Khảo sát thuật toán OSD sử dụng bộ mã RS và kỹ thuật điều chế QAM

Bài viết tiến hành khảo sát việc ứng dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) cho bộ mã Reed-Solomon (RS) kết hợp kỹ thuật điều chế biên độ vuông góc (QAM). Việc nghiên cứu trước hết sẽ được tiến hành bằng sự triển khai về mặt lý thuyết cho thuật toán thông qua các công thức toán học và sau đó là lập trình mô phỏng sử dụng công cụ Matlab cho bộ mã RS(15,9,7) cùng điều chế 16-QAM. Mời các bạn cùng tham khảo!

Khảo Sát Thuật Toán OSD Sử Dụng Bộ Mã RS và

Kỹ Thuật Điều Chế QAM

Lê Hoàng Hiệp, Hồ Văn Cừu và Nguyễn Thị Thu Hằng

Khoa Điện tử Viễn Thông, Đại học Sài Gòn Email: lehoanghiep@gmail.com, cuu_ho_van@yahoo.com, hangntt.ptit@gmail.com

Abstract— Trong bài báo này, các tác giả sẽ tiến hành khảo sát việc

ứng dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) cho bộ mã

Reed-Solomon (RS) kết hợp kỹ thuật điều chế biên độ vuông góc

(QAM) Việc nghiên cứu trước hết sẽ được tiến hành bằng sự triển

khai về mặt lý thuyết cho thuật toán thông qua các công thức toán

học và sau đó là lập trình mô phỏng sử dụng công cụ Matlab cho

bộ mã RS(15,9,7) cùng điều chế 16-QAM Để đảm bảo thời gian

thực hiện thuật toán giải mã, các thông số được sử dụng trong khảo

sát này đều ở mức gần tối thiểu, như là bậc thống kê thấp, bộ mã

có khoảng cách Hamming lớn Các kết quả thu được cho thấy chỉ

với một hệ thống như vậy nhưng chất lượng cũng đã có thể đạt tới

mức tiệm cận với kết quả khi dùng phương pháp giải mã đại số

truyền thống sử dụng thuật toán Berlekamp Điều này cho thấy

thuật toán OSD có tiềm năng sử dụng trong hệ thống thông tin tốc

độ cao và mang lại độ tin cậy mã hóa tốt Tuy nhiên vấn đề được

đặt ra tiếp theo đó là làm sao giảm thiểu thời gian giải mã, qua đó

phương pháp này mới có thể được áp dụng thực tế với các thông

số giải mã tối ưu, mang lại hiệu quả tốt hơn so với các phương

pháp đại số truyền thống

Keywords- Giải mã theo bậc thống kê, thuật toán Berlekamp, bộ

mã Reed-Solomon, điều chế biên độ vuông góc

Kỹ thuật giải mã theo bậc thống kê (ordered statistics

decoding – OSD) được trình bày cụ thể trong cuốn sách kinh

điển về kỹ thuật mã hóa sửa sai “Error Control Coding:

Fundamentals and Applications” của hai tác giả Shu Lin và

Daniel J Costello [1] Đây là một hướng đi mới trong kỹ thuật

giải mã quyết định mềm dựa trên thực tế (xác suất) thông tin đầu

thu (reliability-based soft-decision) Cũng theo tác giả Shu Lin,

kỹ thuật quyết định mềm này mang lại hiệu quả độ lợi giải mã

là 3 dB so với các thuật toán giải mã đại số thông thường

Tuy vậy, các phương pháp giải mã dựa trên quyết định

mềm (soft decision), trong đó có phương pháp giải mã theo bậc

thống kê nói trên đa phần là rất phức tạp và khó triển khai trên

thực tế Nó có độ phức tạp cao trong cả mặt lý thuyết toán học,

kỹ thuật lập trình (đặc biệt là thời gian chạy chương trình), cũng

như thực thi trên bo mạch điện tử Vì vậy hướng nghiên cứu này

hiện nay vẫn còn chưa được quan tâm đúng mức Đa phần các

nghiên cứu về quyết định mềm thường sử dụng đối tượng là bộ

mã nhị phân, bộ mã Bose, Chaudhuri, Hocquenghem (BCH) mà

bài báo của tác giả Hu [3] là một ví dụ cụ thể Ngoài ra, ứng

dụng giải mã theo bậc thống kê còn được áp dụng cho mã phân

cực ngắn (short polar codes) như trong nghiên cứu [4] của tác

giả Daolong Wu và các cộng sự Một loạt các nghiên cứu quan

trọng khác cũng được trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo khác [5-8] Theo đề xuất của nhóm tác giả, trong hệ thống truyền dẫn đã được đề cập trong các nghiên cứu vừa liệt kê ở trên, chúng ta có thể gia tăng tốc độ truyền tin bằng kỹ thuật điều chế QAM và nâng cao độ tin cậy thông tin thông qua việc

sử dụng bộ mã RS Từ đó đặt ra bài toán cần được giải quyết đó

là việc áp dụng thuật OSD nên như thế nào trong khi một thách thức rất lớn hiển hiện thực tế rằng thời gian giải mã sẽ kéo dài Bài báo này của nhóm tác giả cũng chính là sự đề xuất cho một hướng giải quyết khả quan Tuy nhiên, kết quả thu được vẫn còn ở mức hạn chế và chắc chắn sẽ còn và cần rất nhiều các giải pháp nâng cao hiệu suất khác Trong khuôn khổ điều kiện nghiên cứu cho phép, chúng tôi chỉ mới thực hiện được việc mô phỏng trong kênh truyền nhiễu trắng cộng Gaussian (AGWN) cho bộ mã RS(15,9,7) cùng điều chế 16-QAM với bậc giải mã thống kê khá thấp L=2 Thực sự, nếu vấn đề trên có thể thực thi với kỹ thuật điều chế 128-QAM trở lên, và với L đủ lớn, nó sẽ đóng góp nhiều lợi ích trong việc nâng cao tốc độ truyền tin và

độ lợi mã hóa thông tin cho các ứng dụng trong các kênh truyền dẫn băng rộng, đặc biệt là kênh vô tuyến ngày nay

Chúng tôi nhận thấy rằng việc áp dụng kỹ thuật giải mã theo bậc thống kê là một hướng đi còn nhiều tiềm năng Trong bài báo này, trước hết các tác giả sẽ tiến hành phân tích về mặt

lý thuyết việc áp dụng thuật toán OSD vào bộ mã RS và điều chế QAM Việc xây dựng bộ mã RS sẽ được tiến hành thông qua các phần tử trong trường Galois GF(2m) Tiếp theo sau đó, các tác giả sẽ đề xuất hai tiêu chuẩn bổ trợ nhằm góp phần rút ngắn thời gian giải mã đối với trường hợp trên Nhằm đưa ra một kết quả trực quan cho nghiên cứu, trong bước cuối cùng của khảo sát các tác giả sẽ tiến hành mô phỏng bằng lập trình Matlab và thu được tỉ lệ lỗi bit, lỗi ký hiệu (symbol), và lỗi từ

mã (codeword) Các kết quả này sẽ được so sánh với chất lượng khi sử dụng phương pháp giải mã đại số truyền thống sử dụng thuật toán Berlekamp [2] Các tác giả cũng hi vọng rằng, sau bài báo này sẽ có thêm nhiều nghiên cứu mới về kỹ thuật OSD nhằm hoàn thiện thuật toán và tăng khả năng áp dụng thực thế cho phương pháp này vào hệ thống truyền dẫn thế hệ mới tốc

độ nhanh, tin cậy tốt Các nội dung nghiên cứu tiềm năng sẽ tập trung vào phương pháp rút ngắn thời gian giải mã, đồng thời tìm ra công thức lý thuyết cho tỉ lệ lỗi trong thuật toán trên Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau: trong phần

II, các tác giả sẽ trình bày nội dung lý thuyết của thuật toán OSD

Phần III sẽ bàn về các tiêu chuẩn bổ trợ do các tác giả để xuất

nhằm rút ngắn thời gian giải mã Trong phần IV chúng tôi sẽ

cung cấp các kết quả mô phỏng và phân tích so sánh với kết quả

của thuật toán Berlekamp Cuối cùng, nội dung kết luận sẽ được

trình bày trong phần V

Trong phần này, thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) sẽ

được trình bày một cách chi tiết Như chúng ta đã biết trong một

trường Galois GF(2m) thì bao gồm 2m phần tử, đó là: 0, 1, ,

2,…, và 2 m 2

  Các phần tử này là thành phần mở rộng của

trường Galois nhị phân GF(2) và chúng hoàn toàn có thể được

đại diện bằng các điểm trên tọa độ tín hiệu M-QAM với quan

hệ toàn ánh

0 , 1 , , N1



QAM, trong đó sQAMi s siI, iQ là một điểm bất kì trên sơ đồ

sao tín hiệu 2m-QAM và 0 i N1

0 , 1 , , N1



gồm N phần tử bất kì trong GF(2m), nghĩa là GF(2 )m

i  RS

0 i N1 Nếu ta gọi QAM

i

s là một phần tử song ánh của RS

i

z thì vector SQAM là một song ánh QAM (hay còn gọi là ảnh

QAM) của vector ZRS Xét hh hI, Q và kk kI, Q là hai

điểm bất kì trên hệ trục tọa độ Descartes (sau đây gọi là hệ trục

tọa độ), thì khoảng cách Euclidean giữa chúng sẽ được tính theo

công thức

   I I 2 Q Q2

,

d h k  h k  h k (1)

Định nghĩa 1: (điểm sao gần nhất) Đặt sQAM s sI, Q là một

điểm trên sơ đồ sao tín hiệu QAM và f fI,fQ là một điểm

bất kì trên hệ trục tọa độ có chứa sơ đồ sao đó, sQAM được gọi

là điểm sao gần nhất của f khi và chỉ khi khoảng cách

 QAM, 

d s f là nhỏ nhất

Như vậy chúng ta thấy bất kì điểm nào trên hệ trục tọa độ cũng

đều có ít nhất một điểm sao gần nhất Khoảng cách tối thiểu

 QAM 

min ,

d s f giữa hai điểm sQAM và f có thể được xem như là

một đại lượng đo lường (metric) của phần tử GF(2m) được biểu

diễn (hay đại diện) bởi sQAM Còn khoảng cách d s QAM,f cũng 

được sử dụng làm giá trị tin cậy (reliability) hay độ tin cậy của

điểm f đối với điểm sQAM Giá trị tin cậy này chính là một đại

lượng quan trọng được dùng trong quá trình giải mã theo thuật

toán OSD Cụ thể, đối với bất kì một điểm nào trên hệ tọa độ

thì điểm sao gần nó hơn sẽ có độ tin cậy cao hơn, nghĩa là khả

năng giải mã thành điểm sao QAM đó sẽ cao hơn Giá trị tin

cậy của các cặp điểm riêng lẻ như vậy cũng sẽ là tiền đề cho

định nghĩa tiếp theo sau đây

Định nghĩa 2: (đại lượng đo lường tương quan) Đặt

 0, , ,1 N1



R r r  r là một chuỗi phi lượng tử hóa có chiều dài

N, trong đó ri r riI,iQ, với 0 i N1, là một điểm bất kì trên hệ trục tọa độ, đại lượng đo lường tương quan của R sẽ được tính theo công thức như sau

0

,

N

i i i

M d





R s r (2) trong đó si là điểm sao gần nhất của ri

Trong nghiên cứu này, giá trị M(R) được sử dụng làm thước đo

độ tin cậy của chuỗi dữ liệu nhận được tại đầu thu R Chúng ta

có thể nhận ra rằng chuỗi QAM  QAM QAM QAM

0 , 1 , , N1



là một chuỗi tín hiệu QAM và đồng thời cũng là vector quyết định cứng (hard decision) của R

Dựa vào đại lượng đo lường tương quan, ta thu được từ mã cứng

0 , 1 , , N1



s là điểm sao gần nhất của ri Ánh xạ ngược của chuỗi tín hiệu SQAM là một vector chiều dài N được biểu diễn là RS  RS RS RS 

0 , 1 , , N 1



trong đó RS GF 2 m

i

z  Độ tin cậy của mỗi ký hiệu ri của R được định lượng bằng khoảng cách Euclidean d s QAMi ,r , i

0 i N1 Nếu khoảng cách này càng ngắn thì độ tin cậy của i

r càng cao Dựa vào giá trị độ tin cậy này, vị trí của các phần

tử ziRS trong ZRS sẽ được sắp xếp lại theo thứ tự độ tin cậy giảm dần Vị trí của ký hiệu trong chuỗi tín hiệu QAM siQAM và

từ mã cứngri trong R cũng sẽ được sắp xếp lại theo vị trí tương ứng của RS

i

z

0 , 1 , , N1



S s s s , R r r 0, , ,1 rN1 và

RS RS RS RS

0 , 1 , , N 1

 Z    lần lượt là các vector từ mã cứng, chuỗi thu và chuỗi phần tử GF(2m) mới được sắp xếp lại Như vậy, hiển nhiên là:

 QAM   QAM   QAM 

d s r d s r d s  r  (3) Đặt  là phép toán hoán vị ta có thể viết như sau

 

RS  RS

Z Z , SQAM  SQAM và R   R Ngoài ra, K

vị trí đầu tiên của ZRS được gọi là vị trí có giá trị tin cậy độc lập cao nhất (most reliable independent – MRI) và N-K vị trí còn lại gọi là vị trí có giá trị tin cậy độc lập thấp nhất (least reliable independent – LRI)

Như vậy, ta có thể viết lại như sau

MRI positions LRI positions

RS RS

, , , , , , ,

||

z z z  z z  z 





Z

Z Z

      

 

 

trong đó || là ký tự biểu diễn phép toán kết nối, đồng thời các ký

tự I và P lần lượt có ý nghĩa biểu thị cho K vị trí MRI và (N-K)

vị trí LRI

Xét GK N là ma trận sinh của một bộ mã RS(N,K,D) Xét

 

 G là phép hoán vị cột của G dựa vào độ tin cậy của các ký

hiệu trong vector tín hiệu nhận R Sau khi áp dụng phép hoán

vị này, chúng ta sẽ thu được một ma trận mới G  G , sau

đó ta tiếp tục cần thực hiện các phép biến đổi sơ cấp theo hàng

để đưa G về dạng ma trận hệ thống G Đặt  là phép biến

đổi sơ cấp theo hàng như vậy ta có:

   K, KN K 

    

G G I P (4) trong đó IK là một ma trận đơn vị cấp K

Trong thuật toán OSD, chúng ta cần tạo ra rất nhiều từ mã tiềm

năng (hay còn gọi là từ mã ứng cử viên - candidate codeword)

trên trường GF(2m) Sau đó ta cần chọn ra một từ mã đúng nhất

với chuỗi QAM của nó có độ tương quan lớn nhất với chuỗi tín

hiệu nhận R Việc lựa chọn như vậy chính là thách thức đáng

kể trong việc giải mã

Gọi Xq là một từ mã tiềm năng, ta có:

1 RS



  

X Z G (5) trong đó RS

q

Z là một chuỗi thứ q được tạo ra bởi việc lần lượt

thay thế tối đa L phần tử trường GF(2m) tại các vị trí trong toàn

bộ chuỗi RS( )I

Z Giá trị của L còn được gọi là bậc giải mã thống

kê Để chọn được một từ mã đúng nhất, máy tính sẽ phải thực

hiện một số lượng rất lớn các phép tính toán cũng như so sánh

trong một khoảng thời gian rất dài Việc tinh giản lượng phép

tính toán này hiện đang là một vấn đề nan giải thậm chí với cả

tín hiệu điều chế nhị phân BPSK [3] Cụ thể, số lượng tính toán

cho một thuật toán OSD bậc L trên bộ mã RS(N,K,D) và sử

dụng tín hiệu điều chế M-QAM thì tổng số lượng từ mã tối đa

được tạo ra để chọn lựa sẽ là

0

L i i

K M i



 

 

 

Thực ra, số lượng này có thể sẽ được giảm đi đáng kể nếu tại

mỗi vị trí của chuỗi RS( )I

Z chúng ta không cần lần lượt thay thế bởi toàn bộ M=2m phần tử trong trường GF(2m) mà chỉ cần đến

một số những phần tử có khả năng cao nhất mà thôi Việc lựa

chọn các phần tử này cũng là một hướng nghiên cứu hứa hẹn về

sau Quay lại nội dung chính, ta nhận thấy sẽ có rất nhiều từ mã

được tạo ra sau có độ tương quan thấp hơn so với một từ mã đã

được tạo ra trước đó Đối với những từ mã đến sau này hệ thống

không cần kiểm tra nữa vì như thế sẽ lãng phí thời gian Vấn đề

là làm sao để nhận diện các từ mã vô ích này Trong phần tiếp

theo đây, tác giả sẽ đề xuất hai tiêu chí so sánh nhằm nhận diện

và loại bỏ việc sản sinh các từ mã vô ích nêu trên, đồng thời

cũng xem xét cân nhắc thời điểm dừng giải mã khi đã đạt kết

quả tối ưu Cụ thể, tiêu chí thứ nhất sẽ dự đoán liệu từ mã sắp

sản sinh sẽ có độ tương quan thấp hơn so với các từ mã trước

đó đã kiểm tra Tiêu chí thứ hai sẽ xác định sự tối ưu về tương

quan của một từ mã vừa được tạo ra, nhằm kết thúc quá trình giải mã Tuy nhiên đây là một tiêu chí khó và có khi sẽ không được thỏa mãn cho tới khi kiểm tra đến từ mã tiềm năng cuối cùng

A Tiêu chuẩn kiểm tra độ tương quan của từ mã Xét Rr r0, , ,1 rN1 với ri ri(I),ri(Q) là một chuỗi tín hiệu thu phi lượng tử và vector Xx x0, , ,1 xN1 là một từ

mã trong một bộ mã ℂ thuộc trường Galois GF(2m), và

QAM QAM QAM QAM

0 , 1 , , N1



X Dựa vào (2) ta có đại lượng đo lường tương quan của X là

1 QAM 0

( ) N i, i

i

M d





X r s (6)

Sau khi áp dụng phép hoán vị cho R, X và SQAM dựa vào độ tin cậy của ri (0 i N1), ta được R  ( )R , X  ( )X , QAM  ( QAM)

S S và rõ ràng là M( )X M( )X Giả sử XHD là

từ mã cứng (được giải mã bằng phương pháp giải mã quyết định cứng), Xk và Xl là hai từ mã bất kì, tương ứng có SQAM(HD),

SQAM(k) và SQAM(l) lần lượt là các vector tín hiệu QAM của XHD,

Xk và Xl kể trên Nếu Xk có độ tương quan cao hơn Xl thì



(7)

Đối với một bộ mã RS(N,K,D) thì khoảng cách Hamming tối thiểu là D=N-K+1 Cho nên ta được

1

2 QAM(HD) 0

, ,

N

i K D

i i i

d

















r s

 

(8)

Do đó,

0

,

D I

i

M M  d



 

Như vậy ta thấy nếu từ mã Xk có độ tương quan lớn hơn Xl thì phép đo lường tương quan  ( ) I

k

M X của ( ) I

k

X phải thỏa mãn bất đẳng thức (9)

Tiêu chuẩn 1: Kiểm tra độ tương quan của từ mã Gọi Xl là từ mã có tương quan lớn nhất hiện tại, và Xl  (Xl)

là một hoán vị của Xl Gọi ZRS là từ mã cứng của tín hiệu ngõ

ra và ZRS (ZRS)ZRS( )I ||ZRS( )P là một hoán vị của ZRS và

|| là kí hiệu của phép nối Chuỗi SQAM(HD) là một vector tín hiệu

QAM của ZRS Đặt RS( )I

k

Z là một chuỗi mới được tạo ra bằng cách thay thế tối đa L phần tử trường Galois GF(2m) tại vài vị

trí trong chuỗi RS( )I

Z Xét từ mã Xk là từ mã sẽ được tạo ra trong

vòng lặp tiếp theo của quá trình tạo mã bằng công thức:

nếu bất đẳng thức

0

,

D I

i

M M  d



 

X X r s 

được thỏa mãn thì Xk sẽ sản sinh ra từ mã có tương quan lớn

nhất trong thời điểm giải mã hiện tại Ngược lại, hệ thống không

cần phải tạo ra hay tính toán độ tương quan cho từ mã này

B Tiêu chuẩn kiểm tra tương quan tối ưu

Đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra tương quan tối ưu là rất quan

trọng trong việc rút ngăn thời gian giải mã Giả sử Xl và Xk có

mức độ đo lường tương quan lần lượt là M(Xl) và M(Xk), là hai

từ mã trong bộ mã RS(N,K,D) Vì bộ mã này có khoảng cách

Hamming ngắn nhất là D, nên sẽ có ít nhất D vị trí khác nhau

giữa Xl và Xk Tập hợp các điểm khác nhau của hai từ mã WRS

và YRS bất kì thuộc bộ mã RS được định nghĩa như sau:

 RS, RS i w: iRS yiRS,0 i N 1

và độ khác nhau giữa hai từ mã RS sẽ được định nghĩa như sau:

( ) p , QAM , QAM

trong đóp  X Z l, RSlà một trong những vị trí mà Xl và Xk

có giá trị khác nhau, và QAM

i

p ,0 i 2m2, là một trong

2m1điểm trên chòm sao QAM sao cho QAM

i

p khác với QAM(HD)

p

min

p

 là giá trị nhỏ nhất của ( ) p

i

 tại vị trí p của QAM(HD)

min, min, , min N

được sắp xếp dựa theo thứ tự tăng dần của các phần tử ( )

minp

 ,

và chuỗi sau khi được sắp xếp mới sẽ là

 (0) (1) ( 1)

min, min, , min N

min min minN

   

Ta thấy:

*

*

RS * RS

( ) ( )

X Z X Z

(12)

trong đó j và j* biểu tả các phần tử trường GF(2m) được thay thế

tại vị trí p và p* Bởi vì

 l, k  l, RS  k, RS

nên

 k, RS  l, RS

D  X Z   X Z (14)

Vì vậy, nếu X Zk, RS D/ 2 thì X Zl, RSD/ 2 Vì

*

*

( )

,

k

p

j

p





X Z

là tổng của D/ 2 phần tử đầu tiên của 

nên vế trái của (12) luôn luôn lớn hơn 0 Điều này cũng có nghĩa

là M(Xl) > M(Xk) và Xk được xác định chính là từ mã tương quan nhất Việc tìm kiếm có thể được dừng lại tại bước này Tiêu chuẩn 2: Kiểm tra tương quan tối ưu

Nếu một từ mã Xk thỏa mãn bất đẳng thức

   RS / 2 1

0

D

i



thì nó sẽ là từ mã có độ tương quan lớn nhất

Như vậy, một khi đã tìm được từ mã có độ tương quan lớn nhất,

hệ thống xem nhưng đã giải mã xong và có thể dừng quá trình giải mã Áp dụng tiêu chuẩn 2 này, quá trình giải mã sẽ kết thúc nhanh hơn so với quy trình bình thường Tuy nhiên, không phải lúc nào tiêu chuẩn 2 cũng được thỏa mãn, và như vậy hệ thống phải tiến hành kiểm tra cho tất cả các từ mã được tạo ra

Trong phần này, chúng tôi thực hiện các mô phỏng của hệ thống truyền tin bằng công cụ Matlab với bộ mã được sử dụng là RS(15,9,7) và phương pháp điều chế 16-QAM Ngoài ra, bậc giải mã thống kê được sử dụng là L=2 Môi trường truyền dẫn trong kênh truyền này là nhiễu cộng Gausian (AWGN) Các kết quả về lỗi bit, lỗi ký hiệu (symbol) và lỗi từ mã (codeword) được thể hiện lần lượt tại hình 1, 2 và 3 bên dưới

Hình 1 Xác suất lỗi bit được vẽ là một hàm của Eb/N0 (dB) khi sử dụng bộ mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM vàL2

Từ kết quả trên cho thấy, kết quả của phương pháp OSD với chỉ L=2 đã có thể cho ra hiệu quả gần bằng với của thuật toán Berlekamp trong cùng một bộ mã Thậm chí như trong hình 3 thì giá trị của lỗi từ mã trong hệ thống sử dụng thuật toán OSD thấp hơn so với hệ thống sử dụng thuật toán Berlekamp, đối với trường hợp giá trị Eb/N0 thấp, từ 0 dB đến 5 dB Như vậy chúng

ta thấy việc áp dụng thuật toán giải mã OSD cho bộ mã RS cùng

kỹ thuật điều chế QAM là hoàn toàn có triển vọng Thêm nữa, nếu ta tăng giá trị của L thì hiệu quả của thuật toán OSD càng

gia tăng hơn và chắc chắn sẽ vượt qua kết quả của thuật toán đại

số Bên cạnh đó, trong trường hợp hệ thống sử dụng một loại mã

RS có giá trị khoảng cách Hamming tối thiểu D ít hơn nữa thì

chắc chắn thuật toán OSD sẽ có chất lượng giải mã tốt hơn Vì

hiệu quả của thuật toán OSD không phụ thuộc hoàn toàn vào giá

trị của D trong khi thuật toán đại Berlekamp thì có phụ thuộc, cụ

thể, số lượng lỗi ký hiệu được phát hiện và số lượng lỗi ký hiệu

được sửa lỗi tối đa lần lượt bằng 𝐷 − 1 và ⌊(𝐷 − 1)/2⌋

Hình 2 Xác suất lỗi ký hiệu được vẽ là một hàm của Eb/N0 (dB) khi

sử dụng bộ mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM vàL2

Hình 3 Xác suất lỗi từ mã được vẽ là một hàm của Eb/N0 (dB) khi sử

dụng bộ mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM vàL2

Việc áp dụng thuật toán OSD mang lại cho hệ thống sự linh

động trong việc gia tăng tốc độ truyền dẫn cũng như nâng cao

độ tin cậy của kênh truyền mà vẫn điều chỉnh được mức lỗi

trong phạm vi cho phép Tuy nhiên, thực tế chạy chương trình

mô phỏng cho thấy quá trình giải mã bằng thuật toán OSD lâu hơn so với thuật toán cổ điển rất nhiều lần Như vậy hiệu quả của hai định lý bổ trợ đề xuất trong phần III là thực tế nhưng vẫn còn khiêm tốn, cần phải được nghiên cứu và cải tiến thêm Bên cạnh đó, một hướng nghiên cứu khác cũng được mở ra đó tìm công thức về mặt lý thuyết của giá trị xác suất lỗi khi áp dụng thuật toán OSD cho bộ mã RS và điều chế QAM

Trong bài báo này, các tác giả đã tiến hành khảo sát việc áp dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê OSD cho bộ mã RS và phương pháp điều chế M-QAM Nội dung trọng tâm của bài báo

đó là hai tiêu chuẩn được đề xuất nhằm giúp hiện thực hóa việc

áp dụng thuật toán OSD cho bộ mã RS kể trên Ngoài việc phân tích và khảo sát bằng lý thuyết như vậy, các tác giả đã tiến hành

mô phỏng một hệ thống cụ thể với bộ mã RS(15,9,7) và phương pháp điều chế 16-QAM Kết quả đạt được cho thấy triển vọng của thuật toán mới này và việc áp dụng giải mã theo bậc thống

kê OSD như đề xuất là có thể thực hiện được Hai tiêu chuẩn cũng đã phần nào giải quyết bài toán rút ngắn thời gian giải mã rất nhiều, tuy nhiên hiệu quả vẫn còn hạn chế, nhất là khi so sánh với thuật toán giải mã bằng phương pháp đại số Các hướng nghiên cứu mới được đặt ra đó là: làm sao để giảm thiểu thời gian thực thi giải mã của thuật toán, và tìm ra công thức lý thuyết

về xác suất lỗi của thuật toán

[1] Su Lin, Daniel J Costello, Error Control Coding, 2nd edition, ISBN 0-13-042672-5, NJ: Prentice-Hall, 2005

[2] Elwyn R Berlekamp, Algebraic Coding Theory, revised edition, ISBN 978-981-4635-89-9, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1984 [3] Ta-Hsiang Hu, Shu Lin, “An efficient hybrid decoding algorithm for Reed-Solomon codes based on bit reliability,” IEEE Transaction on Communications, vol 51, no 7, July 2003

[4] Daolong Wu, Ying Li, Xudong Guo, and Yue Sun, “Ordered statistic decoding for short polar codes,” IEEE Communications Letter, vol 20,

no 6, June 2016

[5] Salf E A Alnawayseh, and Pavel Loskot, “Order statistics based list decoding techniques for linear binary block codes,” IEEE Transaction on Information Theory, Jan 2011

[6] Yingquan Wu ; Christoforos N Hadjicostis, “Soft-decision decoding using ordered recodings on the most reliable basis,” IEEE Transaction on Information Theory, vol 53, issue 2, Feb, 2007

[7] M.P.C Fossorier, Shu Lin, “Soft decision decoding of linear block codes based on ordered statistics,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 41, issue 5, 1995

[8] Marc P C Fossorier, “Reliability-Based Soft-Decoding With Iterative Information Set Reduction,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 48, no 12, December 2002

Eb/N0(in dB)

10-4

10-3

10-2

10 -1

100 Codeword error rate for {RS(15,9,7), 16-QAM, order = 2}

Berlekamp OSD