Việc tìm được nhóm nhân đạt cấp cực đại trong vành đa thức có ý nghĩa và vai trò quan trọng nhất trong việc cấu trúc lên mã cyclic cục bộ. Bài báo này sẽ đề xuất một số phương pháp mới xác định các cấp của các đa thức trên vành đa thức sử dụng tính chất của nhóm nhân cyclic đối xứng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1Một số phương pháp mới xác định cấp của đa thức trên vành đa thức sử dụng tính chất của nhóm nhân
cyclic đối xứng
Nguyễn Trung Hiếu Khoa Kỹ thuật Điện tử 1, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Hà Nội, Việt Nam
Email: hieunt@ptit.edu.vn
Tóm tắt– Mã cyclic cục bộ (LCC) là một mã khối được tạo
thành dựa trên các phân hoạch của vành đa thức Phương pháp
điển hình xây dựng mã LCC là dựa trên nhóm nhân cyclic với ưu
điểm nổi bật là số lượng mã có thể tạo ra bởi phương pháp này
nhiều hơn phương pháp tạo mã cyclic dựa trên Ideal Việc tìm
được nhóm nhân đạt cấp cực đại trong vành đa thức có ý nghĩa
và vai trò quan trọng nhất trong việc cấu trúc lên mã cyclic cục
bộ Bài báo này sẽ đề xuất một số phương pháp mới xác định các
cấp của các đa thức trên vành đa thức sử dụng tính chất của
nhóm nhân cyclic đối xứng
Từ khóa– Mã cyclic cục bộ (LCC-Local Cyclic Code), Nhóm
nhân cyclic (CMG- Cyclic Multiplicative Group), Vành đa thức,
phân hoạch.
I. GIỚI THIỆU
Lý thuyết mã hóa đã được nghiên cứu và ứng dụng trong
rất nhiều lĩnh vực của cuộc sống, đặc biệt là trong lĩnh vực
truyền thông Lý thuyết về mã hóa phát triển theo ba hướng
lớn đó là: mã nguồn, mã kênh (có khả năng phát hiện và sửa
lỗi) và mật mã [1], [2] Mã cyclic là một lớp mã quan trọng
trong các mã khối tuyến tính, có khả năng phát hiện và sửa lỗi
tốt, được ứng dụng trong điện tử dân dụng, các hệ thống lưu
trữ, các hệ thống truyền thông vì có nhiều phương pháp mã
hóa và giải mã hiệu quả
Mã cyclic được Eugene Prange nghiên cứu đầu tiên năm
1957 [1] Ngày nay, mã cyclic vẫn nhận được sự quan tâm từ
các nhà nghiên cứu trên toàn thế giới [3]-[8] Một hướng
nghiên cứu mới về mã cyclic được biết đến là mã cyclic cục
bộ (LCC-Local Cyclic Code) được đưa ra bởi tác giả Nguyễn
Bình vào những năm 1980 [10] LCC thu hút được nhiều nhà
nghiên cứu và một số kết quả nghiên cứu về LCC đã được
công bố trên các tạp chí chuyên ngành và hội nghị khoa học
quốc tế [9]-[14]
Các nghiên cứu trước đây chủ yếu tập trung vào cấu trúc
mã [9], [10], [11], [13], [14], thực hiện cứng hóa bộ mã LCCs
[12] Nhìn chung, LCC được xây dựng dựa trên cấu trúc và
phân hoạch CMG của vành đa thức [9], [11]
Tuy nhiên, thuật toán xác định cấp của đa thức trên vành
đa thức đến nay mới chỉ sử dụng phương pháp vét cạn có độ
phức tạp lớn, bị hạn chế về năng lực và thời gian tính toán Bài
báo này nghiên cứu một phương pháp chứng minh tính chất
của nhóm nhân cyclic đối xứng, đề xuất hai bổ đề phân bổ đa
thức trong nhóm nhân cyclic theo cấp và đề xuất các thuật
toán cải tiến xác định cấp của đa thức trên vành nhằm làm
giảm độ phức tạp tính toán, rút ngắn thời gian tính toán tới mức tối đa và đặc biệt là có thể xác định được cấp của toàn bộ các đa thức trên các vành lớn mà các nghiên cứu trước đây chưa đề cập
Nội dung bài báo được chia làm năm phần Phần II, trình bày sự phân bố đa thức dựa trên cấp của đa thức trên nhóm nhân cyclic Trong phần III, đề xuất một phương pháp chứng minh tính chất của nhóm nhân cyclic đối xứng, trong khi phần
IV đề xuất hai thuật toán mới xác định cấp của đa thức trên vành và thảo luận về sự cần thiết của chúng Cuối cùng, kết luận bài báo được trình bày trong phần V
II. PHÂN BỐ ĐA THỨC DỰA TRÊN CẤP CỦA ĐA THỨC
TRÊN NHÓM NHÂN CYCLIC
Định nghĩa 1: [10] CMG trên 2 2> @ > @x x @/// n n 1 là tập hợp
^ i , 1,2, `
A a x i , với a x 2 2 2 2> @ > @ > @ > @ > @ > @x x////// n n1\ 0^ `
a x - phần tử sinh của CMG A
Định nghĩa 2: Cấp của đa thức [9].
Cấp của đa thứca x( ) 222 2 2[ ]/ ([ ]/ ([ ]/ ([ ]/ ([ ]/ (x]/ (]/ (x n n1) (ký hiệu ord a x( ))
là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn:
1( ) ( )mod( 1)
a x a x x hoặc
a x m( ) e x( )mod(x n 1) Trong đó e x( ) là lũy đẳng trong vành, e x( ) e x2( ) Như vậy, a x( ) tạo nên một nhóm cyclic cấp m vành Định lý 1: [9] Xét a x( ) là phần tử của nhóm nhân nào đó, cấp cực đại của a x( ) được xác định như sau:
- Nếu n lẻ (n 2k1) và n 1 ( )
i
x f x ; trong đó
( )
i
f x là các đa thức bất khả quy Khi đó maxord a x ( ( )) 2m1 Trong đó m maxdeg ( )f x i
ISBN: 978-604-67-0635-9
Trang 2- Nếu n chẵn (n 2 (2s k1)) và 2 1k 1 ( )
i
trong đó f x i( ) là các đa thức bất khả quy Khi đó
maxord a x ( ( )) 2 (2s m1) Trong đó m maxdeg ( )f x i
Bổ đề 2.1: Trong một nhóm nhân cyclic cấp m , cấp của đa
thức thứ k bằng:
gcd ,
m
Hệ quả: Trong một nhóm nhân cyclic cấp m thì:
+ Các đa thức tại vị trí thứ k nguyên tố cùng nhau với m
thì có cấp bằng m , nghĩa là GCD , m k 1 thì m k m
+ Số đa thức đạt cấp m là M( )m Trong đó:
1 1
p
là hàm Phi-Euler, với 1 2
1e .2e e k
k
i
p - các số nguyên tố khác nhau; e i - các số nguyên dương
Chứng minh:
Trên vành 2 2[ ]/ ([ ]/ (x]/ (x n n 1), xét nhóm nhân cyclic
^ ( ), ( ), , ( )2 m `
A a x a x a x , có ord A m
Xét nhóm nhân cyclic B có đa thức sinh ( )b x a x k( )
Đặt
gcd ,
k
m
m , xét
^ ( ), ( ), ,2 m k( )` ^ k( ), 2k( ), , m k k ( )`
Cần chứng minh vấn đề:
(1) Dãy các đa thức trong B là hoàn toàn phân biệt
Giả sử có 2 phần tử thứ i và thứ j có cùng giá trị, khi đó
mod
ik jk{ m hoặc ik jk m m m (((i j k m i j k m)) Chia cả 2 vế
cho gcd , m k , ta được
© ¹ gcd m , vì
,
d
© ¹ , nên suy ra (i j m ) m k k Ta có
k
i j m , do đó ik jk{ modm là vô lý
(2) b x m k( ) e x( )
Vì a x( ) là đa thức sinh của nhân cyclic A cấp m, nên
1( ) ( )
m
a x a x Đặt e x( ) a x m( ) là một lũy đẳng
Có m k k gcd ,mk
m k , đặt gcd ,
k q
m k (q là một số
nguyên dương), ta nhận được m k mq k và có
a x a x e (đa thức lũy đẳng)
Như vậy, ta có: b x m k( ) a x( )m k k e x( )
Bổ đề được chứng minh
Bổ đề 2: Số các đa thức đạt cấp cực đại trên vành được
tính bằng N m ( )M , với m là cấp cực đại và N là số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (nghĩa là không có nhóm nhân nào là hoán vị của nhóm nhân khác)
Chứng minh:
Theo hệ quả của bổ đề 1, số đa thức đạt cấp cực đại trong một nhóm nhân cyclic được tính bởi hàm Phi-Euler (M( )m )
Bổ đề hiển nhiên đúng
Ví dụ 1: Xét vành đa thức 5
2[ ]/ (x x 5 1)
2[ ]/ (]/ ( 5 , không xét lũy đẳng nuốt e x n( ) 1 x x2x3x4, có 2 nhóm nhân như sau:
1
012 , 024 , 3 , 034 , 023 , 1 , 123 ,
013 , 4 , 014 , 134 , 2 , 234 , 124 , 0
2
01 , 02 , 0123 , 04 , 14 , 0124 , 34 ,
03 , 0134 , 23 , 24 , 0234 , 12 , 13 , 1234
Cả hai nhóm nhân đều có cấp bằng 15 Xem xét CMG A1:
Có 8 đa thức ở các vị trí 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 có cấp bằng 15 và là cấp cực đại, phù hợp với hệ quả:
M §¨ ·§¸¨ ·¸
Có 4 đa thức ở các vị trí thứ 3, 6, 9, 12 có cấp bằng 5
5
© ¹ ) Các đa thức này cùng với đa thức thứ
15 tạo thành nhóm nhân con {3, 1, 4, 2, 0}
Có 2 đa thức ở các vị trí thứ 5 và 10 có cấp bằng 3
3
© ¹ ) Các đa thức này cùng với đa thức thứ
15 tạo thành nhóm nhân con {(023), (014), (0)}
Xem xét các đa thức trên vành 5
2[ ]/ (x x 5 1)
2[ ]/ (]/ ( 5 , số đa thức đạt cấp cực đại là M 15 *2 16 Ta có 16 đa thức đạt cấp cực đại: (012), (024), (034), (123), (013), (134), (234), (124), (01), (02), (04), (34), (03), (23), (24), (12), (13)
III. ĐỀ XUẤT MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH CHẤT CỦA NHÓM NHÂN CYCLIC ĐỐI XỨNG
Định nghĩa 3: [9] Đa thức ( )a x được gọi là đa thức đối
xứng với đa thứca x( ) nếu:
i
i I
¦ thì ( ) j
j
j J
trong đó: I J J== ; ;;; ; I J S S ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^0,1, ,n1`
Trang 3
Dựa vào tính chất của lũy đẳng nuốt, ta có:
n
Bổ đề 3: (Nhóm nhân cyclic đối xứng)
Xét a x là một phần tử sinh của nhóm nhân cyclic A,
a x là phần tử sinh của nhóm nhân cyclic A ( A được gọi
là đối xứng của nhóm nhân A) Ta có:
;
Chứng minh:
Trọng số của a x( ) ký hiệu là W a x ( ) , có nhận xét sau:
- Nếu W a x ( ) lẻ, thì k N k, !0 thì W a x lẻ và k( )
k( ) 1
W a x chẵn.
- Nếu W a x ( ) chẵn, thì k N k, !0 thì W a x k( )
chẵn và W a x lẻ k( ) 1
Do đó W a x a x ( ). k( ) 1 luôn là chẵn
Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp, ta giả sử
n
1( ) 1( ) ( ) 1( )
n
Áp dụng các tính chất của lũy đẳng nuốt e x n( ), phần tử
đối xứng a x và các nhận xét ở trên, với( ) i N i, ! , ta có: 0
1
1 1
( )
i
i n i
Như vậy bổ đề được chứng minh
Do đó, có thể khảng định tính chất của nhóm nhân cyclic
đối xứng:
( ), ( ), ( ),
( ), ( ), ( ),
( ), ( ), ( ),
Ví dụ 3: n 5, a x x x2x4l 124
124 , 234 , 2 , 134 , 014 , 4 , 013 , 123 ,
1 , 023 , 034 , 3 , 024 , 012 , 0
03 , 01 , 0134 , 02 , 23 , 0123 , 24 , 04 ,
0234 , 14 , 12 , 0124 , 13 , 34 , 1234
Ta có A~ 15,5,7 , A~ 15,4,8 và A A 15
M §¨ ·§¸¨ ·¸
Trong CMG A, các phần tử có cấp 15 là:
^124 , 234 , 134 , 013 , 123 , 034 , 024 , 012`
Trong CMG A , các phần tử có cấp 15 là:
^ 03 , 01 , 02 , 24 , 04 , 12 , 13 , 34`
Như vậy, với mỗi phần tử a x( ) của nhóm nhân cyclic A
ta có tương ứng một phần tử a x của nhóm nhân cyclic A ( )
Từ nhóm nhân cyclic A ta dễ dàng thiết lập được nhóm nhân
cyclic A Hai nhóm nhân A và A được gọi là hai nhóm nhân
cyclic đối xứng trong vành đa thức
Từ việc khảo sát các nhóm nhân đối xứng trong vành đa thức ta thấy chỉ cần khảo sát các nhóm nhân trong một nửa vành là ta có thể suy ra kết quả khảo sát cho toàn bộ vành Khi coi mỗi nhóm nhân là một mã tương ứng mà ta có thể xây dựng được trên nó, ta sẽ khảo sát được các mã trên vành IV. ĐỀ XUẤT CÁC THUẬT TOÁN MỚI XÁC ĐỊNH CẤP CỦA CÁC ĐA THỨC TRÊN VÀNH ( ) / (( ) / (x) / (x n n 1) Việc tìm cấp của tất cả các đa thức trên vành là một vấn đề quan trọng trong tính toán và xác định các đa thức đạt cấp cực đại trên vành là cơ sở cho việc kiến thiết các nhóm nhân cyclic
và các mã cyclic tương ứng
Trên một vành đa thức 22[ ]/ ([ ]/ (x]/ (x n n 1) có 2n2 đa thức (nếu không tính lũy đẳng nuốt và phần tử 0) Hai thuật toán cải tiến xác định cấp của tất cả các đa thức trên vành là các kết quả mới được nghiên cứu và trình bày dưới đây, trong đó mỗi
đa thức được biểu diễn bằng một số nguyên, các hệ số của đa thức là biểu diễn của số nguyên đó trong hệ nhị phân Ví dụ:
3 2
11 (1011) x x 1
A Thuật toán vét cạn
a) Ý tưởng: Thử tất cả các đa thức và kiểm tra cấp của từng đa thức
b) Độ phức tạp thuật toán: O 2 *maxn order n , với O(n)*
là chi phí kiểm tra mỗi đa thức có n hệ số
c) Thuật toán vét cạn:
Trang 4
INPUT: integer n.
OUTPUT: order of all polynomials
For k from 1 to ( 2 n2) do the following:
1 Convert k to polynomial f x( )
2 Set g x( )mf x( )
3 Set count m0
4 While(1) do the following:
4.1 Set ( )g x mg x f x( ) ( )
4.2 countmcount1
4.3 If g x( ) f x( ) then ord k> @mcountand break
the loop
B Thuật toán cải tiến 1
a) Ý tưởng: Sử dụng đa thức đối xứng và nhóm nhân
cyclic đối xứng, với ord a x( ) ord a x( )
b) Độ phức tạp thuật toán: O 2 *maxn order n*
c) Thuật toán cải tiến 1:
INPUT: integer n.
OUTPUT: order of all polynomials
1 Set all visited> @m0
2 For k from 1 to ( 2 n2) do the following:
2.1 If visited k > @ 1then continue
2.2 Convert k to polynomial f x( )
2.3 Set g x( )mf x( )
2.4 Set count m0
2.5 While(1) do the following:
2.5.1 Set ( )g x mg x f x( ) ( )
2.5.2 countmcount1
2.5.3 If g x( ) f x( ) then
a) opp k_ m2 1n k
b) ord k> @mcount, and ord opp k> _ @mcount
c) visited k m> @ 1, and visited opp k m> _ @ 1
d) break the loop
C Thuật toán cải tiến 2
a) Ý tưởng: Sử dụng các kết quả nghiên cứu về cấp và
CMG đối xứng
(1) Tìm cấp cực đại của đa thức trên vành bằng việc kiểm tra chiều dài cực đại của các lớp kề cyclic Độ phức tạp
O(n)
(2) Áp dụng bổ đề 1 Tìm các CMG, đa thức ở vị trí thứ
k cấp gcd ,
m
m k , với m là cấp của đa thức sinh của CMG
(3) Áp dụng bổ đề 3 để tìm các CMG đối xứng
b) Độ phức tạp thuật toán: O N *maxorder n* , N là số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (theo bổ đề 2).
c) Thuật toán cải tiến 2:
INPUT: integer n.
OUTPUT: order of all polynomials
1 Set all visited> @m0
2 For k from 1 to ( 2 n2) do the following:
2.1 If visited k > @ 1then continue
2.2 Convert k to polynomial f x( )
2.3 Set g x( )mf x( )
2.4 Set count m0
2.5 While(1) do the following:
2.5.1 Set ( )g x mg x f x( ) ( ) 2.5.2 Convert inversely ( )g x to an integer M
2.5.3 stored count> @mM
2.5.3 If g x( ) f x( ) then break the loop;
2.6 For i from 1 to count
2.6.1 poly i_ ms tored> @i
2.6.2 opp poly i_ _ m2 1n poly i_ 2.6.3 ord poly i> _ @mcount/ GCD , i count , and
2.6.4 visited poly i m> _ @ 1and
visited opp poly i m
D Khảo sát và đánh giá các thuật toán
Trong ba thuật toán được trình bày thì thuật toán vét cạn
và thuật toán cải tiến 1 có cùng độ phức tạp là
2 *maxn *
*max *
phức tạp của thuật toán cải tiến 2 càng thấp hơn so với hai thuật toán còn lại
Trang 5
Sử dụng cấu hình máy tính CPU Core i5 3230M, 2.6 Ghz,
RAM 12 Gb, thời gian tính toán cho mỗi thuật toán với
5 27
n y (n lẻ) được liệt kê trong bảng 1
Bảng 1: So sánh thời gian tính toán của ba thuật toán
Nội dung
N
Số lượng
cạn (s)
Thuật toán cải tiến 1 (s)
Thuật toán cải tiến 2 (s)
Từ kết quả tổng hợp ở bảng 1, có thể thấy rằng thuật toán
cải tiến 1 đã rút ngắn thời gian tính toán một cách đáng kể so
với thuật toán vét cạn, đặc biệt khi vành lớn hơn, thuật toán
cải tiến 2 có thời gian tính toán ngắn hơn đến vài trăm lần và
thực hiện được với những vành lớn mà các thuật toán khác
chưa làm được
Việc xác định cấp của đa thức trên vành có vai trò quan
trọng trong việc xác định cấp của CMG – một thành phần
quan trọng để kiến trúc mã LCC [10], [14] Trong các nghiên
cứu và kết quả tính toán về vấn đề này, các tác giả chủ yếu sử
dụng thuật toán vét cạn với các hạn chế về năng lực, thời gian
tính toán và dung lượng bộ nhớ [9], [13] Hai thuật toán mới
được nghiên cứu và đề xuất đã giúp giảm độ phức tạp tính
toán và giảm thời gian tính toán trong khi độ chính xác là
tương đương với thuật toán vét cạn
V. KẾT LUẬN Trong bài báo này, tác giả đã đề xuất hai thuật toán mới để
xác định cấp của các đa thức trên vành đa thức với các ưu
điểm: giảm độ phức tạp tính toán và rút ngắn thời gian đưa ra
kết quả, đặc biệt là đã thực hiện được trên các vành lớn mà các
nghiên cứu trước đây chưa đề cập, cũng như thuật toán vét cạn
không thực hiện được Đồng thời, tác giả cũng đã đề xuất
phương pháp chứng minh các bổ đề liên quan đến tính chất của
nhóm nhân cyclic đối xứng, sự phân bố đa thức dựa trên cấp đa
thức trên vành đa thức một cách tường minh về mặt toán học,
góp phần bổ sung vào cơ sở lý thuyết về nhóm nhân cyclic và
mã cyclic cục bộ
Hướng nghiên cứu tiếp theo sẽ tập trung vào việc xác định cấp của đa thức, của tích các đa thức và phương pháp kiến thiết nhóm nhân đạt cấp cực đại trên vành đa thức
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.J Menezes, P.C Van Oorchot, Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, 1998
[2] Todd K Moon, Error Correction Coding: Mathematical Methods and
Algorithm, John Wiley & Sons, Inc, 2005
[3] Emanuele Betti and Massimiliano Sala, “A New Bound for the
Minimum Distance of a Cyclic Code From Its Defining Set,” IEEE Trans Inform Theory, Vol 52, No 8, August 2006
[4] J Luo, K Feng, “Cyclic codes and sequences from generalized Coulter-Matthews function,” IEEE Trans Inform Theory, 54(12), pp 5345–
5353, 2008
[5] B Heijne, J Top, “On the minimal distance of binary self-dual cyclic codes,” IEEE Trans Inform Theory, 55(11), pp 4860–4863, 2009 [6] Cunsheng Ding, Yang Yang, Xiaohu Tang (2010), “Optimal Sets of Frequency Hopping Sequences From Linear Cyclic Codes”, IEEE Transactions on Information Theory, ISSN 0018-9448, Vol 56, No 7,
pp 3605 - 3612
[7] C Ding, “Cyclic codes from the two-prime sequences,” IEEE Trans Inform Theory, 58(6), pp 357–363, 2012
[8] Gaurav Chawla and Vishal Chaudhary, “FPGA Implementation of Cyclic Code Encoder and Decoder,” Advance in Electronic and Electric Engineering, ISSN 2231-1297, Volume 4, Number 3, pp 273-278, 2014 [9] Dang Hoai Bac, Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh, “Novel algebraic structure for cyclic codes,” Applied Algebra, Algebraic Algorithms, and Error Correcting Codes – Conf AAECC 17, LNCS 4851, pp 301-310, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.
[10] Nguyen Binh, “Cyclic and Local Cyclic Codes over Polynomial Ring,” Journal of Science and Technology, ISSN 0866 708X, vol 50, pp
735-749, 2012
[11] Ngo Duc Thien, Nguyen Binh, “Some Local Cyclic Codes Based on Compound Decomposition of Two Polynomial Rings,” International Conference on Advanced Technologies for Communications (ATC 2008
- REV’11), Hanoi, Vietnam, October, 2008.
[12] Nguyen Trung Hieu, Dang Hoai Bac, Nguyen Ngoc Minh, “An FPGA-based implementation method for local cyclic code encoder/decoder,” Journal of Science and Technology, ISSN 0866 708X, vol 50-2A, pp 38-49, 2012
[13] Nguyen Binh, Le Dinh Thich, “The Orders of Polynomials and Algorithms for Defining Order of Polynomial over Polynomial Ring,”
5 th Vietnam Conference on Automation (VICA5), Hanoi, Vietnam, October 2002
[14] Nguyen Binh, Van Danh Nhuan, Pham Viet Trung, “Constructing cyclic codes over cyclic multipcative groups,” 26 th Conference of Asian Info-communications Council (AIC26), Hanoi, Vietnam, Nov 2001
...
III. ĐỀ XUẤT MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH CHẤT CỦA NHÓM NHÂN CYCLIC ĐỐI XỨNG
Định nghĩa 3: [9] Đa thức ( )a x gọi đa thức đối< /i>
xứng với đa thức< i>a x( )... 2: Số đa thức đạt cấp cực đại vành được
tính N m ( )M , với m cấp cực đại N số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (nghĩa khơng có nhóm nhân hốn vị nhóm. .. nhân khác)
Chứng minh:
Theo hệ bổ đề 1, số đa thức đạt cấp cực đại nhóm nhân cyclic tính hàm Phi-Euler (M( )m )
Bổ đề hiển nhiên
Ví dụ 1: Xét vành đa
