Quan hệ liên hợp và ứng dụng trong nhóm hữu hạn

Để hiểu biết về một nhóm, ta cần tìm hiểu nhiều vấn đề liên quan đến nhóm đó, chẳng hạn: cấp của nhóm, cấp của các phần tửcủa nhóm, các lớp liên hợp, các nhóm con, nhóm thương,.... Nhằm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - 2020

lý thuyết số tại Đà Nẵng khóa 36 (2017-2019) Cuối cùng, tôi muốn ghi nhận

và cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia đình, người thân và bạn bè đã dànhcho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này

Tác giảNguyễn Thị Hà Nhi

Toàn bộ nội dung trình bày trong luận văn này là công trình nghiên cứutổng quan của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn NgọcChâu Những khái niệm và kết quả trong luận văn được tổng hợp từ các tàiliệu khoa học đáng tin cậy, và được chỉ rõ nguồn gốc trích dẫn Đóng góp củatôi là tổng hợp tài liệu, và chứng minh một số kết quả mà trong tài liệu tríchdẫn chỉ phát biểu (không chứng minh) Tôi xin chịu trách nhiệm với lời camđoan của mình.

Tác giả

Nguyễn Thị Hà Nhi

i i

Name of thesis: The conjugacy relation and applications of inite groups Major: Algebra and Number theory

Full name of Master student: N g uyen Thi Ha Nhi

Supervisor: Dr N g uyen N g oc Chau

Training institution: The University of Education - University of Da Nang

Abstract: The thesis "The conjugacy relation and applications of finite groups" has completed the purpose and research task Specifically, the thesis has achieved some following results:

1) Presenting homogenous relations on a set of groups and representations

Key words: conjugacy classes, homogenous, finite groups, character table

Dr N g uyen N g oc Chau N g uyen Thi Ha Nhi

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 31.1 Một số khái niệm cơ bản về cấu trúc nhóm 31.2 Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm 111.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn 14Chương 2 QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHÓM 192.1 Quan hệ liên hợp và các tính chất 192.2 Lớp liên hợp của một số nhóm 22Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP TRONG

Quyết định giao đề tài

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cấu trúc nhóm là một trong những cấu trúc đại số cơ bản, đóng vai tròquan trọng không những trong toán học mà còn nhiều ứng dụng trong cácngành khoa học khác Để hiểu biết về một nhóm, ta cần tìm hiểu nhiều vấn

đề liên quan đến nhóm đó, chẳng hạn: cấp của nhóm, cấp của các phần tửcủa nhóm, các lớp liên hợp, các nhóm con, nhóm thương,

Cho a, b là hai phần tử của một nhóm G Ta nói phần tử b liên hợp vớiphần tử a nếu tồn tại một phần tử x ∈ G sao cho b = xax−1 Quan hệ liênhợp này là một quan hệ tương đương trên nhóm G, và có nhiều ứng dụngtrong lý thuyết nhóm, đặc biệt là p−nhóm hữu hạn

Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp trong một nhóm và những ứng dụng của

nó, tôi chọn đề tài cho luận văn Thạc sĩ của mình là: “ Quan hệ liên hợp vàứng dụng trong nhóm hữu hạn.”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn

- Quan hệ liên hợp và quan hệ đồng chất trên tập các nhóm

- Ứng dụng của lớp liên hợp trong lý thuyết nhóm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn

- Quan hệ liên hợp trong nhóm hữu hạn

- Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm hữu hạn

- Ứng dụng của các lớp liên hợp trong biểu diễn nhóm hữu hạn, trong quan

hệ đồng chất trên tập các nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách chuyên khảo,giáo trình và các bài báo khoa học có nội dung liên quan đến đề tài luận văn

- Phương pháp tiếp cận: Tổng hợp, hệ thống, phân tích các tài liệu thuthập được để thực hiện luận văn

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn và các chuyên gia

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia thành 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về cấu trúc nhóm, quan

hệ đồng chất và lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho các chươngsau

1.1 Một số khái niệm và kết quả của lý thuyết nhóm

1.2 Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm

1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn

Chương 2 Quan hệ liên hợp trong một nhóm

Chương này trình bày quan hệ liên hợp trong một nhóm và tính lớpliên hợp của một số nhóm

2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp và các tính chất

2.2 Lớp liên hợp của một số nhóm

Chương 3 Ứng dụng của lớp liên hợp trong nhóm hữu hạnChương này trình bày một số ứng dụng của lớp liên hợp trong nhómhữu hạn

3.1 Ứng dụng của lớp liên hợp trong biểu diễn nhóm hữu hạn

3.2 Ứng dụng của lớp liên hợp trong quan hệ đồng chất trên tập các nhóm

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về cấu trúc nhóm, quan hệđồng chất và lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho các chương sau.Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1] , [2] , [3] , [4]

1.1 Một số khái niệm cơ bản về cấu trúc nhóm

Định nghĩa 1.1.1 Cho một tập X 6=∅ Một phép toán hai ngôi trên tập

Trong các ký hiệu mà người ta hay dùng nhiều nhất là dấu + và dấu , đốivới dấu thường quy ước bỏ đi

Một phép toán hai ngôi ký hiệu bằng dấu “+” gọi là phép toán cộng, hợpthành x + y gọi là tổng của x và y

Một phép toán hai ngôi ký hiệu bằng dấu “.” gọi là phép toán nhân, hợpthành x.y gọi là tích của x và y

Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi nhóm là một cặp (X, ◦), trong đó X là một tậphợp khác tập rỗng và “◦” là phép toán hai ngôi trên X thỏa mãn ba điều kiệnsau:

i) Phép toán ” ◦ ” là kết hợp, tức là:

(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) , ∀x, y, z ∈ X.ii) Có một phần tử e ∈ X được gọi là phần tử trung lập, có tính chất:

x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ X.iii) Với mỗi x ∈ X, có một phần tử x′ ∈ X được gọi là nghịch đảo (hoặc đốixứng) của x sao cho x ◦ x′ = x′◦ x = e.

Nếu phép toán hai ngôi của nhóm X có tính giao hoán, nghĩa là:

∀x, y ∈ X, xy = yx, thì X gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm aben.Nếu X là một tập hợp vô hạn, ta nói X là nhóm vô hạn, nếu X là tâp hợphữu hạn, ta nói X là nhóm hữu hạn Số phần tử của X ký hiệu là |X|

Từ đây về sau nếu không nói gì khác, ta quy ước phép toán hai ngôi trênmột nhóm được ký hiệu là phép nhân “.”

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p là một số nguyên tố Một nhóm có cấp là mộtlũy thừa của p được gọi là p−nhóm

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử trên tập X có phép toán hai ngôi kí hiệu , và

A là một tập con của X Tập A gọi là tập con ổn định của X đối với phéptoán nếu: ∀a, b ∈ A, a.b ∈ A

Khi A là một tập con ổn định của X thì trên A có phép toán: ∀a, b ∈ A,

a.b ∈ A, gọi là phép toán cảm sinh từ phép toán trong X

Định nghĩa 1.1.5 Một tập con ổn định A của một nhóm X được gọi lànhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, và kýhiệu là A ≤ X

Định lý 1.1.6 Giả sử A là một tập con khác rỗng của một nhóm X.Các điều kiện sau tương đương

Nếu U = {a1, a2, a3, , an −1, an} thì nhóm sinh bởi U và đươc ký hiệu

ha1, a2, , an −1, ani

Nếu hUi = X, thì U được gọi là một tập sinh của X, hay còn nói X đượcsinh ra bởi U

NếuU = {a}ta viếthai {a}

, và dễ kiểm tra đượchai =

an/n ∈ Z .Định nghĩa 1.1.9 Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần

tử a ∈ X sao cho X = hai Nhóm cyclic có cấp n được ký hiệu là Cn

Hệ quả 1.1.10 Mọi nhóm cyclic đều là nhóm giao hoán

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử a là một phần tử bất kỳ của một nhóm X và

A là nhóm con của nhóm X sinh bởi a

Phần tử a có cấp vô hạn nếu A là nhóm vô hạn, trong trường hợp nàykhông có một số nguyên dương n nào sao cho an = e Phần tử a gọi là cócấp m nếu A là nhóm cấp m, trường hợp này nếu m là số nguyên dương bénhất sao choam = e Ta ký hiệu cấp của phần tửa làord(a) Nếu ord(a) = m

Ord(a) = 1 khi và chỉ khi a = e

Định nghĩa 1.1.12 Một nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm conchuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu x−1ax ∈ A, với mọi a ∈ A và ∀x ∈ X Kíhiệu A ⊳ X

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A là một nhóm con của nhóm X Với mỗi

x ∈ X, các tập hợp

xA = {xa : a ∈ A} và Ax = {ax : a ∈ A}

lần lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của A bởi phần tử x

Định lý 1.1.14 Giả sử A là một nhóm con của nhóm X Các điều kiệnsau là tương đương

i) A là chuẩn tắc

ii) xA = Ax với mọi x ∈ X

Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X thì xA = Ax, và đượcgọi là lớp kề của A bởi x.

Định nghĩa 1.1.15 Giả sử A là một nhóm con của nhóm X Tập hợp tất

cả các lớp kề trái của A trong X được gọi là tập thương của X trên A, và kíhiệu là X/A

Định nghĩa 1.1.16 Giả sử A là một nhóm con của nhóm X Số các lớp

kề trái của A trong X được gọi là chỉ số của nhóm con A trong nhóm X, kýhiệu là [X : A]

Định lý 1.1.17 (Định lý Lagrange) Cấp của một nhóm X hữu hạn

là bội của cấp của mọi nhóm con của nó

Hệ quả 1.1.18 Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X

là ước của cấp của nhóm X

Hệ quả 1.1.19 Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là cyclic vàđược sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm.Mệnh đề 1.1.20 Nếu A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X thì

i) Quy tắc tương ứng với cặp (xA, yA) lớp kề trái xyA là một ánh xạ từ

X/A × X/A vào X/A

ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA, yA) 7→ xyA là một nhóm, gọi

là nhóm thương của X trên A

Nếu X là nhóm hữu hạn và A ≤ X, thì X/A = |X|/|A|

Định nghĩa 1.1.21 Giả sử X là một nhóm, khi đó tập con

Z (X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X} được gọi là tâm của nhóm X

Từ định nghĩa trên ta có: X là nhóm giao hoán ⇔ Z(X) = X

Mệnh đề 1.1.22.Z(X) là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc củanhóm X

Mệnh đề 1.1.23 Cho X là p−nhóm: Nếu |X| > 1 thì |Z(X)| > 1

Mệnh đề 1.1.24 Cho X là một nhóm và và A ≤ Z (X) Khi đó A ⊳ X,

và nếu X/A là xyclic thì X là một nhóm giao hoán

Mệnh đề 1.1.25 Cho X là một p−nhóm có cấp p2, với p là một sốnguyên tố Khi đó X là một nhóm giao hoán.

Chứng minh Ta có |X| = p2, p: nguyên tố

Theo Mệnh đề 1.1.23 thì |Z(X)| > 1, theo Định lý 1.1.17 |Z(X)| = phoặc p2

Nếu |Z(X)| = p thì X/Z (X) = p Theo Hệ quả 1.1.19, X/Z (X) làcyclic, và theo Mệnh đề 1.1.24, X là nhóm giao hoán Suy ra Z(X) = X (vôlý) Vậy |Z(X)| = p2 và Z(X) = X, do đó X là giao hoán

Mệnh đề 1.1.29 Cho X là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắccủa X Khi đó nhóm thương X/H giao hoán khi và chỉ khi [X, X] ⊂ H

Ví dụ 1.1.30 Cho nhóm thay phiên

[abc, abc] = a−1b−1c−1abc = a−1b−1c−1ca = a−1ba = a−1ab = b.

Suy ra {e, a, b, ab} ⊂ [A4, A4]

Xét nhóm con ha, bi ≤ A4, vì a,b có cấp 2 và ab = ba nên ha, bi ∼= C2× C2

Ta có c−1ac = b ∈ ha, bi và c−1bc = ba ∈ ha, bi, nên ha, bi ⊳ A4

Định nghĩa 1.1.34 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đếnnhóm Y Ta ký hiệu

Định lý 1.1.35 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một nhóm X đếnmột nhóm Y, A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩntắc của Y Khi đó:

i) f (A) là một nhóm con của Y

ii) f−1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

Hệ quả 1.1.36 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một nhóm X đếnmột nhóm Y Khi đó Imf là một nhóm con của Y và Kerf là một nhómcon chuẩn tắc của X

Định nghĩa 1.1.37 (Nhóm Dihedral) Xét đa giác đều ncạnhPn với n > 2.Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc (có hướng)bằng 2π/n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của

Pn và một đỉnh của nó Khi đó, tất cả các phép đối xứng của Pn tức là cácbiến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó được liệt kê nhưsau: e, a, a2, , an−1, ab, a2b, , an−1b

Tập các phép đối xứng của Pn lập thành nhóm không giao hoán, cấp 2n,với phép hợp thành hai phép đối xứng ký hiệu là Dn và được gọi là nhómdihedral

Nhóm Dn có biểu diễn như sau:

Dn = Dx, y| xn = e, y2

= e, (xy)2 = eE

Định nghĩa 1.1.38 Nhóm Q2 n, n ≥ 3 là nhóm không giao hoán có cấp 2n

được sinh bởi hai phần tử a, b và có biểu diễn như sau:

Chứng minh Theo Ví dụ 1.1.39 ta có nhóm Q8 có biểu diễn như sau:

Theo Mệnh đề 1.1.28, ⇒ [D4, D4] ≤ Z [D4].

Từ (xy)2 = e ⇔ xyxy = e ⇔ xyxyy = y ⇒ xyx = y

Đồng thời [x, y] = x−1y−1xy = x3yxy = x2xyxy = x2yy = x2

⇒ [D4, D4] = Z(D4) =e, x2

Mệnh đề đã được chứng minh

Định nghĩa 1.1.42 Giả sử K là một trường V là một không gian vectơ n

chiều trên K Kí hiệu bởi GL(K) tập hợp tất cả các đẳng cấu tuyến tính V.Tập hợp GL(V ) cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm,được gọi nhóm tuyến tính tổng quát trên V

Hai nhóm X và Y được gọi là đồng chất nếu tồn tại hai đẳng cấu:

ϕ : X → Y, ψ : X′ → Y′ sao cho biểu đồ sau giao hoán

ii) Giả sử nhóm X đồng chất với nhóm Y, nghĩa là tồn tại hai đẳng cấu

ϕ : X → Y và ψ : X′ → Y′ sao cho ∂Y ◦ (ϕ × ϕ) = ψ ◦ ∂X Khi đó dễ dàngkiểm tra được hai đẳng cấu ngược ϕ−1 và ψ−1 thỏa mãn

Vậy quan hệ đồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương đương

Ví dụ 1.2.3 Hai nhóm D4 và Q8 đồng chất với nhau

Ta xét hai đẳng cấu ϕ và ψ như sau:

Ví dụ 1.2.4 Hai nhóm D8 và Q16 đồng chất với nhau

1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn

Giả sử X là một nhóm hữu hạn, K là một trường, còn V là một khônggian vectơ hữu hạn chiều trên K

Định nghĩa 1.3.1 Một biểu diễn tuyến tính của nhóm X trong V là mộtđồng cấu nhóm ρ : X → GL (V ) từ X vào nhóm GL(V ) các tự đẳng cấutuyến tính của V Kí hiệu ρ(s) bởi ρs, ∀s ∈ X Ta có:

i) ρst = ρsρt, ∀s, t ∈ X

ii) ρe = idV, e là đơn vị của nhóm X

Đặt g = |X|, ta có sg = e, ∀s ∈ X Do đó, ρgs = 1 trong K∗ Như vậy, ρs

là một căn bậc g của đơn vị 1 trong K∗, với mọi s ∈ X

Có thể thấy rằng biểu diễn phức là phong phú hơn các biểu diễn thực, bởi

vì trong C∗ có đúng g căn bậc g của 1, trong khi đó R∗ chỉ chứa nhiều nhất

là hai căn bậc g của 1 (tùy theo g chẵn hay lẻ)

Từ đây về sau, X luôn được hiểu là nhóm hữu hạn, và K được xét làtrường số phức C

Định nghĩa 1.3.2 Gọi K [X] là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thứcP

s ∈X

kss của các phần tử của X với các hệ số ks trong K Khi đó K [X] lậpthành một vành, gọi là vành nhóm của X (với hệ số trong K), đối với haiphép toán sau đây:

P

kss +P

lss = P

(ks+ ls) s,P

biểu diễn chính quy của nhóm X (với hệ số trong K).

Mệnh đề 1.3.4 Giả sử V là một K−không gian vectơ Khi đó, V

là một không gian biểu diễn của nhóm X nếu và chỉ nếu V là một

K [X] − môđun.

Định nghĩa 1.3.5 Cho hai biểu diễn:ϕ: X → GL (V )và ψ: X → GL (W ).Một đồng cấu từ ϕ vào ψ là một ánh xạ K− tuyến tính: f : V → W saocho f ϕs = ψsf, ∀s ∈ X Sử dụng cấu trúc K [X]− môđun của V và W, đẳngthức trên tương đương với điều kiện sau:

f (sv) = sf (v), ∀s ∈ X, ∀v ∈ VNhư vậy, mỗi đồng cấu từ ϕ vào ψ là một đồng cấu K [X] − môđun từ V

vào W

Định nghĩa 1.3.6 Hai biểu diễnϕ và ψ được gọi là tương đương (hay đẳngcấu, hoặc đồng dạng) nếu các K [X] − môđun của V và W là đẳng cấu.Định nghĩa 1.3.7 Không gian vectơ conW ⊂ V được gọi là mộtX−khônggian con hay một không gian con ổn định dưới tác động của ϕnếu ϕs(x) ∈ W

với mọi s ∈ X, x ∈ W Khi đó, hạn chế ϕWs của ϕs trên W xác định mộtbiểu diễn ϕW : X → GL (W ) được gọi là một biểu diễn con của ϕ

Định nghĩa 1.3.8 Biểu diễn ρ : X → GL (V ) được gọi là bất khả quy nếu

V không có X− không gian con nào khác V và 0 Nói cách khác, ρ là mộtbiểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu V là một K [X] − môđun đơn

Định nghĩa 1.3.9 Cho hai biểu diễnϕ : X → GL (V )vàψ : X → GL (W )của nhóm X Khi đó, tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ : X → GL (V ⊕ W ) của chúngđược định nghĩa như sau:

(ϕ ⊕ ψ)s(v, w) = ϕs(v) , ψs(w)
.Định lý 1.3.10 Nếu đặc số của trường K không chia hết cấp của nhóm

X thì K [X] là vành nửa đơn, tức là mọi biểu diễn tuyến tính của X trongmột K−không gian vectơ đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khảquy

Hệ quả 1.3.11 Mỗi biểu diễn bất khả quy đều được chứa trong biểu diễnchính quy với số bội bằng cấp của nó.

Ví dụ 1.3.12 Mỗi biểu diễn cấp một ρ : X → GL (V ), nghĩa làdimCV = 1,

là một biểu diễn bất khả quy vì V chỉ có hai không gian con là V và 0.Định lý 1.3.13 Có tương ứng một - một giữa các biểu diễn cấp một của

X với các biểu diễn bất khả quy của nhóm abel X/[X, X] Số các biểudiễn cấp một không đẳng cấu của X bằng chỉ số của [X, X] trong nhóm

X

Định nghĩa 1.3.14 Cho X là một nhóm, tậpF (X,C) gồm tất cả các hàmphức trên X có cấu trúc một không gian vectơ phức, với phép cộng và phépnhân với vô hướng được định nghĩa theo giá trị của các hàm Cụ thể là:

(α + β)(s) = α(s) + β(s)(cα)(s) = cα(s)

F (X,C)

Định nghĩa 1.3.15 Giả sử V là một không gian vectơ phức n chiều, và

f : V → V là một phép biến đổi tuyến tính có ma trận A = aij

trong cơ

Định nghĩa 1.3.16 Giả sử ρ : X → GL (V ) là một biểu diễn tuyến tínhcủa nhóm X trong không gian vectơ V Hàm số χρ : X → C được xác địnhbởi χρ(s) = T r (ρs) , ∀s ∈ X được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ hay đặctrưng của X được xác định bởi ρ

χ được gọi là đặc trưng bất khả quy của X nếu χ là đặc trưng của mộtbiểu diễn bất khả quy.

Định lý 1.3.17 Giả sử χ và χ′ lần lượt là các đặc trưng của hai biểudiễn bất khả quy không đẳng cấu với nhau thì

nó trên mỗi lớp liên hợp của X, nên nó hoàn toàn được xác định bởi một

m × m− bảng cho các giá trị của m đặc trưng bất khả quy trên m lớp liênhợp của X Bảng này được gọi là bảng đặc trưng của X

Nếu ℵ là một bảng đặc trưng của X thì ℵ = χi sj



1 ≤i,j≤m trong đó

s1, , sm là các đại diện của m lớp liên hợp của X Ta luôn quy ước đặt

s1 = e, do đó cột thứ nhất của bảng đặc trưng bao gồm các cấp của các đặctrưng

Chương 2 QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHÓM

Chương này trình bày quan hệ liên hợp trong một nhóm và tính lớp liênhợp của một số nhóm Một số chi tiết được trích dẫn trong [1] , [2] , [6]

iii) ∀a, b, c ∈ X, aℜb ⇔ ∃x ∈ X : b = ax = xax−1

bℜc ⇔ ∃y ∈ X : c = by = yby−1 = yxax−1y−1 = (yx) a(yx)−1, ⇒ aℜcVậy ℜ có tính bắc cầu

Do đó ℜ quan hệ tương đương

Mệnh đề đã được chứng minh

Lớp tương đương chứa phần tử a theo quan hệ liên hợp, ký hiệu là Ca, vàgọi là lớp liên hợp chứa phần tử a.

Mệnh đề 2.1.3 Cho một nhóm X, a ∈ X Khi đó:

a ∈ Z (X) ⇔ Ca = {a}.

Chứng minh

” ⇒ ” Giả sử a ∈ Z (X) ⇒ ax = xa, ∀x ∈ X

Ta có ax = xax−1 = xx−1a = a, suy ra Ca = {a}

” ⇐ ” Giả sử Ca = {a} ⇒ ax = a, ∀x ∈ X Suy ra xax−1 = a, hay

xa = ax Vậy a ∈ Z (X)

Mệnh đề đã được chứng minh

Bổ đề 2.1.4 Cho X là một nhóm, và a ∈ X Khi đó:

i) Tồn tại một song ánh từ X/CX(a) đến Ca

ii) Z (X) ≤ CX(a) Hơn nữa nếu X là nhóm không giao hoán thì

Giả sử g = h phải chứng minh f (g) = f (h)

Do g = h nên gCX(a) = hCX(a) Vậy g ∈ hCX(a)

Khi đó, h−1g ∈ CX(a) ⇒ h−1ga = ah−1g ⇒ hh−1ga = hah−1g

⇒ ga = hah−1g ⇒ gag−1 = hah−1gg−1, ⇒ gag−1 = hah−1

Suy ra f (g) = f (h)

Chứng minh f là một đơn ánh

Giả sử f (g) = f (h), phải chứng minh g = h

Ta có f (g) = f (h) ⇔ gag−1 = hah−1 ⇔ a = g−1hah−1g

⇔ h−1g ∈ CX(a) ⇔ g ∈ hCX(a) = h ⇔ gCX (a) = hCX(a)

⇔ g = h ⇒ f là một đơn ánh

Chứng minh f là toàn ánh

∀y ∈ Ca ⇒ ∃x ∈ X : y = ax = xax−1

⇒ y = f (x), với x ∈ X/CX(a)

Suy ra f là một toàn ánh và do đó f là một song ánh

ii) Với X là một nhóm bất kỳ, a ∈ X Từ định nghĩa tâm của một nhóm vàđịnh nghĩa CX(a) ta có Z (X) ≤ CX(a)

Nếu X là một nhóm không giao hoán thì Z (X) X

Nếu a ∈ Z (X) ⇒ CX(a) = X ⇒ Z (X) CX(a)

Nếu a /∈ Z (X) ⇒ Z (X) CX(a)

Vậy nếu X là một nhóm không giao hoán thì Z (X) CX(a)

Mệnh đề 2.1.5.[1] Cho một nhóm X hữu hạn Với mọi a ∈ X, ta có:i) |Ca| = 

X : CX(a)

.ii) |Ca| ≤ ... class="page_container" data-page="26">

Chương QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHĨM

Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liênhợp số nhóm Một số chi tiết trích dẫn [1] , [2] , [6]... hạn< /h3>

Giả sử X nhóm hữu hạn, K trường, cịn V khơnggian vectơ hữu hạn chiều K

Định nghĩa 1.3.1 Một biểu diễn tuyến tính nhóm X V mộtđồng cấu nhóm ρ : X → GL (V ) từ X vào nhóm GL(V... đếnmột nhóm Y, A nhóm X B nhóm chuẩntắc Y Khi đó:

i) f (A) nhóm Y

ii) f−1(B) nhóm chuẩn tắc X

Hệ 1.1.36 Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đếnmột nhóm