DẠNG 7 CHỨNG MINH

DẠNG .7 SO SÁNH BIỂU THỨC RÚT GỌN VỚI MỘT SỐ THỰC I... CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGCâu 1... CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNGCâu 3.. a Tính giá trị

Trang 1

DẠNG 7

SO SÁNH BIỂU THỨC RÚT GỌN VỚI MỘT SỐ THỰC

I PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm điều kiện xác định nếu cần

+ Rút gọn biểu thức

+ Thực hiện Phép trừ M a

- Nếu M a  0 M a

- Nếu M a  0 M a

- M a  0 M a (Hoặc dùng phương pháp Min, Max) + Kết luận

II VÍ DỤ

Ví dụ 1

A

x 1



 và

B

    ( với x 0 ;x 1 ;x 4 ) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25

2) Chứng minh biểu thức

x 1 B

x 3





 3) Cho B 0 hãy so sánhA với 3

Lời giải:

1) ĐKXĐ: x 0 ;x 1 ;x 4

Thay x 25 (thỏa ĐKXĐ ) vào biểu thức A ta được:

A

25 1





25 5 1

5 1

 





21 4

 Vậy

21 A 4

 khi x 25

 2) Ta có:

B

    ( với x 0 ;x 1 ;x 4 )

B

 x 1 x 3  2 x 2   9 x 3 

B



Trang 2

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

B



   x 2x 3 x 2 x 3



   x 3x 1

 (đpcm) 3) ĐKXĐ: x 0 ;x 1 ;x 4

Theo bài ra ta có: B 0

x 1

0

x 3





x 1 0

   với mọi x thuộc tập xác định (vì x 3 0  )

Xét hiệu: A 3

3

x 1



x 1



x 1





x 4 x 4

x 1





x 2

x 1







Vì  2

x 2 0

với mọi xthỏa mãn điều kiện xác định và x 1 0  (chứng minh trên)

x 2

0

x 1



 với mọi x thuộc tập xác định    A 3A 3 0   Vậy A 0 khi B 0

Ví dụ 2 Cho biểu thức

2

a) Rút gọn biểu thức B

b) Đặt C B.(a  a So sánh C và 1.1)

Lời giải:

a) Với a0; a , ta có: 1

2



1 a

 Vậy

1

a



b) Với a0; a , ta có: 1

2

Vậy C1

Trang 3

Ví dụ 3. Cho các biểu thức:

A

1 B

x 1



 với x 0 ; x 1 1) Tính giá trị của B khi x 49

2) Rút gọn biểu thức S A B 

3) So sánh S với

1

3

Lời giải

1) Khi x 49 thỏa mãn ĐKXĐ nên thay vào B ta có

B

7 1 6

49 1



2)

S A B

    với x 0 ; x 1

S





3) So sánh S với

1

3

Ta có

1 S 3



=x xx 1 13 3 x x3 x x 1x 1

 

2

x 1

x 2 x 1

0



với x 0 ; x 1

Nên

1 S 3



Trang 4

Câu 1 Cho hai biểu thức:

A

và

3 1

x B x





 Vớix , 0 x1 a) Tính giá trị của B khi x4

b) Rút gọi biểu thức A

c) Cho S A.B , chứng minh rằng:

3 2

S

Lời giải

a) Thay x4 (thỏa mãn điều kiện) vào

2 1 3

4 1



A



1

x



c)

Xét

0

S

⇒

3 2 S

Ngoài ra:

3 2

S khi x0

Cách 2:

x

Dấu bằng xảy ra khi x   2 2 x 0

Vậy

3

0 2

MinS = khi x

Trang 5

Câu 2 Cho

1 4

A

x



 và

B

  với x0, x4, x16 a) Tính giá trị của A khi x25.

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho S A.B So sánh S với 2.

Lời giải

a) Tính giá trị của A khix25.

Thayx25(thỏa mãn điều kiện) vào A ta có

31

25 4

Vậy A khi 31 x25.

B

  với x0, x4, x16

B





B



  xx2

c) Cho S A.B So sánh S với 2

Ta có

4

Xét

S

Ta có:

2

0 1

x

       







Vậy S 2

Trang 6

Câu 3 Cho hai biểu thức

1 2

x

và

B



    x0;x1.

a) Tính giá trị của biểu thức A tại x4.

b) Chứng minh

1 1

x B





c) Cho

B P A

 Chứng minh 0  P 2

Lời giải

a) Ta thấy x4 (thỏa mãn điều kiện x , 0 x1)

Với x4 ta có

4 1 2 1 1

b) Với x , 0 x1 ta có :

B



2

x





2 1

x





    x xx11

c) Với x , 0 x1 ta có :

2 1



2 1



Với x0 x x 1 0

2

0 1

    P 0  1 Với x0 x x 1 1

2

2 1

    P 2  2

Từ  1

và  2

suy ra 0  với P 2 x , 0 x1

Trang 7

A

x 4



B

x 2





 với x 0 , x 4 1) Tính giá trị của biểu thứcB khi x 9

2) Rút gọn biểu thức P A : B .

3) So sánh P và P

Lời giải

1) Với x 9 thỏa mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức B ta có:

9 2



 2) Với x 0 , x 4

P A : B

:

x 4





:

x 2



 x 2 x 2  x 2x 4 x 4 x 2  4x  :4 x 2x 2

x 4 x 4

 x 4 x 4 4x x  : 4 x 2x 2

x 4 x

4 2







x x

4

2



















 3) Ta có

Với x 0 , x 4 thì x  0 x 2 2 0   mà 2 0 

Suy ra

2

x 2



 mà P 0 với mọi x 0 , x 4

Vậy với x 0 , x 4 thì P P

Trang 8

Câu 5 Cho

1

1 1

x

      



1 1

x Q x





 với x , 0 x1. 1) Rút gọn P

2) Tìm x để

3 2

P

3) Cho M P.Q So sánh M và M

Lời Giải

1)

1

1 1

x

      



    với x , 0 x1

              

x

 



P

   2 xx11

Vậy

1

x P

x





 2) Ta có

3 2

P x0,x1

2 1

x



1 x

  (loại)

Vậy không có x thỏa mãn để

3 2

P

c) Ta có: M P.Q x0,x1

M

1

x M

x



 Điều kiện để M có nghĩa là x  1 0 x  1 x 1

Kết hợp với điều kiện x , 0 x1 suy ra x1  *

Trang 9

Xét 2   2 1 2 1 2 1 2 1 1

2

Vì x1 nên  

2

x







Vậy M  M

Câu 6 Với a0, a , cho hai biểu thức: 1

1

A

1

a B





a) Tính giá trị của biểu thức B với a 9

b) Rút gọn biểu thức

A P B

 c) Chứng minh P 1

Lời giải

a) Tính giá trị của biểu thức B với a 9

Với a ta có 9

1

9 2 3 1

9 2 9 1

B

Vậy B1.

b) Rút gọn biểu thức

A P B



Ta có

A



B

Trang 10



2 1

1 1

a

a a







c) Chứng minh P1

Với a0, a , theo cau b) ta có 1

1 a P

a





nên

1 1 P

a

  

Với a thì 0

1

a



Vậy P1 với a0, a 1

Câu 7 Cho biểu thức:

P

1 x



  với x 0; x 1  a) Rút gọn P

b) Tìm giá của x để P 1.

c) So sánh P với 1

Lời giải.

a) P x 1x x 13  x 16 x 4 x 1





P



   x 1x 2 x 1 x 1



2

x 1





x 1 P

x 1





 b) P 1

x 1

1

x 1



  x 1   x 1 

      (thỏa mãn điều kiện)x 0

Vậy với x 0 thì P 1.

c) Ta có x 1  x 1 và x 1 0  với x 0; x 1  do đó

x 1

1

x 1 

x 2 A

x 9





 và

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9

2) Rút gọn biểu thức B

Trang 11

3) So sánh P A.B với P

Lời giải

1) Khi x 9 ta có

A

3 9 12 9

9 9



2) Với x 0, x 4, ta có

B

=



=











x 1

x 2





 Vậy

x 1 B

x 2





 với x 0, x 4.

3) Ta có

   với x 0, x 4

P xác định khi

x 1

P

9

0

x

 Kết hợp với điều kiện  x 1;x 4



 Vì: P 0  1 P 0

Mà:

0 x 1;x 4 1



 Suy ra P P 0   P P

Trang 12

A

x 4



 và

x 1 5 x 8 B

x 1 2 x x

  x 0; x 4; x 16   

a) Tính giá trị của A khi x 25

c) Cho P A.B So sánh P với 2

Lời giải

a) Tính giá trị của A khi x 25 .

+) Ta thay x 25 (tmđk x 0; x 4; x 16 ) vào biểu thức A ta có:

25 25 1 25 5 1 31

25 4



Vậy khi x 25 thì A 31

+) Ta có:

x 1 5 x 8 B

x 1 2 x x

5 x 8

x 1



  x 1x 1 x8 5 x x 2

x 1 x 8 5 x







 x 6 x 8x x 2



 x 2 x 4 x 8x x 2











  x 4x

Vậy

x 4 B

x





c) Cho P A.B So sánh P với 2

+) Ta có

P A.B



x

1

x 1

x

Trang 13

+) Với x 0; x 4; x 16   , ta áp dụng bất đẳng thức Coossi cho hai số dương x

và

1

x ta có:

1

x

Hay P 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

1 x x



x 1

  (tmđk) Vậy P 2

x 1 M

x





và

P

x 1



  với x 0; x 1; x 5   a) Tính giá trị của M khi x 9

b) Chứng minh

x 6 P

x 1





 c) Đặt

x 5

Q M.P

x



Hãy so sánh Q với 3

Lời giải

a) Thay x 9 ( thỏa mãn điều kiện) vào M ta được:

9 1 3 1 2 M

9

Vậy x 9 thì

2 M 3

 b) Ta có:

    x 2 x 1 2 8 x 2  x 1

P

x 1



ID1-10

( điều phải chứng minh) Vậy

x 6 P

x 1





 c) Ta có:

Trang 14

Xét

x 1



với mọi x 0; x 1 

Do đó Q 3 .

x 1 A

x 3





 và

B



   với x 0 ;x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A với

1 x 4

 b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho P B : A Tìm x để

5 P 2



Lời giải

a)

1

x

4



(thoả mãn điều kiện)

A

4



 Vậy

1 x 4

 thì

3 A 5





b) Ta có:

B



   với x 0 ;x 9



 x 3x 3 x 3  x 3x 3 x 3  x 32 x 3x 3 





   x 3x 3 x x 3





 x 3x x 3x 3





 Vậy

x B

x 3



 với x 0 ;x 9 c) Ta có: P B : A

:









x

x 1





Để

5 P 2

x 1



0 2

x 1



2 x 5 x 5

0

x 1



3 x 5

0

x 1



Trang 15

3 x 5 0

5 x 3



Vì x 0 , x 0  ; x 9 mà

5 0 3

  

không có x thỏa mãn

5 P 2



Câu 12 Cho

3 x 1 A

x 3



 và

B

    với x 0, x 4, x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16

b) Chứng minh

3 x 1

B

x 2



 c) Với x 9,  đặt

A P B

 , so sánh P và 1

Lời giải

a) Thay x 16 (tmđk) vào

3 x 1 3.4 1

4 3

x 3



b)

B



 3x 10 x 3x 2 x 3



   3 x 1x 2

 c)

Xét

Với x 9 thì x 1 0  ⇔ P 1 0  ⇔ P 1

x 3 A

x 4





 và

B



  (với x 0 ; x 4 ).

Trang 16

c) So sánh

A P B

 với 1 khi x 4 .

Lời giải

a) Với x 9 (thỏa mãn)  x  3

Thay x 9 và x 3 vào A ta được

A

Vậy với x 9 thì

6 A 5



b)

B



   x 24 x 2 x 21



 x 24 x 2  x 2x 2 x 2





   x 21

c) Ta có: P AB x 4x 3: x 21  x 2x 3 x 2 . x 2 x 3x 2

Xét hiệu

Ta có: x 4  x  2 x 2 0  ID1-10

5

0

x 2

   P 1 0 P 1 Vậy P 1

4

A

x



2

x B

x





 với x ; 0 x4 a) Tính giá trị của B tại x 9

b) Chứng minh rằng:

4 2

x A

x



 c) Cho

A P B

 So sánh P và P

Lời giải

a) Thay x (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức 9 B ta được:

Trang 17

   

20

9 2



 Vậy B20 tại x 9

b)

4

A

x



x



4

x





4

x







x





Vậy

4 2

x A

x





c)

A

P

B

x

x :







Với x ; 0 x4 thì P 0

Vì x ; 0 x4 thì

0 2

x

2 0 2 x



0

x

2

Câu 15 Cho biểu thức

1 x M

x





và

1

P

x



  với x0; x1;x5 a) Tính giá trị của M khi x 9

b) Chứng minh

6 1

x P x





 c) Đặt

5 x

Q M.P

x



Hãy so sánh Q với 3

Trang 18

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Thay x ( thỏa mãn điều kiện) vào 9 M ta được:

9 1 3 1 2

9

Vậy x thì 9

2 3

M

b) Ta có:

P

ID1-1

6 1

x x





 0( điều phải chứng minh) Vậy

6 1

x P x







c) Ta có:

1

Xét

1

Q



với mọi x0; x 1

Do đó Q3.

1

a) Rút gọn P

b) So sánh P với 1

Lời giải

a) Với x0;x4

1

Trang 19

1 2 3 2

:

1

:



2 1

x x







Vậy với x0;x thì 4

2 1

x P x







b) Xét hiệu

P

Suy ra P1

P

x 4

x 2 x



1) Rút gọn biểu thức P

Lời giải

Rút gọn biểu thức P

P



 1 

P







Trang 20

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Chứng minh rằng P < 0 với mọi x 4, x 0   x 4,x 0  

Với mọi x 4, x 0   ta có x 0  

x 2 0



  

Mà   1 0 nên P x x 21  0





với mọi x 4,x 0   Cho hai biểu thức:

x x A

2 x





 và

B



So sánh P với

1

3.

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	0,98 MB