(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
LÊ THẾ SẮC
TÍNH HẦU TUẦN HOÀN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ
LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TOÀN TRỤC THỜI GIAN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2022
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
LÊ THẾ SẮC
TÍNH HẦU TUẦN HOÀN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ
LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TOÀN TRỤC THỜI GIAN
Ngành : Toán học
Mã số : 9460101
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy
Hà Nội - 2022
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Tính hầu tuần hoàn,hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàntrục thời gian là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫncủa PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Các kết quả trong luận án là hoàn toàntrung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trìnhnghiên cứu nào Các nguồn tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ theo đúngquy định
Hà Nội, ngày 08 tháng 01 năm 2022
i
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội dưới
sự hướng dẫn của PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Thầy không chỉ là một nhàkhoa học mà còn là một người vô cùng mẫu mực trong công việc cũng như trongcuộc sống Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận án.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới thầy
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Phạm Trường Xuân, người đãhướng dẫn, đồng hành và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và hoàn thành luận án
Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ của các thầy côtrong bộ môn Toán Cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán Ứng dụng và Tin học.Đặc biệt, tôi đã nhận được những đóng góp, chia sẻ, động viên của các thànhviên trong nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân
và ứng dụng” tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội do PGS.TSKH NguyễnThiệu Huy điều hành Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và cácthành viên trong nhóm seminar
Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, cácPhòng, Ban liên quan, Khoa Công nghệ thông tin và Bộ môn Toán học thuộctrường Đại học Thủy lợi đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiêncứu
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đãluôn khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tôivững tâm học tập và nghiên cứu
Nghiên cứu sinh
ii
Trang 5MỤC LỤC
1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài 3
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 8
3 Phương pháp nghiên cứu 9
4 Kết quả của luận án 10
5 Cấu trúc của luận án 11
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 1.1 Nửa nhóm 13
1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13
1.1.2 Nửa nhóm giải tích 15
1.2 Không gian hàm, không gian nội suy và một số lớp hàm 16
1.2.1 Không gian nội suy thực 17
1.2.2 Không gian Lorentz 19
1.2.3 Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt 21
1.2.4 Không gian Besov 22
1.2.5 Hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình 23
1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 27 Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRÊN KHÔNG GIAN NỘI SUY 30 2.1 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính 31
2.1.1 Nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình 31
2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 37 2.2 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40
2.2.1 Sự tồn tại của một số lớp nghiệm 40
2.2.2 Tính ổn định nghiệm 42
iii
Trang 62.3 Một số ứng dụng 462.3.1 Phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi 472.3.2 Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến 482.3.3 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng 502.3.4 Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov 52Chương 3 MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN KHÔNG GIAN LORENTZ CÓ TRỌNG MUCKEN-
3.1 Các đánh giá Lp− Lq giữa các không gian Lorentz có trọng enhoupt 583.2 Phương trình tuyến tính trên không gian Lorentz có trọng Muck-enhoupt 603.3 Phương trình nửa tuyến tính trên không gian Lorentz có trọngMuckenhoupt 62Chương 4 MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSI-
4.1 Dạng ma trận của hệ phương trình Boussinesq và các đánh giá
Lp− Lq 714.2 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính 724.2.1 Nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hoàn và hầu tự đồng hình 724.2.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn và tựa hầu tự đồng hình có
trọng 794.3 Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của phương trình nửa tuyến tính 814.3.1 Sự tồn tại 814.3.2 Tính ổn định 83
Trang 7MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
N : Tập hợp các số tự nhiên
R : Tập hợp các số thực
R+ : Tập hợp các số thực không âm
L(X) : Không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X
AP (R, X) : Không gian các hàm hầu tuần hoàn từ R → X
AA(R, X) : Không gian các hàm hầu tự đồng hình từ R → X
SpAA(R, X) : Không gian hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X
L∞(Ω) := {u : Ω → X : kuk∞ = ess sup
Wk,∞(Ω) := {u ∈ L∞(Ω) : Dαu ∈ L∞(Ω), với |α| ≤ k}
với chuẩn kukk,∞ := max
|α|≤kkDαuk∞.C(R, X) :=u : R → X liên tục
Trang 8C∞(Ω) : Không gian các hàm khả vi cấp vô hạn trên Ω.
C0∞(Ω) : Không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω
q dss
Trang 9MỞ ĐẦU
1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và sự khái quát của chúng đốivới phương trình tiến hóa là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đếntính chất nghiệm của phương trình tiến hóa theo thời gian Đối với trường hợpnghiệm tuần hoàn, một số phương pháp thường được sử dụng như nguyên lýMassera [1, 2], nguyên lý điểm bất động của Tikhonov [3] hay hàm Lyapunov[4] được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể Các phương phápphổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là tính bị chặncủa nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép nhúngcompact [3, 4, 5, 6]
Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền không
bị chặn hay các phương trình có nghiệm không bị chặn thì các phép nhúngcompact này không còn đúng nữa và do đó sự tồn tại nghiệm bị chặn sẽ khó đạtđược Điều này là do các điều kiện ban đầu phù hợp để đảm bảo tính bị chặncủa nghiệm không dễ dàng tìm được
Một phương pháp để giải quyết những khó khăn này là sử dụng nguyên lýdạng Massera, nghĩa là nếu một phương trình vi phân có nghiệm bị chặn thì
nó có nghiệm tuần hoàn Thực tế, việc kết hợp giữa nguyên lý dạng Massera
và không gian nội suy đã được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuầnhoàn của các phương trình cơ học chất lỏng (các dòng thủy khí) và các phươngtrình truyền nhiệt với hệ số thô, phương trình Ornstein - Uhlenbeck [7,8] Trongcác công trình này, các hàm tử nội suy được sử dụng kết hợp với phương phápErgodic [8] Đối với trường hợp các dòng thủy khí, sự tồn tại của nghiệm tuầnhoàn của phương trình Navier-Stokes và các phương trình dạng Navier-Stokestrở thành hướng nghiên cứu quan trọng Trong miền bị chặn, Serrin đã sử dụngtính ổn định của nghiệm bị chặn để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn củaphương trình Navier-Stokes [9] Sau đó, sự tồn tại, duy nhất, tính ổn định vàdáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hoàn trên toàn không gian Rn, trên miền không
bị chặn trong Rn và trên toàn trục thời gian R được mở rộng nghiên cứu trong
3
Trang 10các công trình [10, 11, 12, 13] Bên cạnh đó cũng có một số phương pháp khácđược sử dụng rất hữu hiệu Phương pháp đầu tiên phải kể đến là kỹ thuật “miềnxâm lấn” được sử dụng bởi Heywood [14], Prodi [15], Prouse [16] và Yudovich[17] để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trên miền không bị chặn Ngoài
ra, bằng cách sử dụng tính chất nội suy của không gian Lp yếu, Yamazaki [18]
đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định nghiệm tuần hoàn trên các miền ngoại vi.Cuối cùng, chúng ta cũng phải kể đến một số kết quả về nghiệm tuần hoàncủa phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi trong một số công trình như[19, 20, 21, 22]
Đối với trường hợp nghiệm hầu tuần hoàn, một số phương pháp được pháttriển bởi Bochner, Stepanov, Besicovitch và Weyl thông qua định nghĩa cơ bảnđược đưa ra bởi H Bohr [23] vào năm 1925 Lớp hàm hầu tuần hoàn đóng vaitrò quan trọng trong việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực toán học như: Phương trình
vi phân, hệ động lực và giải tích điều hòa Các kiến thức căn bản về hàm hầutuần hoàn được trình bày khá đầy đủ trong [24, 25, 26]
Gần đây, nghiệm hầu tuần hoàn trên toàn trục thời gian được mở rộngnghiên cứu cho phương trình của các dòng thủy khí trong miền không bị chặn bởiNguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [27,28] và Farwig & Tanuichi [29] Cụ thể trong[28], các tác giả đã phát triển các phương pháp trong [8] để chứng minh nguyên
lý dạng Massera và chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm hầu tuầnhoàn cho phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi, phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov và phương trình Navier-Stokes-Oseen trong miềnkhông bị chặn Trong [27], các tác giả đã xét một lớp phương trình tiến hóaparabolic tổng quát và đưa ra hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết trên các khônggian nội suy đảm bảo tính ổn định cấp đa thức, sau đó sử dụng các đánh giá
Lp− Lq, các bất đẳng thức đối ngẫu và định lý nội suy tổng quát để chứng minh
sự tồn tại, duy nhất của nghiệm hầu tuần hoàn và áp dụng các kết quả này chocác luồng thủy khí Tiếp theo, tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ nhỏ cholớp phương trình tiến hóa parabolic này được chỉ ra trong [30] Bên cạnh đó,Farwig & Tanuichi đã chứng minh được tính duy nhất toàn cục của nghiệm hầutuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trong [29]
Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn có trọng được giới thiệu đầu tiên bởi Zhang[31] vào năm 1994 Sau đó, Diagana [32] đã đưa ra khái niệm hàm tựa hầu tuầnhoàn có trọng vào năm 2008 Trong những năm gần đây, loại hàm này nhận được
4
Trang 11nhiều sự quan tâm của các nhà toán học Điều này được thể hiện rõ thông quarất nhiều công trình nghiên cứu chuyên sâu về nghiệm hầu tuần hoàn có trọngcho các phương trình vi phân và phương trình sai phân (xem [33, 34,35,36, 37]).Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình lần đầu được giới thiệu bởi Bochner nhưmột sự tổng quát hóa của hàm hầu tuần hoàn trong các công trình nghiên cứuhình học vi phân có liên quan tới các nhóm rời rạc (xem [38, 39]) Trong suốtnhững năm gần đây, việc nghiên cứu về khái niệm này cũng như sự mở rộng của
nó với các loại nghiệm khác nhau của phương trình vi phân và phương trình saiphân nhận được mối quan tâm lớn của các nhà toán học (xem [40, 41, 42, 43]).Sau đó, các nhóm nghiên cứu của N’Guérékata (xem [44]) và của Xiao (xem[45]) đã tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình bằng hàm hầu tự đồnghình có trọng và cũng đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất của nghiệm hầu tự đồnghình với một lớp các phương trình tiến hóa Gần đây, Blot & các cộng sự giớithiệu khái niệm hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng để khái quát hóa khái niệmhàm tựa hầu tuần hoàn có trọng Các tác giả cũng đã chứng minh một cách đầy
đủ các tính chất quan trọng của hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng (xem [46]).Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov (xem [47]) được đưa
ra bởi Casarino như là một sự khái quát hóa hàm hầu tự đồng hình theo ý tưởngcủa Stepanov Tiếp nối sự phát triển đó là sự ra đời của hàm tựa hầu tự đồnghình theo nghĩa Stepanov có trọng được giới thiệu bởi Xia & Fan (xem [48]) Sau
đó, nhiều công trình về sự tồn tại, duy nhất nghiệm hầu tự đồng hình theo nghĩaStepanov và nghiệm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng của cáclớp phương trình vi phân cụ thể được công bố (xem [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55]).Trong tất cả các công trình này, các tác giả đã giải quyết được trường hợp nửanhóm liên kết ổn định mũ Cụ thể, các tác giả đã sử dụng tính ổn định mũ củanửa nhóm để chứng minh nguyên lý dạng Massera cho việc chỉ ra sự tồn tại, duynhất nghiệm của phương trình tuyến tính và sử dụng nguyên lý điểm bất động
để chỉ ra sự tồn tại nghiệm đủ nhỏ cho trường hợp phương trình phi tuyến.Tóm lại, từ lịch sử của quá trình nghiên cứu các loại nghiệm cho phươngtrình parabolic tổng quát nói chung và phương trình các dòng thủy khí nóiriêng, chúng tôi nhận thấy có một số phương pháp chủ đạo như sau:
• Đối với một số lớp phương trình tiến hóa cụ thể có thể sử dụng nguyên
lý điểm bất động của Tikhonov hay hàm Lyapunov để chỉ ra sự tồn tạinghiệm tuần hoàn
5
Trang 12• Đối với phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn có thể sử dụngphương pháp Serrin, nghĩa là dùng tính ổn định để chỉ ra sự tồn tại nghiệmtuần hoàn hoặc phương pháp sử dụng tính bị chặn của nghiệm và tínhcompact của ánh xạ Poincaré.
• Đối với nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và một số lớp nghiệm khác củaphương trình tiến hóa parabolic có thể sử dụng phương pháp chứng minhnguyên lý dạng Massera để chỉ ra sự tồn tại các lớp nghiệm này cho phươngtrình tuyến tính tương ứng, sau đó dùng nguyên lý điểm bất động để chỉ
ra sự tồn tại nghiệm đủ nhỏ của phương trình phi tuyến Trong miền bịchặn, nửa nhóm ổn định mũ có thể chỉ ra tính bị chặn của các nghiệmtrong không gian Lp thông thường Trong miền không bị chặn, nửa nhóm
ổn định cấp đa thức cần sử dụng các đánh giá Lp− Lq và các định lý nộisuy để chỉ ra tính bị chặn của nghiệm trong các không gian nội suy phùhợp
Từ bối cảnh lịch sử và tầm quan trọng trong việc nghiên cứu về các lớpnghiệm đủ tốt đối với phương trình tiến hóa dạng parabolic trong miền không
bị chặn trên các không gian nội suy, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phươngpháp sử dụng lý thuyết nội suy, không gian nội suy, nguyên lý dạng Massera đểnghiên cứu các bài toán về sự tồn tại, duy nhất của một số lớp nghiệm đủ tốtđịnh nghĩa trên toàn trục thời gian và tính ổn định của chúng cho các phươngtrình tiến hóa và hệ phương trình có liên quan Trong luận án này, chúng tôi sẽnghiên cứu 3 dạng phương trình sau:
• Dạng 1 Xét phương trình tiến hóa tổng quát dạng:
u0(t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (1)trong đó −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 và B là “toán tửliên kết” giữa các không gian phát sinh trong phương trình Sau đó, chúngtôi áp dụng (1) vào phương trình các dòng thủy khí với B = Pdiv Tuynhiên, trong một số ứng dụng khác của (1) cho các phương trình truyềnnhiệt với hệ số thô hoặc phương trình Ornstein-Uhlenbeck thì B = I làtoán tử đồng nhất
6
Trang 13• Dạng 2 Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian Rn
+,lim
|x|→∞u(t, x) = 0 với t ∈ R
(2)
Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu được
u0(t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R (3)
• Dạng 3 Xét hệ phương trình Boussinesq trong các miền Ω sau: Khônggian Rn, nửa không gian Rn
+, miền bị chặn trong Rn (n ≥ 3) hoặc là mộtmiền ngoại vi Ω trong Rn (n ≥ 4) với biên ∂Ω thuộc lớp C2+µ(µ > 0)
7
Trang 14Đối với phương trình Navier-Stokes trong nửa không gian (2), trong các côngtrình [56, 57] các tác giả đã chứng minh một số bất đẳng thức Lp − Lq trongtrường hợp 1 < p ≤ q < ∞ cho dòng chảy Stokes với các dữ kiện ban đầutrong không gian Lp có trọng Sau đó, Bae cũng thu được một số kết quả chotrường hợp p = 1, q = ∞ (xem [58]) Sử dụng các đánh giá Lp − Lq này, cáctác giả đã chỉ ra được sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt của phương trìnhNavier-Stokes trong Rn
+ Sau đó, Kobayashi & Kubo (xem [59]) đã thu được một
số đánh giá Lp − Lq khác cho không gian Lp có trọng dạng ws(x) = hxisp với
0 ≤ s < (n − 1)(1 − 1
p) Gần đây, Kobayashi & Kubo tiếp tục chỉ ra được một
số bất đẳng thức Lp− Lq cho trọng dạng hx0is 1hxnis n (xem [60]) Những kết quả
đó giúp Kobayashi & Kubo không chỉ chứng minh được sự tồn tại và duy nhấtnghiệm đủ tốt mà còn chỉ ra được dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trìnhNavier-Stokes khi t → ∞ Tuy nhiên, việc chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính
ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn và một số lớp nghiệm khác trên toàntrục thời gian cho phương trình (2) vẫn là bài toán mở
Đối với phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn và trên nửa trụcthời gian R+ với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0(x) và θ(0, x) = θ0(x), sự tồntại của nghiệm yếu và nghiệm đủ tốt của hệ (4) đã được nghiên cứu trong một
số công trình gần đây bởi Fife [61], Cannon [62], Hishida [63], Ferreira [64, 65],dáng điệu tiệm cận nghiệm được nghiên cứu bởi Ferreira [66] Sự tồn tại củanghiệm tuần hoàn được nghiên cứu trong Roa [67] và Nakao [68] Tuy nhiên,việc nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm hầu tuần hoàn,hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng khác của phương trình (4) trêntoàn trục thời gian đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần nghiên cứu
Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việclựa chọn đề tài:
Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một sốluồng thủy khí trên toàn trục thời gian
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính
ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồnghình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng
8
Trang 15hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng củacác phương trình và hệ phương trình tiến hóa (1), (2) và (4) trong cáckhông gian nội suy.
• Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm của các phươngtrình tiến hóa tổng quát (1), phương trình Navier-Stokes trên nửa khônggian (2) và hệ phương trình Boussinesq (4) trong miền không bị chặn vàtrên toàn trục thời gian R trong các không gian nội suy như không gianLorentz, không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt, không gian Besov vàkhông gian tích Đề-Các của các không gian Lorentz
• Phạm vi nghiên cứu của luận án: Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu
sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn,hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuầnhoàn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hìnhtheo nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình:
- Phương trình tiến hóa parabolic tổng quát có dạng (1) với điều kiệnnửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức trong các không gian nội suytổng quát Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủykhí dạng Navier-Stokes trong miền không bị chặn
- Phương trình Navier-Stokes (2) trên nửa không gian và trong cáckhông gian Lorentz có trọng Muckenhoupt
- Phương trình Boussinesq (4) trên miền không bị chặn trong khônggian tích Đề-Các của các không gian Lorentz
3 Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phép chiếu Helmholtz và dạng ma trận của hệ phương trình đểchuyển các phương trình và hệ phương trình cụ thể về dạng tổng quátphục vụ nghiên cứu
• Sử dụng lý thuyết về hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, các loại hàm
có trọng, lý thuyết nửa nhóm giải tích, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp− Lq,đánh giá Lp− Lq có trọng, bất đẳng thức đối ngẫu và định lý nội suy tổng
9
Trang 36Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRÊN
KHÔNG GIAN NỘI SUY
Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổngquát dạng
u0(t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (2.1)trong đó −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 và B là “toán tử liênkết” giữa các không gian phát sinh trong phương trình
Phương trình tuyến tính tương ứng của (2.1) có dạng:
u0(t) + Au(t) = Bf (t), t ∈ R (2.2)Các phương trình (2.1) và (2.2) đã được nghiên cứu trong một số bài báogần đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự (xem [7, 27, 76]) Trong các côngtrình này, các tác giả đã đưa ra hệ tiên đề tổng quát mà trong chương này chúngtôi sẽ tiếp tục sử dụng (Giả thiết 2.1.1) Sau đó, các tác giả đã xây dựng cácđiều kiện ban đầu để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của một số lớp nghiệm như:Nghiệm tuần hoàn (xem [7]), nghiệm hầu tuần hoàn (xem [27]) Trong côngtrình [76], các tác giả cũng chỉ ra được tính ổn định của nghiệm đủ nhỏ trênnửa trục thời gian R+
Chúng tôi kế thừa kết quả trong các công trình này vào việc nghiên cứuphương trình (2.1) và (2.2) trong bài toán sau:
BÀI TOÁN 1
i) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồnghình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và một số lớp nghiệm có trọngcho các phương trình (2.1) và (2.2)
ii) Thiết lập tính ổn định cấp đa thức của các nghiệm này
30
Trang 37iii) Áp dụng các kết quả của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng tổngquát vào một số luồng thủy khí.
Chúng tôi đã gặp phải một số khó khăn khi nghiên cứu phương trình tổngquát Một là, nửa nhóm (e−tA)t≥0 không ổn định mũ mà chỉ ổn định cấp đathức Hai là, để chỉ ra sự tồn tại nghiệm có tính chất hầu tuần hoàn, hầu tựđồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và các tính chất của hàm cótrọng, chúng tôi cần chứng minh toán tử nghiệm của phương trình tuyến tínhbảo toàn các tính chất này cũng như bảo toán tính chất tiệm cận của các trọng.Chúng tôi giải quyết những khó khăn này bằng cách nghiên cứu các phươngtrình (2.1) và (2.2) trên không gian nội suy thông qua việc kế thừa và phát triểncác kỹ thuật trong một số công trình nghiên cứu gần đây của Nguyễn ThiệuHuy & các cộng sự [7, 27, 28, 30] Cụ thể, do tính trơn của nửa nhóm (e−tA)t≥0(xem Giả thiết2.1.1) nên chúng tôi có thể xây dựng các không gian nội suy phùhợp và sau đó áp dụng các định lý nội suy để chỉ ra tính bị chặn của nghiệm đủtốt thỏa mãn tính chất hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theonghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng và tựa hầu tự đồng hình có trọng.Tiếp đó, chúng tôi sử dụng bất đẳng thức đối ngẫu, bất đẳng thức nội suy vànguyên lý hội tụ bị chặn để chỉ ra rằng toán tử nghiệm bảo toàn tính chất củacác hàm và tính tiệm cận của các trọng (nghĩa là chứng minh nguyên lý dạngMassera) Tiếp theo đó, chúng tôi sử dụng nguyên lý điểm bất động để mở rộngcác kết quả của phương trình tuyến tính (2.2) cho phương trình nửa tuyến tính(2.1) với giả thiết toán tử phi tuyến Nemytskii G liên tục Lipschitz địa phương.Cuối cùng, sử dụng nguyên lý điểm bất động và các đánh giá Lp− Lq chúng tôichứng minh được tính ổn định cấp đa thức của nghiệm
Kết quả chính trong chương này là các định lý: Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.8,Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.5 và toàn bộ các định lý trong phần ứng dụng chomột số luồng thủy khí
2.1 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính
2.1.1 Nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình
Cho các không gian Banach X, Y1 và Y2 Kí hiệu Y := (Y1, Y2)θ,∞ là khônggian nội suy thực của Y1 và Y2 với 0 < θ < 1
31
Trang 38Xét phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất dạng
u0(t) + Au(t) = Bf (t), t ∈ R, (2.3)trong đó −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 trên Y1 và Y2, f (t) ∈ Xvới mọi t ∈ R và B là toán tử tuyến tính từ X đến Y sao cho e−tAB ∈ L(X, Yi)với i = 1, 2 và t ≥ 0 Hơn nữa, chúng thỏa mãn thêm các đánh giá trong giảthiết sau đây:
Giả thiết 2.1.1 Giả sử Yi có tiền đối ngẫu Banach Zi (hay Yi = Zi0) sao cho
Z1∩ Z2 trù mật trong Zi với i = 1, 2 Cho −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm
bị chặn (e−tA)t≥0 trên Y1 và Y2 Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số α1, α2 ∈ Rvới 0 < α2 < 1 < α1 và L > 0 sao cho
Bổ đề 2.1.2 Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn và cho ψ ∈ (Z1, Z2)θ,1 Khi
đó tồn tại hằng số L > 0 sao cho
Trang 39Bổ đề 2.1.4 Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn Cho θ ∈ (0, 1) sao cho
1 = (1 − θ)α1+ θα2 và hàm f ∈ L∞(R, X) Khi đó phương trình (2.3) có duynhất nghiệm đủ tốt u thỏa mãn
ku(t)kY ≤ ˜Lkf k∞,X, t ∈ R, (2.7)với hằng số ˜L ≥ 1 nào đó
Bổ đề 2.1.4 cho phép chúng ta định nghĩa toán tử nghiệm như sau:
S : BC(R, X) → BC(R, Y )
f 7→ S(f )được cho bởi
Định lí 2.1.5 Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn Khi đó các khẳng định sau
là đúng:
i) Nếu f ∈ AP (R, X) thì S(f ) ∈ AP (R, Y )
ii) Nếu f ∈ AA(R, X) thì S(f ) ∈ AA(R, Y )
iii) Nếu f ∈ SpAA(R, X) thì S(f ) ∈ SpAA(R, Y )
Điều này dẫn đến phương trình (2.3) có nghiệm đủ tốt thỏa mãn tính chất hầutuần hoàn, hầu tự đồng hình và hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov
Trang 40Thật vậy, do f là hàm hầu tuần hoàn nên với mọi ε > 0 tồn tại số thực
Lε > 0 sao cho với mỗi a ∈ R tồn tại T ∈ [a, a + Lε] thỏa mãn
ii) Với f ∈ AA(R, X), ta chỉ ra rằng S(f) ∈ AA(R, Y )
Trước tiên, do f ∈ AA(R, X) nên với mỗi dãy số thực (σ0
n), tồn tại một dãycon (σn) của (σ0n) và hàm g(t) sao cho
g(t) = lim
n→∞f (t + σn) và f (t) = lim
n→∞g(t − σn)xác định với mỗi t ∈ R
Điều này chỉ ra rằng với mỗi σ ∈ R, ta có
