương trình (2.3) bị chặn bởi nghiệm của phương trình
_ = t (!) trong đó quá trình ngẫu nhiên ( (t)) t2R được chọn trước Hơn nữa với mỗi giá trị ban đầu 0 2 R thì nghiệm của phương trình (2.4) là t
Bổ đề 2.32 Tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ ( t ) t2R sao cho j (t; !; y)j 2 2 (t; !; jyj 2 ); (2.6) dẫn đến nghiệm (t; !; y) của phương trình (2.3) tồn tại với mọi t 0:
Chứng minh Thay x t = y t + z ( t !) vào phương trình (2.3) ta có y t = (y t + z ( t !)) + cz ( t !) (y t + z ( t !)) 3 : Đặt r t = 1 y t 2 , tính toán trực tiếp ta có 2 r t = y t y t = y t (y t + z ( t !)) + cy t z ( t !) (y t + z ( t !)) 3 y t
Khi đó với mọi t 0 và y 2 R thì 2 j (t; !; y)j 2 (t; !; jyj 2 ), trong đó
~ 2 ~ t 7!(t; !; jyj ) = t là nghiệm của phương trình vô hướng sau
~ = jyj 2 và các hàm số a t ; b t ; c t định nghĩa bởi với giá trị ban đầu t0 a ! c p z ! p z !
3; t ( ) :=( + ) 2j ( t )j + 2j ( t bt(!) := 2 + 2jz ( t!)j 2 ; p c t (!) := 6 2jz ( t !)j: là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, tất cả các quá trình ngẫu nhiên và (c t ) t2R cũng là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ Chú ý s
Biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất Nghiệm t của phương trình (2.4) thỏa mãn điều kiện (2.5) cần được chứng minh Định lý 2.33 chỉ ra rằng với mọi 2 R; 0, RDS sinh bởi (2.1) có tập hấp thụ compact Sự kết hợp với Định lý 2.21 dẫn đến sự tồn tại duy nhất của tập hút compact, được ký hiệu là !7!A; (!) = [a; (!); a +; (!)].
Chứng minh Cho D 2 F B(R) tăng dưới hàm mũ Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ R : ! R + sao cho D(!) B R(!) (0) Theo bổ đề trên, với mọi x 2 D( t !) ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một biểu thức liên quan đến biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ Cụ thể, chúng ta có bất đẳng thức liên quan đến hàm R(t!) và sự tồn tại của tích phân R 0 e s s (!)ds Do R là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, giới hạn lim e t R(t!) bằng 0 khi t tiến tới vô cực Điều này cho thấy sự quan trọng của việc phân tích các hàm liên quan đến biến ngẫu nhiên trong nghiên cứu thống kê.
Khi đó, P- h.c.c, tồn tại thời điểm T > 0 sao cho
(t; t!; D( t!)) B r(!) (0); 8t T: Điều này có nghĩa rằng B r(!) (0) là tập hấp thụ.
Phương trình (2.1) có một nghiệm duy nhất cho mọi giá trị ban đầu trong trường hợp 2 R +, và nghiệm này tồn tại cho mọi thời điểm dương Điều này được chứng minh thông qua các điều kiện Lipschitz và tính đơn điệu theo Định lý tồn tại và duy nhất.
Nghiệm của hệ động lực ngẫu nhiên được định nghĩa bởi K n = 2n^2(3n^2 + )^2 và K 3 = 3, với không gian trạng thái là đường thẳng thực và tham số thời gian một chiều I = R+.
R + R !R; biến (t; !; x) thành nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện giá trị ban đầu x(t 0 ) = x 0 , có quỹ đạo là (Ws) s2R :
2.2.3 Độ đo dừng của hệ rẽ nhánh Pitchfork và số mũ Lyapunov Định lý 2.35 Với mọi 2 R; > 0 thì nửa nhóm Markov sinh bởi (2.1) có duy nhất độ đo xác suất bất biến trên R và giải phương trình Fokker- Plank ta có hàm mật độ p(x) = c exp 1 2 x2 2 x 4 :
Chứng minh Gọi : R + 0 R ! R; (t; !; x) 7!D x ’(t; !; x) là hệ động lực tuyến tính thỏa mãn (0; !; x) =id (ánh xạ đồng nhất) và
Khi đó là đồng chu trình tuyến tính trên dòng các tích chéo ( t ) t2R + 0 xác định trên R cho bởi t(!; x) := ( t !; ’(t; !; x)):
Hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính ( ; ) với tính chất ergodic được nghiên cứu thông qua việc thay thế ( t)t2R bằng ( t)t2R + 0 Chúng ta có thể thu được một độ đo xác suất ergodic cho tích chéo ( t)t2R + 0 bằng cách thiết lập sự tương ứng một-một giữa độ đo dừng của nửa nhóm Markov liên kết với (2.1) và một độ đo bất biến của ( t)t2R + 0.
Trước hết ta giải phương trình Fokker- Planck tìm hàm mật độ cho phân phối dừng duy nhất của phương trình (2.1), ở đây hệ số định hướng là x x 3 và
2 hệ số khuếch tán là 2 Ta có
Vì hàm phân phối là dừng nên p(x; t) = p(x), viết lại phương trình trên
Tích phân 2 vế ta được
2 @x từ đó tìm được nghiệm của phương trình trên cho bởi p(x) = c exp 2 x 2 2x 4 :
1 1 Độ đo dừng dẫn tới độ đo bất biến của ( t) t2R 0 + trên R theo nghĩa sau: Xét giới hạn
!:= lim ’(t; t!) ; t!1 tồn tại P- hầu chắc chắn và là độ đo ngẫu nhiên F 0 - đo được, tức là, với mọi
B 2 B(R) thì ! 7! ! (B) là F 0 - đo được Từ đó ta định nghĩa độ đo Markov trên ( R; F B(R)) bởi
2 C , là bất biến với ( t ) t2R +0 Ngược lại, độ đo dừng cho bởi
Tính duy nhất của độ đo dừng với hàm mật độ p(x) dẫn đến độ đo bất biến là ergodic Ta có điều phải chứng minh
Tiếp theo ta chỉ ra rằng hệ tuyến tính được định nghĩa như (2.8) thỏa mãn điều kiện khả tích sup ln + k (t; !; x)k 2 L 1 ( ):
Từ đó ta có thể tính số mũ Lyapunov cho RDS tuyến tính ( ; ).
Khi đó P- hầu chắc chắn các ! 2 và mọi x 2 R ta có k (t; !; x)k exp Z 0 t
+(’(t; !; x))ds ; 8t 0; và hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích
Chứng minh Áp dụng trực tiếp vào bài toán rẽ nhánh Pitchfork ta có j
R 0 t 1 j j j j R x 2 p(x)dx: sup ln + (t; !; x) d (!; x) + 3 với p(x) là hàm mật độ cho bởi (2.7) Vậy hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích
Xét bài toán (2.1) cùng với hệ động lực (2.8) ta có
(t; !; x) = exp Z 0 Áp dụng định lý Birkhoff cho dòng ở đây ta chọn hàm f(!; x) = 3x 2 ta tính được số mũ Lyapunov của hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính ( ; ) t
Ta chỉ ra số mũ Lyapunov luôn âm Thật vậy,
2.2.4 Hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork Định lý sau đây trình bày kết quả chính của luận văn. Định lý 2.37 Giả sử ’ là RDS sinh ra bởi một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên R sao cho nửa nhóm Markov liên kết có duy nhất một độ đo xác suất bất biến Giả sử ! 7!D(!) là tập compact ngẫu nhiên bất biến chặt
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu về P-h.c.c mà có thể đo được với F0 Khi đó, D chỉ bao gồm một điểm P-h.c.c cũng có thể đo được với fW t : t 0g Đặt x + (!) là giá trị lớn nhất của D(!) và x (!) là giá trị nhỏ nhất của D(!), từ đó chúng ta thu được hai biến ngẫu nhiên có thể đo được với fW t : t 0g.
46 x x + (để kiểm tra tính đo được của x + và x , ta chọn một dãy đếm được
! ! k n (!) đo được với F t 0 và thỏa mãn k n (!) : n 2 N = D(!) như trong mục (i) của Chú ý 2.12.) Khi đó x + = sup k n và x = inf k : Hơn nữa, n n n
D là bất biến chặt nên với mọi t > 0
Tính đo được với F t 0 của x + và xdẫn đến hai độ đo xác suất ngẫu nhiên
+ và là độ đo Markov bất biến Khi đó
Dễ dàng nhận thấy rằng d (!) và R x (!) P là bất biến với nửa nhóm Markov được sinh bởi phương trình (2.1) Vì các độ đo bất biến này là duy nhất, hàm phân phối của x + và x cũng sẽ là duy nhất thông qua việc giải phương trình Fokker-Plank Hơn nữa, với tính bảo toàn khi x = x + = x, ta có thứ tự của ’ và x x + h.c.c dẫn đến x + = x h.c.c, tức là D(!) = x(!) h.c.c Áp dụng Định lý 2.37 cho RDS sinh bởi phương trình (2.1), chúng ta có các kết quả quan trọng sau.
Hệ quả 2.38 Với mọi 2 R và > 0 thì tập hút ngẫu nhiên ! 7!A ; (!) cho bởi Định lý 2.21 chỉ gồm một điểm hầu chắc chắn, A ; (!) = A(!) = a(!) :
Hơn nữa độ đo ngẫu nhiên ! = a(!) là độ đo Markov bất biến và = E ,
R tức là (B) = ! (B)dP(!), là độ đo bất biến duy nhất liên kết với nửa nhóm
Markov với hàm mật đo cho bởi (2.7).
Chứng minh Cố định 2 R và > 0 Theo Định lý 2.21, tập hút ngẫu nhiên
A = A ; là bất biến chặt, compact h.c.c và đo được với F 0 ; Nửa nhóm
Markov có độ đo bất biến duy nhất nhờ giải phương trình Fokker- Planck Áp dụng Định lý = A ! A(!)
2.37 dẫn đến tập A gồm một điểm h.c.c, A(!) = a(!) Tính
47 và ! 7!a(!) là F 0 - đo được, ! 7! ! là độ đo Markov, do đó = E là bất biến với nửa nhóm Markov.
Hệ quả 2.39 Với mọi 2 R và > 0, độ đo bất biến Markov ! 7! a(!) , với
A ; = a(!) là tập hút, hơn nữa nó còn là độ đo bất biến duy nhất của RDS sinh bởi SDE (2.1).
RDS sinh bởi phương trình 2.1 có tập hút toàn cục, điều này chứng minh rằng mọi độ đo xác suất bất biến của RDS đều có giá trị là tập hút.
(A) = Z ! (A(!))dP(!) = 1 bởi [8] Do đó, với tập hút toàn cục A chỉ chứa duy nhất một điểm, A(!) a(!) , độ đo Dirac ! 7! a(!) là độ đo bất biến duy nhất của RDS.
Hệ quả 2.40 Hai nghiệm bất kì của SDE (2.1) hội tụ tới nhau theo tốc mũ với mọi giá trị của tham số 2 R:
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ số mũ Lyapunov < 0.
KẾT LUẬN Các kết quả đạt được của đề tài:
- Trình bày khái niệm Hệ động lực ngẫu nhiên, tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên và chứng minh tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên.
Hệ động lực ngẫu nhiên được sinh ra từ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên được trình bày, đồng thời chỉ ra phương pháp tìm tập hút ngẫu nhiên cho hệ này Bằng cách áp dụng định lý Birkhoff và định lý nhân tính Oseledet, chúng ta có thể xác định số mũ Lyapunov cũng như độ đo dừng của hệ.
- Trình bày được hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork.
Các hướng nghiên cứu tiếp theo
- Nghiên cứu cấu trúc của tập hút ngẫu nhiên cho các Hệ động lực sinh bởi các Phương trình Vi phân ngẫu nhiên phức tạp hơn.