CĐ DUONG TRUYEN AS TRONG MT CS THAY DOI

TH2: Chiết suất giảm dần theo thứ tự n0> n1> n2> n3…, khi đó góc tới ở các bản mặt song song kế tiếp sẽ tăng dần, do đó khi tia sáng truyền đến mặt phân cách giữa hai bản mặt song song n

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRUYỀN CỦA ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG CÓ CHIẾT SUẤT THAY ĐỔI

1 CÁC KIẾN THỨC LÍ THUYẾT VỀ KHÚC XẠ ÁNH SÁNG

1.1 Ánh sáng khúc xạ liên tiếp qua các bản mặt song song ghép sát nhau

0

i

1

i

2

i

0 1

0

n

1

n

2

n

0

i

0

n

1

i

2

i

3

i

1

n

2

n

3

n

4

n

Các bản mặt song song ghép sát nhau, chiết suất của các bản tương ứng là n n n0; ; ; 1 2 như hình

vẽ 1 Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng ta được:

n i  n i   n i

Có hai trường hợp xảy ra:

TH1: Chiết suất tăng dần theo thứ tự n0< n1< n2< n3…, khi đó góc tới ở các bản mặt song song

kế tiếp sẽ giảm dần Trường hợp này không thể có phản xạ toàn phần ở bất cứ bản mặt song song nào

TH2: Chiết suất giảm dần theo thứ tự n0> n1> n2> n3…, khi đó góc tới ở các bản mặt song song

kế tiếp sẽ tăng dần, do đó khi tia sáng truyền đến mặt phân cách giữa hai bản mặt song song nào đó thỏa mãn điều kiện phản xạ toàn phần (trong hình vẽ giả sử là tia sáng hướng tới mặt phân cách từ lớp thứ 3 sang lớp thứ 4) thì tia sáng sẽ bị phản xạ toàn phần Ta dễ chứng minh được đường đi của tia sáng đối xứng qua pháp tuyến tại điểm xảy ra phản xạ toàn phần

1.2 Bài toán 1: Biết phương trình đường đi của tia sáng, tìm hàm chiết suất phụ thuộc vào tọa độ

Bài toán tổng quát

Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiết suất n biến thiên theo

Hình vẽ 1

Phương pháp giải chung

y

x O

 

y  f x n

i dx dy

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x Như vậy ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy, mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giá trị không đổi và bằng n Các lớp mỏng xếp liên tục, liên tiếp nhau tạo thành hệ thống nhiều bản mặt song song liên tiếp

Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp như sau:

n i  n i   n i

Xét tại lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới của tia sáng tại lớp này là i:

Trong đó n i0 0; là các giá trị chiết suất và góc tới tại lớp biên

Tiếp đó ta lập mối quan hệ giữa dy, dx và giá trị lượng giác của góc i Ví dụ trên hình 2 ta thấy:

  tan i dy f x '

dx

Giải hệ (1) và (2) ta sẽ được hàm chiết suất phụ thuộc tọa độ

1.3 Bài toán 2: Biết hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc tọa độ, tìm phương trình quỹ đạo của tia sáng

Bài toán tổng quát

Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiết suất n biến thiên theo tọa độ Biết rõ sự phụ thuộc của chiết suất của môi trường vào tọa độ, chẳng hạn n  f x   Yêu cầu lập phương trình đường đi của tia sáng trong môi trường

Hình vẽ 2

Phương pháp giải chung

y

x O

 

y  f x n i dx dy

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x Như vậy ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy, mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giá trị không đổi và bằng n Các lớp mỏng xếp liên tục, liên tiếp nhau tạo thành hệ thống nhiều bản mặt song song liên tiếp

Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp:

n i  n i   n i

Xét tại lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới của tia sáng tại lớp này là i:

Trong đó n i0 0; là các giá trị chiết suất và góc tới tại lớp biên

Tiếp đó ta lập mối quan hệ giữa dy, dx và giá trị lượng giác của góc i Ví dụ trên hình 3 ta thấy :

  tan i dy f x '

dx

Ở đây vì đã biết rõ hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc vào tọa độ x nên ta thay hàm chiết

suất vào (1), từ đó rút ra sini tiếp tục là tani rồi sau đó thế vào (2)

Đến đây việc tìm phương trình quỹ đạo dẫn đến việc giải phương trình vi phân, phương pháp

chung là giải phương trình vi phân bằng phép phân li biến số.

2 BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Một tia sáng tới một môi trường có chiết suất n phụ thuộc vào biến số y dưới một góc vuông tại

điểm y = 0 Giá trị của n(y=0)= n0

1 Xác định hàm n(y)để trong môi trường này tia sáng truyền theo đường parabol yax2

2 Biết tại y = d thì n(y = d)= n1 Lập phương trình đường parabol và hàm chiết suất n(y)

Hình vẽ 3

x O

n1

n1

truyền theo đường hình sin, với phương trình quỹ đạo là y a  cos  x Biết rằng chiết suất của môi trường tại điểm mà tia sáng bắt đầu đi vào là n0

BÀI 3: Một chùm sáng hẹp được chiếu gần như vuông góc tới mặt

của một bản hai mặt song song đặt trong không khí tại A (x = 0),A chiết

x

Rn

n =

R x trong đó n , R là hằng số Chùm sáng rời khỏi bản mặt A

tại B và tạo với bản mặt một góc  Hãy tính:

1 Chiết suất nBtại B và tọa độ xBcủa điểm B

2 Lập phương trình đường truyền tia sáng trong bản mặt song song

Tính bề dày d của bản Biết nA= 1,4; R = 10 cm;  600

BÀI 4: Giữa 2 môi trương trong suốt chiết suất no và n1

(no> n1 > 1) có 1 bản mặt song song dày e Chiết suất bản thay

đổi theo phương y quy luật n =n0 1ky;

2

2 1 2 o

o

n e

n n

 Trong môi trường nocó 1 tia sáng đơn sắc, chiếu tới điểm O trên bản

mặt theo phương hợp với Oy góc α

1 Lập phương trình đường đi tia sáng.

2 Xác định vị trí tia sáng ló ra khỏi bản mặt.

Bài 5: Sợi quang có chiết suất thay đổi, phần lõi có chiết suất biến đổi

theo quy luật

2

2 2

01 2   

     

 

y

a , trong đó

2 2

0 1 2 0 2



 n n

B

n , a là bán kính

phần lõi Phần vỏ có chiết suất n1 Xét một tia sáng truyền tới tâm sợi tại

O trong mặt phẳng trục và ở trong lõi dưới góc tới i0.Tìm quỹ đạo của tia

sáng và chứng tỏ tia sáng cắt trục hoành tại những điểm cách đều nhau

một khoảng d Tính d

Bài 6: Một đoạn sợi quang thẳng có dạng

hình trụ bán kính R, hai đầu phẳng và vuông

góc với trục sợi quang, đặt trong không khí

sao cho trục đối xứng của nó trùng với trục

tọa độ Ox Giả thiết chiết suất của chất liệu

làm sợi quang thay đổi theo quy

1

n n 1 k r  , trong đó r là khoảng

cách từ điểm đang xét tới trục Ox, n1và k là các hằng số dương Một tia sáng chiếu tới một đầu của sợi quang tại điểm O dưới góc  như hình 1

1 Gọi  là góc tạo bởi phương truyền của tia sáng tại điểm có hoành độ x với trục Ox Chứng minh rằng ncos = C trong đó n là chiết suất tại điểm có hoành độ x trên đường truyền của tia sáng và C là



d B

y

A

e

0

y

x



1

n

0

n

n

x

y

O



Hình 1



x

0

2

y

2 Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường truyền của tia sáng trong sợi quang.

3 Tìm điều kiện để mọi tia sáng chiếu đến sợi quang tại O đều không ló ra ngoài thành sợi quang.

4 Chiều dài L của sợi quang thỏa mãn điều kiện nào để tia sáng ló ra ở đáy kia của sợi quang theo

phương song song với trục Ox?

Bài 7: Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a, làm

bằng vật liệu trong suốt có chiết suất biến thiên đều đặn từ giá trị

1

n n  trên trục đến n n  2 (với 1 n n  2 1) theo công thức

1 1

n n y   n   y , trong đó y là khoảng cách từ điểm có chiết

suất n đến trục lõi,  là hằng số dương Lõi được bao bọc bởi một

lớp vỏ làm bằng vật liệu có chiết suất n2 không đổi Bên ngoài sợi quang là không khí, chiết suất

0 1

n  Gọi Ox là trục của sợi quang học, O là tâm của một đầu sợi quang Một tia sáng đơn sắc được chiếu vào sợi quang học tại điểm O dưới góc 0 trong mặt phẳng xOy

1 Viết phương trình quỹ đạo cho đường đi của tia sáng trong sợi quang và xác định biểu thức tọa độ x

của giao điểm đường đi tia sáng với trục Ox

2 Tìm góc tới cực đại max, dưới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyền bên trong lõi của sợi quang

Bài 8: Một nguồn sáng điểm nằm trong chất lỏng và cách mặt chất lỏng một khoảng H Một người đặt

mắt trong không khí phía trên mặt chất lỏng để quan sát ảnh của nguồn sáng

1 Giả thiết chất lỏng là đồng chất và có chiết suất n = 1,5 Tính khoảng cách từ ảnh của nguồn sáng đến

mặt chất lỏng trong các trường hợp sau:

a) Mắt nhìn nguồn sáng theo phương vuông góc với mặt chất lỏng.

b) Mắt nhìn nguồn sáng theo phương hợp với mặt chất lỏng một góc  = 600

2 Giả thiết chiết suất của chất lỏng chỉ thay đổi theo phương vuông góc với mặt chất lỏng theo quy luật

2 y

n

H

  với y là khoảng cách từ điểm đang xét đến mặt chất lỏng Biết tia sáng truyền từ nguồn sáng ló ra khỏi mặt chất lỏng đi tới mắt theo phương hợp với mặt chất lỏng một góc  = 600 Hỏi tia này

ló ra ở điểm cách nguồn sáng một khoảng bao nhiêu theo phương nằm ngang?

Bài 9:

1 Một vỏ cầu có bán kính ngoài R1 và bán kính trong R2 được làm

bằng chất trong suốt có chiết suất n2 Từ môi trường ngoài có chiết

suất n1, một tia sáng được chiếu tới vỏ cầu dưới góc tới i1 Trước khi

đi vào bên trong, tia sáng chiếu đến mặt trong của vỏ cầu dưới góc tới

i2(hình vẽ) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa i1, i2với R1, R2và n1, n2

R

R2

i1 i2 n2

n1

O J I

xác định :

r R

R 2

nr



 Từ không khí, chiếu một tia sáng tới quả cầu dưới góc tới i = 30o

a. Xác định khoảng cách ngắn nhất từ tâm O tới đường đi của tia sáng

b. Xác định góc lệch giữa tia sáng tới và tia sáng ló ra ngoài quả cầu

Cho biết : dx 0,386

1 x sin 4

x sin 2

/

6

/











Bài 10: Cho một khối thủy tinh dạng hình trụ rỗng có tiết diện thẳng

như hình vẽ Các giá trị bán kính ngoài và bán kính trong của khối lần

lượt là R và R’ = R/2 Chiết suất của môi trường bên ngoài và phần

không khí nằm bên trong hốc trụ đều có giá trị bằng 1 chiết suất của

khối thủy tinh thay đổi theo khoảng cách r đến trục đối xứng theo quy

luật:











  



r

R

n r

2 4

2

Chiếu một tia sáng tới mặt ngoài của khối thủy tinh Tia sáng này nằm trong mặt phẳng vuông góc với

trục đối xứng của khối và hợp với pháp tuyến tại điểm tới một góc là i

1 Chứng minh rằng tại một vị trí nằm trên đường truyền tia sáng nằm cách trục một khoảng là r, góc

lệch của tia sáng irso với phương bán kính luôn thỏa mãn hệ thức: n r.rsini r const

2 Góc tới i phải thỏa mãn điều kiện nào để tia sáng tới được mặt trong của khối.

3 Góc tới i phải thỏa mãn điều kiện nào để tia sáng lọt được vào trong hốc trụ không khí.

4 Tính góc lệch giữa tia sáng tới và tia sáng ló ra khỏi khối trong các trường hợp góc i = 300 và

i = 600 Cho acr x

x

dx

tan 1

2 





Bài 11: Một chùm sáng đơn sắc, hẹp (coi là một tia sáng) chiếu đến một quả cầu trong suốt với góc tới i

0

(0 i 90 )  

1 Quả cầu đồng chất có chiết suất là n không đổi Tia sáng khúc xạ vào quả cầu với góc khúc xạ r Sau

k lần phản xạ trong quả cầu, tia sáng ló ra khỏi quả cầu.Tính góc lệch D của tia ló so với tia tới ban đầu

theo i, r Tìm i để D đạt cực trị, cực trị này là cực đại hay cực tiểu?

2 Coi chiết suất của quả cầu phụ thuộc vào bán kính quả cầu theo công thức

( r )

R a n

r a





 với R bán

kính quả cầu, a là hằng số, r là khoảng cách từ tâm cầu tới điểm có chiết suất n.Tia sáng bị khúc xạ

trong quả cầu Xác định khoảng cách nhỏ nhất từ tâm cầu đến tia khúc xạ.Vẽ dạng đường truyền của tia

sáng trong quả cầu

Bài 12: Vào những ngày nắng to, mặt đường nhựa hấp thụ mạnh ánh sáng mặt trời nên bị nung nóng và

làm nóng phần khí sát mặt đường Kết quả là nhiệt độ của không khí thay đổi theo độ cao Giả thiết rằng

chiết suất của không khí phụ thuộc vào nhiệt độ theo biểu thức a

n 1

T

  Người ta tìm được mối liên

hệ của T theo độ cao z tính từ mặt đường có dạng như sau:

 

2 2



Trong đó a, b và k là

các hệ số dương (b > 1)

1 Một nguồn sáng điểm nằm trên mặt đường (z = 0) phát ánh sáng theo mọi phương Mặt đường được

coi là mặt phẳng nằm ngang Xác định dạng đường truyền của một tia sáng phát ra từ nguồn theo phương ban đầu hợp với phương ngang một góc  0

2 Xác định khoảng cách xa nhất để một người còn có thể nhìn thấy nguồn sáng, biết mắt người đó ở độ

cao h so với mặt đường

Bài 13: Chiết suất của không khí ở gần bề mặt đường băng của một sân bay phụ thuộc vào độ cao y

(tính từ mặt đường băng) theo công thức n = n0 (1 + ay) trong đó n0 là chiết suất không khí tại mặt đường băng; a = 1,5.10-6m-1

a Tìm phương trình quỹ đạo của một tia sáng xuất phát từ một điểm trên đường băng, hợp với

đường băng một góc nhỏ

b Một nhân viên điều hành bay đứng trên đường băng, nhìn theo một xe hoa tiêu đang chuyển

động thẳng về phía trước Gọi d là khoảng cách từ xe đến vị trí đứng của người đó Tính giá trị cực đại của d để người đó còn có thể nhìn thấy xe trên đường băng Xem xe như một chất điểm

và mắt người đó cách mặt đường 1,7 m

Bài 14: Vào những ngày trời nắng to mặt đường nhựa hấp thụ ánh sáng mạnh nên lớp không khí càng

gần mặt đường càng nóng Giả thiết nhiệt độ không khí ở sát mặt đường là 57oC và giảm dần theo độ cao, đến độ cao lớn hơn 0,5 m thì nhiệt độ của không khí được coi là không đổi và bằng 34oC Áp suất của không khi là không đổi po= 105Pa Chiết suất của không khí phụ thuộc vào khối lượng riêng ρ của không khí theo biểu thức n 1 a   , với a là hằng số Không khí được coi là khí lí tưởng Biết chiết suất của không khí ở nhiệt độ 15oC là 1,000276; khối lượng mol của không khí là μ = 0,029 kg/mol; hằng số R = 8,31 J/mol.K

1 Thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của chiết suất không khí vào nhiệt độ tuyệt đối, tính hằng số a 2.

Một người có mắt ở độ cao 1,5 m so với mặt đường, nhìn về phía đằng xa có cảm giác như có một mặt nước Nhưng khi lại gần thì “nước” lại lùi ra xa sao cho khoảng cách từ người đó đến “nước” luôn không đổi (hiện tượng ảo ảnh) Tính khoảng cách từ người đó đến “nước” theo phương ngang

3 Giả sử ở độ cao dưới 0,5 m, nhiệt độ tuyệt đối T của không khí phụ thuộc vào độ cao y tính từ mặt đất

o o

ap T

ap

R (1 ) 1 b.y 1

RT





với b là hằng số, Tolà nhiệt độ tuyệt đối ở sát mặt đường

Lập phương trình xác định đường truyền của một tia sáng xuất phát từ mặt đường, trong lớp không khí

Bài 15:

1/ Chiết suất của không khí phụ thuộc cả vào nhiệt độ và áp suất Nhưng trong bài toán này ta sẽ coi

rằng chiết suất chỉ phụ thuộc nhiệt độ và sự phụ thuộc đó có dạng n 1 a

T

  Đối với không khí ở áp suất tiêu chuẩn thì hằng số 2

8, 6.10

a  K

Không khí bên trên mặt đường dưới tác dụng của ảnh nắng mặt trời bị nóng lên, và vì thế mặt đường khô mà nhìn như bị “ướt” Giả sử trong một lớp đủ mỏng bên trên mặt đường nhiệt độ cao hơn nhiệt độ trung bình (t170C) một lượng t Một người quan sát sẽ thấy ở cách mình một khoảng cực tiểu s một “vũng nước” trên đường

- Hãy giải thích sự xuất hiện “vũng nước”

- Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộcs s( t)

Biết rằng mắt người ở cách mặt đường một khoảng h =1,0m

Để mô hình hóa ảo ảnh này, kích thước của phòng thí nghiệm rõ ràng là không đủ, bởi vậy có thể khôn ngoan thay không khí bằng một mẩu thủy tinh hữu cơ, có chiết suất phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ Để làm nguồn sáng ta sử dụng một sợi dây mảnh phát sáng S Dưới đây hãy xem xét các tia:

a) Truyền dưới một góc ngỏ so với trục của quang hệ và các trục đó một khoảng cách nhỏ (gần đúng cận

trục)

b) Các tia ở trong mặt phẳng chứa trục của hệ và vuông góc với dây phát sáng.

2/ Tại khoảng cách a=40cm từ nguồn đặt một TKHT mỏng có tiêu cự f=20cm Hỏi phải đặt một màn

ảnh cách TK một khoảng cách b bằng bao nhiêu để thu được ảnh rõ nét của nguồn S trên màn?

S

3/ Không thay đổi vị trí của nguồn, đặt sát nguồn một khối thủy tinh hữu cơ hình hộp chữ nhật có chiều

dài l=20cm và chiết suất n0=1,5 Hỏi phải đặt một màn ảnh các Tk một khoảng b’ bằng bao nhiêu để lại thu được ảnh rõ nét của nguồn S trên màn?

S

b

l

4/ Chiếu khối chất thủy tinh hữu cơ bằng một chùm sáng song song và màn ảnh đặt tại mặt phẳng tiêu

của TK Sau đó đốt nóng khối thủy tinh Do sự đốt nóng không đều, nên chiết suất của khối bắt đầu thay đổi một cách tuyến tính từ n0=1,5 từ một phía đến n1n0n với n2, 0.10 4

ở phía bên trên Hướng biến thiên của nhiệt độ vuông góc với phương truyền sáng Hỏi bức tranh trên màn sẽ thay đổi thế nào sau khi đốt nóng khối thủy tinh? Biết độ dày của khối thủy tinh d=4,0cm