PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN – LỚP 7 Năm học 2021 – 2022 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) a Tìm ba số x,y,z thỏa[.]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN – LỚP 7
Năm học: 2021 – 2022
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm):
a Tìm ba số x,y,z thỏa mãn: và 2x2 + 2y2 - 3z2 = -100
b Tính:
Câu 2 (5 điểm):
a Tính giá trị biểu thức:
C = x3 + xy3 - x3y + y3 , tại x,y thỏa mãn: (x - 1)4 + (y + 1)4 = 0
b Tìm a, biết: |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a
Câu 3 (3 điểm): Tìm x biết:
=
Câu 4 (5 điểm):
Cho tam giác ABC (AB < AC, = 60°) Hai phân giác AD và CE của ∆ABC cắt
nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AD tại
H, cắt AB ở P, cắt AC ở K
a) Tính
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm
c) Chứng minh ∆IDE cân
Câu 5 (3 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho
MA = 2cm, MB = 3cm và = 1350 Tính MC
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 7- ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG.
NĂM HỌC: 2021 - 2022
1
a)
Từ ta suy ra:
= 4
Suy ra: (Vì x, y, z cùng dấu)
KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là: (6; 8 ;10) và (-6; -8; -10)
0.75 0.5
0.25 0.25
0.25
b) = 16
0.5 1 0.5
Trang 3a) Do (x - 1)4 0, (y + 1)4 0 => (x - 1)4 + (y + 1)4 0 với mọi x, y
Kết hợp (x - 1)4 + (y + 1)4 = 0
Suy ra (x - 1)4 = 0 và (y + 1)4 = 0
=> x = 1; y = -1
Thay vào ta tính được giá trị của C = 0
b) |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a (1)
Vì VT 0 => 4a 0 hay a 0, do đó:
|a + 1| = a + 1; |a + 2| = a + 2; |a + 3| = a + 3
(1) => a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a => a = 6
Vậy a = 6
1.0
0.5
0.5 0.5 1.0 1.0
0.25 0.25
3
= =
=
TH1: = x =
TH2: = x =
Vậy x = ; x =
0.5 0.5
0.7 5
Trang 45 0.5 4
a/ Ta có = 600 suy ra + = 1200
AD là phân giác của suy ra =
CE là phân giác của suy ra =
Suy ra + = 1200 = 600
Vậy = 1200
b) Xét ∆AHP và ∆AHK có
(AH là tia phân giác của )
AH chung
= 900
Suy ra ∆AHP = ∆AHK (g.c.g)
0.5
0.2 5
0.5
0.5 0.2 5
Trang 5Vì ∆AHK vuông tại H theo định lý Pitago ta có:
AK2 = AH2 + HK2 = 42 + 32 = 25
Suy ra AK = 5 cm
c)
Vì = 1200
Do đó = 600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE
Xét ∆EAI và ∆FAI có
AE = AF
(AD là phân giác)
AI chung
Vậy ∆EAI = ∆FAI (c.g.c)
Suy ra IE = IF (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆DIC và ∆FIC có
(giả thuyết); Cạnh IC chung; = 600
Suy ra ∆DIC = ∆FIC (g.c.g)
Suy ra ID = IF (Hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra IE = ID Do đó ∆IDE cân tại I
0.5
0.5
0.2 5
0.5
0.5 0.2 5
Trang 6- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A (D, B khác phía đối với AM)
- Chứng minh ∆ABM = ∆ACD (c.g.c) vì:
AD=AM ( ∆AMD vuông cân tại A)
BÂM = CÂD (cùng phụ với CÂM)
AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
- Tính được MD 2 =AD 2 +AM 2 = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M (góc AMC – góc AMD = 90 0 )
- Suy ra: MC 2 = CD 2 -MD 2 =9-8=1
=>MC = 1cm
0.5
1.0
0.5
0.5 0.5