BTL giải tích 2 trường đại học bách khoa

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA 2019 – 2020  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ 1 DTO4 HỌC KÌ DT GVHD NGUYỄN NGỌC QUỲNH NHƯ 1 Lê Ngọc Ánh 1810821 2 Nguyễn Kỳ Bảo Anh 1811429 3 Đào Nhật Anh 1810800 4 Đậu Cao Khang Anh 1810007 5 Bùi Văn Hoài Bảo 1810032 6 Nguyễn Tất Gia Bảo 1811528 7 Trần Chí Bảo 1811544 8 Nguyễn Hải Bình 1811571 9 Nguyễn Phạm Thành Chung 1811623 10 Nguyễn Quốc Cường 1510372 11 Võ Lâm Huy Cường 1811657 1 Lời mở đầu Trong thời đại mà sự phát.

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2019 – 2020

- - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2-ĐỀ 1-DTO4-HỌC KÌ DT GVHD:NGUYỄN NGỌC QUỲNH NHƯ

1 Lê Ngọc Ánh -1810821

2 Nguyễn Kỳ Bảo Anh -1811429

4 Đậu Cao Khang Anh -1810007

5 Bùi Văn Hoài Bảo -1810032

6 Nguyễn Tất Gia Bảo -1811528

8 Nguyễn Hải Bình -1811571

9 Nguyễn Phạm Thành Chung -1811623

10 Nguyễn Quốc Cường -1510372

11 Võ Lâm Huy Cường -1811657

Lời mở đầu

Trong thời đại mà sự phát triển của khoa học và công nghệ có những bước tiến

rõ rệt, đến gần hơn với nhân loại, các bài toán kĩ thuật trở nên phức tạp và cần nhiều thời gian để nghiên cứu làm rõ hơn Từ đó, các ứng dụng tính toán thông minh ngày càng được sử dụng rộng rãi để giải quyết các bài toán này

Matlab là một môi trường tính toán số và lập trình cho phép tính toán số với

ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác Với thư viện Toolbox, Matlab cho phép mô phỏng tính toán thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật

Vì vậy đối với những đề tài trong môn GIẢI TÍCH, đặc biệt là tính tích phân , đạo hàm…Việc giải một bài toán ma trận thường rườm rà, rắc rối và tốn rất nhiều thời gian Với phần mềm Matlab, chúng ta sẽ giải quyết các vấn đề liên quan đến

ma trận một cách nhanh chóng mà không phải thông qua các phép biến đổi hoặc tính toán phổ thông phức tạp Khi sử dụng phần mềm, ta có thể sử dụng các ứng dụng lệnh tính toán của để giải quyết theo cách đơn giản và dễ hiểu đối với bài toán đặt ra Bên cạnh đó, giúp ta làm quen và bổ sung thêm kỹ năng sử sụng các chương tình, ứng dụng dành cho sinh viên trong các trường kỹ thuật

Bài báo cáo sau đây, nhóm hy vọng có thể đưa ra một chương trình có sẵn, giải quyết nhanh chóng các bài toán trong đề tài được giao

MỤC LỤC Bài 1 3

 Cơ sở lí thuyết _ 3

 Bài ví dụ 4

 Đoạn code _ 5

 Chạy thử và kết quả 7

Bài 2 _ 9

 Cơ sở lí thuyết _ 10

 Bài ví dụ 10

 Đoạn code _ 11

 Chạy thử và kết quả 12

Bài 3 _ 14

 Cơ sở lí thuyết _ 14

 Bài ví dụ 14

 Đoạn code _ 14

 Chạy thử và kết quả 15

BÀI 1:

 Đề bài: Tìm cực trị tự do của hàm f(x,y) cho ở dạng đa thức Không cần

xử lý trường hợp Δ= 0 Vẽ đồ thị của f, trên đó chỉ ra điểm cực trị

 Cơ sở lý thuyết:

Bước 1: Tìm điểm dừng P(x, y)

{f

′x = 0

f′y = 0

=> Pi(xi,yi), i= 1, 2, 3,

Bước 2: Tại điểm dừng Pi(xi,yi), tính các đạo hàm cấp 2 và Δ:

A= f "xx (xi,yi) B= f "xy( xi,yi) C= f "yy( xi,yi) Δ= A.C - B2

Bước 3: Khảo sát và kết luận

Nếu Δ>0, A>0

=> Hàm đạt cực tiểu tại (xi,yi) Nếu Δ>0, A<0

=> Hàm đạt cực đại tại (xi,yi) Nếu Δ<0

=> Hàm không có cực trị tại (xi,yi)

Bài ví dụ: Tìm cực trị tự do của hàm số f(x,y)=x3 + 2y3 -3x2 - 6y

Giải

{𝑓

′𝑥 = 3𝑥2− 6𝑥

𝑓′𝑦 = 6𝑦2− 6

=> Có 4 điểm dừng P1(0,-1), P2(0,1), P3(2,-1),P4(2,1) A=f "xx = 6x - 6

B= f "xy = 0

C= f "yy = 12y

*Tại P1(0,-1):

A= -6 <0

B= 0

C= -12

=> Δ= AC - B2

=(-6).(-12) - 02= 72 >0

=> P1(0,-1) là điểm cực đại, fCĐ = f(0,-1) = 4

*Tại P2(0,1):

A= -6 <0

B= 0

C= 12

=> Δ= AC - B2

= (-6).12 - 02= -72 <0

=>P2(0,1) không phải là điểm cực trị

*Tại P3(2,-1):

A= 6

B= 0

C= -12

=> Δ= AC - B2

= 6.(-12) - 02 = -72 <0

=>P3(2,-1) không phải là cực trị

*Tại P4(2,1):

A= 6 >0

B=0

C=12

=> Δ= AC - B2

=6.12 - 02= 72 >0

=> P1(0,-1) là điểm cực tiểu, fCT = f(2,1) = -8

 Đoạn code:

syms xykdi zuv

f = input('Nhap ham: f(x,y) = ');

dx = diff(f,x);

dy = diff(f,y);

nghiem = solve(dx,dy,x,y);

xt = [];

yt = [];

d = 1;

for k = 1 : length(nghiem.x)

if isreal(nghiem.x(k)) == 1 & isreal(nghiem.y(k)) == 1 xt(d) = nghiem.x(k);

yt(d) = nghiem.y(k);

d = d + 1;

end;

end;

dxx = diff(dx,x);

dyy = diff(dy,y);

dxy = diff(dx,y);

ct = [];

cd = [];

zcd = [];

zct = [];

dispct = [];

dispcd = [];

if length(xt) == 0

disp('Ham so khong co diem dung')

else

for i = 1 : length(xt)

xM = xt(i);

yM = yt(i);

A = subs(dxx,{x,y},{xM,yM});

B = subs(dxy,{x,y},{xM,yM});

C = subs(dyy,{x,y},{xM,yM});

D = A*C - B^2;

if D > 0 & A > 0

T = subs(f,{x,y},{xM,yM});

if isreal(T) == 1

ct = [ct; xM yM T];

dispct = [dispct; xM yM];

zct = [zct; T];

end;

elseif D > 0 & A < 0

S = subs(f,{x,y},{xM,yM});

if isreal(S) ==1

cd = [cd; xM yM S];

dispcd = [dispcd; xM yM];

zcd = [zcd; S];

end;

end;

end;

if length(ct) > 0

disp('Ham so co cac diem cuc tieu la : '); dispct

disp('Voi cac zct tuong ung la:');

zct

else

disp('Ham so khong co cuc tieu');

end;

if length(cd) > 0

disp('Ham so co cac diem cuc dai la : '); dispcd

disp('Voi cac zcd tuong ung la:');

zcd

else

disp('Ham so khong co cuc dai');

end;

end;

clf

set(ezsurf(f),'FaceColor','b','EdgeColor','non','FaceAlpha',0.3);

rotate3d on

grid on

hold on

r = 0.2;

if length(zcd) > 0

for i = 1 : length(zcd)

set(ezsurf(cd(i,1) + r*cos(x)*sin(y),cd(i,2) + r*sin(x)*sin(y),cd(i,3) + r*cos(y)),'FaceColor','r','EdgeColor','k','FaceAlpha',0.3);

text(cd(i,1),cd(i,2),cd(i,3),['Day la diem cuc dai'])

end;

end;

if length(zct) > 0

for i = 1 : length(zct)

set(ezsurf(ct(i,1) + r*cos(x)*sin(y),ct(i,2) + r*sin(x)*sin(y),ct(i,3) + r*cos(y)),'FaceColor','r','EdgeColor','k','FaceAlpha',0.3);

text(ct(i,1),ct(i,2),ct(i,3),['Day la diem cuc tieu'])

end;

end;

 Chạy thử và kết quả:

BÀI 2

 Đề bài: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

0

; 3

; 6

;

2 2 2 2

 Cơ sơ lý thuyết:

A Đổi biến tổng quát

Giả sử x=x(u,v),y=y(u.v) là hai hàm có đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng,bị chặn Duv.Gọi Dxy={ (x,y)/x=x(u,v);y=y(u,v),(u,v)Duv }

Nếu f(x,y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi trên Duv

0 )

, (

) , (



















v

y u y v

x u x v u D

y x D

dudv J v u y v u x f dxdy y x

f( , ) ( ( , ), ( , )) .

B Đổi biến trong tọa độ cực

Công thức liên hệ tọa độ





sin

.

cos

.

r

y

r

x





Ta có:

r r

r v

u D

y x D









cos sin

sin cos

) , (

) , (

Do vậy:

rdrd r

r f dxdy y x

f( , ) ( cos  , sin  ) 

C.Ta có S hình phẳng giới hạn=

D

dxdy

 Bài ví dụ:Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi

0

; 3

; 6

;

2 2 2 2

Đặt 

sin

cos

r

y

r

x

































sin 6 sin

2

2 3

2 2

0

3 3

sin 6 sin

6 6

sin 2 sin

2 2

2 2

2

2 2

2































































r

x

x

y

r r

r y

y

x

r r

r y

y

x











dxdy

I

2

3







6529

.

7

sin

16

2

2

3

2

2

3

sin

6

sin

2

2

2

3

sin

6

sin

2













 





























d

d r

rdr

d

 Đoạn code:

syms xytrphi

clc

f = input('nhap ham f (x,y) = ');

g= subs (f,{x,y},{r*cos(phi),r*sin(phi)}); h=g*r;

TP1 = int(h,r,2*sin(phi),6*sin(phi));

S = int(TP1,phi,pi/3,pi/2)

f1 = sqrt(3)*x;

f2 = cos(t);

f3 = 1 + sin(t);

f4 = 3*cos(t);

f5 = 3 + 3*sin(t);

f6 = 0*t;

f7 = t;

hold on

grid on

ezplot(f1,[cos(pi/6) 3*cos(pi/6)]);

ezplot(f2,f3,[pi/6 pi/2]);

ezplot(f4,f5,[pi/6 pi/2]);

ezplot(f6,f7,[2 6]);

xlabel('Truc x')

ylabel('Truc y')

 Chạy thử và kết quả:

Hình vẽ:

BÀI 3

 Đề bài: Tính tích phân I  ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑙𝐶 , trong đó C là nửa đường tròn

𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, 𝑥 ≥ 1

 Cơ sở lý thuyết:

 Bước 1: Biến đổi C

(𝑥 − 1)2+ 𝑦2 = 1

 Bước 2:

{

𝑥 = 1 + cos (𝑡)

𝑦 = sin (𝑡) Đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑡

 Bước 3: Tính tích phân với biến t

 Bài ví dụ: Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑙𝐶 trong đó C là nửa đường tròn :

𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥, 𝑥 ≥ 1

Giải 𝐶: (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 1

{

𝑥 = 1 + cos(𝑡)

𝑦 = sin (𝑡)

𝑡 ∈ [−𝜋

2;𝜋

2]

I =∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡)) × 𝑠𝑖𝑛(𝑡) × √(−𝑠𝑖𝑛(𝑡))2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡)2× 𝑑𝑡

𝜋

2

−𝜋

2

= 0

 Đoạn code:

syms x y t

f = input('Nhap ham: f(x,y) = ');

g = subs(f,{x,y},{1 + cos(t),sin(t)});

I = int(g,t,-pi/2,pi/2)

Chạy thử và kết quả