Baigiangtoancaocap3_sv_c2

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI NỘI DUNG CHÍNH 2 1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 2 2 TÍCH PHÂN BỘI BA 2 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI GV THS HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 2[.]

Trang 1

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI

NỘI DUNG CHÍNH

2.1 TÍCH PHÂN BỘI HAI

2.2 TÍCH PHÂN BỘI BA

2.3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 1 / 1

TỔNG QUÁT VỀ TÍCH PHÂN BỘI

HAI

NỘI DUNG CHÍNH

1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI HAI

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP

3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

4 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CỰC

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Trang 2

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI HAI

Định nghĩa 2.1

Cho hàm hai biến f (x, y) xác định trên miền D đóng và bị chặn R2 Chia

miền D thành n phần ∆Si, (i = 1, 2, , n) như bài toán mở đầu và lấy n

điểm tùy ý Mi(xi, yi) ∈ ∆Si Khi đó

In=

n

X

i=1

f (Mi)∆Si

được gọi là tổng tích phân của hàm f (x, y) trên miền D.nếu lim

n→+∞Inhội

tụ về một giá trị hữu hạn I thì I được gọi là tích phân bội hai của hàm

f (x, y) trên miền D Ký hiệu là

I =

D

f (x, y)dxdy

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI HAI

Nếu tồn tại tích phân I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy , ta nói

1 Hàm f (x, y) khả tích trên miền D

2 f (x, y) là hàm dưới dấu tích phân

3 dx, dy là các vi phân theo biến x, y

Định lý 2.1

Nếu hàm f (x, y) liên tục trên miền D đóng và bị chặn của R2 thì hàm

f (x, y) khả tích trên miền D

TÍNH CHẤT

1

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

D

f (u, v)dudv

2

Z Z

D

(f + g)dxdy =

Z Z

D

f dxdy +

Z Z

D

gdxdy

3

Z Z

D

k.f (x, y)dxdy =k

Z Z

D

f (x, y)dxdy

4 Nếu miền D được chia thành hai miền D1 và D2 sao cho D1 và D2

không dẫm lên nhau Thì khi đó ta có

D

f (x, y)dxdy =

D 1

f (x, y)dxdy +

D 2

f (x, y)dxdy

PHƯƠNG PHÁP TÍNH Trong phần này ta quan tâm làm sao tính được giá trị

I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy

1 ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP

• Nếu miền D có dạng: D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b; y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} thì

I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z b a

Z y 2 (x)

y 1 (x)

f (x, y)dy

! dx

=

a

dx

Z y 2 (x)

y 1 (x)

f (x, y)dy

Trang 3

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

• Nếu miền D có dạng: D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d; x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}

thì

I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z d c

Z x 2 (y)

x 1 (y)

f (x, y)dx

! dy

=

c

dy

Z x 2 (y)

x 1 (y)

f (x, y)dx

Ví dụ 2.1

Tính I =

Z Z

D

x2+ y2 dxdy , với

D = {(x, y) ∈ R2/ − 3 ≤ x ≤ 3; −2 ≤ y ≤ 2}

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 10 / 1 TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.2 Tính I = Z Z D (2xcosy) dxdy , với D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 2;π 4 ≤ y ≤ π 2}

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.3 Tính I = Z Z D (2x + 3y) dxdy , với D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ x}

Trang 4

Ví dụ 2.4

Tính I =

Z Z

D

(x − y) dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường

y = x; y = 2 − x2

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 13 / 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH Ví dụ 2.5 Tính I = Z Z D xydxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 4; y2 = 2x

2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN

Giả sử ta cần tínhI =

Z Z

D

f (x, y)dxdy

Định lý 2.2

Giả sử rằng

1 x = x(u, v); y = y(u, v) là hai hàm có các đạo hàm riêng liên tục trên

một miền đóng và bị chặn D0 của mặt phẳng OU V

2 x = x(u, v); y = y(u, v) xác định một song ánh giữa D0 và D

3 J = D(x; y)

D(u; v) =

x0u x0v

y0u y0v

6= 0 trong miền D0

khi đó ta có

D

f (x, y)dxdy =

D0

f [x(u, v), y(u, v)]|J |dudv

Chú ý 2.1

trong trường hợp mà J khó tính thì ta sẽ tính J−1 như sau

J−1= D(u; v)

D(x; y) =

u0x u0y

vx0 vy0

và J = 1

J−1

Trang 5

Ví dụ 2.6

Tính tích phân I =

Z Z

D

(x + y) dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = −x; y = −x + 3; y = 2x − 1; y = 2x + 1

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 17 / 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN Ví dụ 2.7 Tính tích phân I = Z Z D dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2; y = 2x2; x = y2; x = 3y2

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 18 / 1 TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN Ví dụ 2.8 Tính Z Z D (x2− y2)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x + y = 1; x + y = 3; x − y = 2; x − y = 5

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.9 Tính Z Z D xydxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2; 2y = x2; x = y2; 3x = y2

Trang 6

3.ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CỰC

Ta cần tính I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy, trong đó miền D nếu sử dụng 2 phương pháp trước thì sẽ rất khó khăn Ví dụ như miền D có dạng

Đặt x = rcosϕ; y = rsinϕ Khi ấy miền D trong mp OXY trở thành miền

Ω = Drϕ = {(r, ϕ)/α ≤ ϕ ≤ β; r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ)}

Khi đó ta có J = r và

I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

Ω

f (rcosϕ, rsinϕ)rdrdϕ

Chú ý 2.2

Nếu miền D chứa gốc tọa độ thì miền

Ω = {(r, ϕ)/0 ≤ ϕ ≤ 2π; 0 ≤ r ≤ r(ϕ)}

Chú ý 2.3

Nếu miền D đi qua gốc tọa độ thì miền

Ω = {(r, ϕ)/α ≤ ϕ ≤ β; 0 ≤ r ≤ r(ϕ)}

Ví dụ 2.10

Z Z

D

ex2+y2dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi

x2+ y2≤ 1 và y ≥ 0

Trang 7

Ví dụ 2.11

Z Z

D

ex2+y2dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi

x2+ y2 ≤ 1 và y ≥ 0

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 25 / 1 Ví dụ 2.12 Tính I = Z Z D e−(x2+y2)dxdy , trong đó D là hình tròn: x2+ y2≤ a2, (a > 0)

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 26 / 1 TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.13 Tính I = Z Z D (x2+ y2)dxdy , trong đó D là nữa hình tròn: x2+ y2 ≤ 4, y ≥ 0

Trang 8

Ví dụ 2.14

Tính I =

Z Z

D

p

x2+ y2dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi :

x2+ y2 = a2 và x2+ y2 = 4a2(a > 0)

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 30 / 1 TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI HAI Ví dụ 2.15 Tính I = Z Z D (x2+ y2+ 2x)dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi x2+ y2+ 2x − 2y + 1 ≤ 0

Trang 9

Ví dụ 2.16

Tính I =

Z Z

D

(x2+ y2)dxdy , trong đó D là miền:

D = {(x, y) ∈ R2/x2+ y2− 4x − 2y + 4 ≤ 0; x − y ≤ 1}

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 33 / 1 Ví dụ 2.17 Tính tích phân I = Z Z D xyp4 − x2− y2, trong đó D =(x, y) ∈ R2/x2+ y2 ≤ 4; y ≥ 0; x ≥ 0

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA

TỔNG QUÁT VỀ TÍCH PHÂN BỘI

BA

NỘI DUNG CHÍNH

1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA

2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRỤ

4 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ CẦU

5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

ĐẶT VẤN ĐỀ 2.1

Giả sử ta có vật thể V không đồng chất có mật độ khối lượng tại điểm

M (x, y, z) ∈ V là hàm f (M ) hay (f (x, y, z)) Hãy tính khối lượng m của vật thể V ?

Ý TƯỞNG

Ta chia vật thể V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể tích của mỗi phần là ∆Vi(i = 1, 2, , n) Trong mỗi ∆Vi ta lấy ngẫu nhiên một điểm

Mi(xi, yi, zi), ký hiệu đường kính của ∆Vi là di Khi ấy, khối lượng m của vật thể V được xác định

maxd i →0

n

X

i=1

f (Mi)∆Vi

!

Trang 10

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA

Định nghĩa 2.2

Cho hàm f (x, y, z) xác định trên miền V đóng và bị chặn trong không gian

Oxyz Ta chia miền V như bài toán mở đầu và lập tổng

In=

n

X

i=1

f (xi, yi, zi)∆Vi

Nếu khimaxdi → 0, (1 ≤ i ≤ n)thì In→ I hữu hạn, mà không phụ thuộc

vào cách chia vật thể V và cách chọn điểm Mi(xi, yi, zi) ∈ ∆Vi thì lúc đó

ta nói hàm f (x, y, z) khả tích trên miền V và I được gọi là tích phân bội ba

của hàm f (x, y, z) trên miền V Ký hiệu

I =

V

f (x, y, z)dxdydz

ĐỊỀU KIỆN KHẢ TÍCH

Định lý 2.3

Nếu hàm f (x, y, z) liên tục trên miền V đóng và bị chặn thì nó khả tích trên đó

Tính chất 2.1

Có các tính chất tương tự như các tính chất của tích phân bội hai

Trong phần này ta quan tâm làm sao tính được giá trị

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz

Cơ sở của phương pháp là ta chọn một mặt phẳng rồi chiếu miền V lên mặt

phẳng đó Gọi Dxy; Dyz; Dxzlần lượt là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng

Oxy; Oyz; Oxz

• Nếu chiếu V xuống mặt phẳng Oxy ta được

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z

D xy

dxdy

Z z 2 (x,y)

z 1 (x,y)

f (x, y, z)dz

• Nếu chiếu V xuống mặt phẳng Oyz ta được

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z

D yz

dydz

Z x 2 (y,z)

x 1 (y,z)

f (x, y, z)dx

• Nếu chiếu V xuống mặt phẳng Oxz ta được

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z

D xz

dxdz

Z y 2 (x,z)

y 1 (x,z)

f (x, y, z)dy

Trang 11

• Đặc biệt nếu miền V là hình hộp chữ nhật V = [a, b] × [c, d] × [e, f ]

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz =

Z b a

dx

Z d c

dy

Z f e

f (x, y, z)dz

• Nếu hình chiếu Dxy của miền V xuống mặt phẳng Oxy có dạng

Dxy = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b; y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}

thì khi đó ta có

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz =

Z b a

dx

Z y 2 (x)

y 1 (x)

dy

Z z 2 (x,y)

z 1 (x,y)

f (x, y, z)dz

Ví dụ 2.18

Tính I =

Z Z Z

V

8xyzdxdydz, trong đó V = [1; 2] × [−1; 3] × [0; 2]

GV:THS.HUỲNH ĐĂNG NGUYÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 3 Ngày 25 tháng 4 năm 2022 42 / 1 TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ 2.19 Tính I = Z Z Z Ω xdxdydz, trong đó Ω = {(x, y, z) ∈ R3/x + 2y + 3z ≤ 6; x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0}

TÍCH PHÂN BỘI TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1 ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP Ví dụ 2.20 Tính I = Z Z Z Ω x2ydxdydz, trong đó Ω = {(x, y, z) ∈ R3/0 ≤ z ≤ x2+ y2; x − y ≤ 0; y ≤ 1; x ≥ 0}

Trang 12

Ví dụ 2.21

Tính I =

Z Z Z

Ω

zdxdydz, trong đó Ω là miền được giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng z = 0 và mặt z =pa2− x2− y2, a > 0

HƯỚNG DẪN

Chiếu Ω xuống mp Oxy ta được

Dxy = {(x, y) ∈ R2/x2+ y2 ≤ a2} và 0 ≤ z ≤pa2− x2− y2

4

Giả sử ta cần tính I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz

Định lý 2.4

Giả sử rằng

1 x = x(u, v, w); y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) là hai hàm có các đạo hàm riêng liên tục trên một miền đóng và bị chặn Ω của mặt phẳng Ouvw

2 x = x(u, v, w); y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) xác định một song ánh giữa Ω và V

3 J = D(x; y; z)

D(u; v; w) =

x0u x0v x0w

yu0 yv0 y0w

z0u zv0 zw0

6= 0 trong miền Ω

khi đó ta có

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz

=

Ω

f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J |dudvdw

Chú ý 2.4

trong trường hợp mà J khó tính thì ta sẽ tính J−1 như sau

J−1= D(u; v; w)

D(x; y; z) =

u0x u0y u0z

vx0 v0y vz0

w0x wy0 wz0

vàJ = 1

J−1

Ví dụ 2.22

Tính I =

Z Z Z

V

dxdydz, với V là miền được giới hạn bởi các mặt

x + y + z = 3; x + y + z = −3; x + 2y − z = 1; x + 2y − z =

−1; x + 4y + z = 2; z + 4y + z = −2

Trang 13

và J−1= D(u; v; w)

D(x; y; z) =

u0x u0y u0z

v0x vy0 v0z

wx0 w0y w0z

=

1 2 − 1

=6

I =

Z Z Z

V

dxdydz = 1

6

Z Z Z

Ω

dudvdw =8

Chú ý 2.5

Giá trị của tích phân I chính là thể tích của vật thể V

Ví dụ 2.23

Tính I =

Z Z Z

V

zdxdydz, với V là miền được giới hạn bởi các mặt

x + 2z = 1; x + 2z = −1; x + 2y + z = 3; x + 2y + z = −3; x + 2y + 2z = 4; z + 2y + 2z = −4

và J−1= D(u; v; w)

D(x; y; z) =

u0x u0y u0z

v0x vy0 v0z

wx0 w0y w0z

=

=2

I =

Z Z Z

V

zdxdydz = 1

2

Z Z Z

Ω

(w − v)dudvdw = 0

2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ

Giả sử tích phân I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz tồn tại và vấn đề quan tâm

là tính giá trị của nó Nếu hình chiếu của miền V lên một mp nào đó ( Oxy; Oyz; Oxz ) mà để biểu diễn miền hình chiếu đó ta có thể dùng phương pháp tọa độ cực Khi ấy để tính giá trị của I thì ta sẽ dùng Tọa Đô Trụ

Đặt





x = rcosϕ

y = rsinϕ

z = z

với ϕ1≤ ϕ ≤ ϕ2 và r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ)

và

J = D(x; y; z) D(r; ϕ; z) =

cosϕ − rsinϕ 0 sinϕ rcosϕ 0

= r

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	485,82 KB