Tác động nhóm và ứng dụng

Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh một số kết quả của lý thuyết nhóm.. Một số ứng dụng của tác động nhóm trong số học và đại số tuyến tính.. Lý do chọn đề tài Tác động nhóm là một tron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng – Năm 2017

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Hoàng Văn Tuấn

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhấtđến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gianhọc tập của khóa học Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anhchị trong lớp Đại số và lý thuyết số K31 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trongquá trình học tập tại lớp

Hoàng Văn Tuấn

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Nhóm và p - nhóm hữu hạn 3

1.2 Một số khái niệm và kết quả trong số học và đại số tuyến tính 10 CHƯƠNG 2 TÁC ĐỘNG NHÓM 14

2.1 Tác động nhóm trên một tập hợp 14

2.2 Ví dụ về tác động nhóm trên một tập hợp 20

2.3 Tác động nhóm trên một nhóm 23

2.4 Ví dụ về tác động nhóm trên một nhóm 23

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA TÁC ĐỘNG NHÓM 25

3.1 Ứng dụng của tác động nhóm trong lý thuyết nhóm 25

3.1.1 Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm 25

3.1.2 Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh một số kết quả của lý thuyết nhóm 31

3.2 Một số ứng dụng của tác động nhóm trong số học và đại số tuyến tính 41

3.2.1 Chứng minh Định lý nhỏ của Fermat 41

3.2.2 Ứng dụng của tác động nhóm trong đại số tuyến tính 43 KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tác động nhóm là một trong các nội dung cơ bản của lý thuyếtnhóm, có nhiều ứng dụng quan trọng không những trong lý thuyết nhóm

mà còn cả trong một số lĩnh vực khác của toán học Trong các giáo trình

lý thuyết nhóm bậc đại học, nội dung tác động nhóm chưa đề cập nhiều,

vì vậy nhằm tìm hiểu tác động nhóm và những ứng dụng của nó, tôichọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là: Tác động nhóm và ứngdụng

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p – nhóm hữu hạn

- Nghiên cứu tác động của nhóm trên một tập hợp, trên một nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quanđến nội dung đề tài Đặc biệt là các tài liệu về tác động nhóm

- Phân tích, khảo sát các tư liệu thu thập được

- Tự nghiên cứu và trao đổi với giáo viên hướng dẫn để thực hiện

đề tài

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại những kiến thức cơ bản của cấu trúc nhóm,

p - nhóm và một số khái niệm, kết quả của đại số hiện đại để làm cơ sởcho các chương sau

Chương này trình bày một số ứng dụng của tác động nhóm trong

lý thuyết nhóm, trong số học và trong đại số tuyến tính

3.1 Ứng dụng của tác động nhóm trong lý thuyết nhóm

3.2 Một số ứng dụng của tác động nhóm trong số học và đại sốtuyến tính

CHƯƠNG1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại những kiến thức cơ bản của cấu trúc nhóm,

p - nhóm và một số khái niệm, kết quả của đại số hiện đại để làm cơ sởcho các chương sau Các chi tiết liên quan có thể xem trong các tài liệu[5], [7], [9], [11], [12], [13]

1.1 Nhóm và p - nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1.[9] Cho một tập không rỗng G và một phép toánhai ngôi trên G được ký hiệu bởi •, cặp (G, •) được gọi là một nhóm nếu(i) Với mọi x, y, z ∈ G, (x • y) • z = x • (y • z)

(ii) Tồn tại một phần tử ký hiệu e ∈ G, gọi là phần tử đơn vị, saocho: x • e = e • x = x, với mọi x ∈ G

(iii) Với mỗi x ∈ G có một phần tử nghịch đảo trong G, nghĩa là cómột phần tử x−1 ∈ G sao cho: x • x−1 = x−1 • x = e

Nếu với mọi x, y ∈ G, x • y = y • x thì (G, •) được gọi là một nhómabel (hay nhóm giao hoán)

Nếu không sợ nhầm lẫn với phép toán, ta còn nói G là một nhómthay cho nhóm (G, •)

Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn Lúc

đó số phần tử của tập hợp G được gọi là cấp của nhóm G và ký hiệu là

|G| Nếu nhóm G không phải là nhóm hữu hạn thì ta nói G là nhóm (cócấp) vô hạn

Định nghĩa 1.1.2.[7] Một nhóm có cấp là một lũy thừa của một

số nguyên tố p được gọi là một p - nhóm

Định nghĩa 1.1.3.[9] Giả sử G là một nhóm Một tập con khôngrỗng S ⊂ G được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với

luật hợp thành trong G và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong

G, tức là:

• ∀x, y ∈ S, xy ∈ S

• ∀x ∈ S, x−1 ∈ S

Mệnh đề 1.1.4.[9] Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của mộtnhóm X Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) A là một nhóm con của X

(ii) Với ∀x, y ∈ A, xy−1 ∈ A

Định nghĩa 1.1.5.[7]

(i) Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H vừa là mộtnhóm con của G vừa là một p - nhóm

(ii) Nhóm H được gọi là p - nhóm con Sylow của G nếu H là một

p - nhóm con của G và |H| = pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết |G|.Mệnh đề 1.1.6.[9] Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của mộtnhóm G cũng là nhóm con của G

Định nghĩa 1.1.7.[7] Cho G là một nhóm và X là một tập conkhác rỗng của G Nhóm con của G sinh bởi tập X là giao tất cả cácnhóm con của G chứa X, ký hiệu hXi

hXi = {x1ε 1x2ε2 xnεn/xi ∈ X, εi = ±1, n ∈ N}

Nhận xét 1.1.8.[9] hXi là nhóm con nhỏ nhất của G có chứa X.Nếu hXi = G thì ta nói G là nhóm được sinh bởi X và X là tập sinhcủa G

Định nghĩa 1.1.9.[9] Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu Xđược sinh ra bởi một phần tử a ∈ X, kí hiệu hai Phần tử a được gọi làmột phần tử sinh của X

Nhóm cyclic cấp n được ký hiệu là C(n) hoặc Cn

Mệnh đề 1.1.10.[7] Mọi nhóm con của một nhóm cyclic là nhómcyclic.

Định nghĩa 1.1.11.[7] Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị

e, a ∈ G Nếu am 6= e, ∀m ∈ N∗ thì a gọi là có cấp vô hạn Nếu m là

số nguyên dương nhỏ nhất sao cho am = e thì m được gọi là cấp của a.Cấp của phần tử a được ký hiệu là ord(a)

Từ định nghĩa trên ta có ord(a) = hai

, ord(a) = e ⇔ a = e

Định nghĩa 1.1.12.[7] Cho G là một nhóm và H là một nhómcon của G Khi đó với mỗi a ∈ G, các tập hợp aH = {ah, h ∈ H} và

Ha = {ha, h ∈ H} lần lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của Htrong G bởi phần tử a

Mệnh đề 1.1.13.[7] Hai lớp kề trái của H hoặc trùng nhau hoặckhông có phần tử nào chung, các lớp kề phải cũng vậy Như thế, nhóm

G được phân hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng, các lớp

∀g ∈ G, ∀x ∈ A, g−1xg ∈ A

Mệnh đề 1.1.16.[9] Giả sử A là một nhóm con của nhóm mộtnhóm G Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) A là một nhóm con chuẩn tắc.

(ii) xA = Ax với mọi x ∈ G

Khi A là nhóm con chuẩn tắc của G, thì các lớp kề trái, lớp kề phảicủa A được gọi là các lớp kề của A trong G

Mệnh đề 1.1.17.[7] Cho G là một nhóm Ký hiệu

Z(G) = {a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G}

Khi đó Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của G, gọi là nhóm con tâmcủa nhóm G

Mệnh đề 1.1.18.[7] Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm

G thì G/H cùng với phép nhân (xH).(yH) = (xy)H, với ∀x, y ∈ G lậpthành một nhóm

Định nghĩa 1.1.19.[7] Nhóm G/H được gọi là nhóm thương củanhóm G theo nhóm con chuẩn tắc H

Mệnh đề 1.1.20.[13] Cho G là một nhóm và H là một nhóm concủa Z(G) Khi đó, nếu G/H là nhóm cyclic thì G là nhóm abel

Định lý 1.1.21.[7] (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và

H là một nhóm con bất kỳ của nó Khi đó |G| là một bội của |H|.Chứng minh

Theo Mệnh đề 1.1.13, hai lớp kề trái của H trong G hoặc trùng nhauhoặc không có phần tử nào chung Do đó, G được phân tích thành hợprời của các lớp kề trái của H Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng số phần

tử của mỗi lớp kề trái là không đổi, cụ thể là số phần tử của xH = |H|,với mọi x ∈ G Thật vậy, phép tương ứng:

Nhận xét 1.1.24.[7] Cho G là một nhóm hữu hạn và H là mộtnhóm con của nhóm G Khi đó:

|G| = |H|.[G : H]

Giả sử K và H là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân).Trên tập hợp tích G = H × K = {(h, k)/h ∈ H, k ∈ K} ta định nghĩamột luật hợp thành như sau:

(h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1k2); (h1, k1), (h2, k2) ∈ H × K

Dễ dàng kiểm tra lại rằng G cùng phép toán đó lập nên một nhóm,

có phần tử đơn vị là e = (eH, eK) và phần tử nghịch đảo của (h, k) là(h, k)−1 = (h−1, k−1)

Định nghĩa 1.1.25.[7] Nhóm G = H × K xây dựng như trên đượcgọi là tích trực tiếp của hai nhóm H và K

Mệnh đề 1.1.26.[13] Nếu K là một nhóm con chuẩn tắc của G và

L là một nhóm con của G/K thì G có một nhóm con H chứa K sao cho

L = H/K Nếu L là một nhóm con chuẩn tắc của G/K thì H là nhómcon chuẩn tắc của G Ngoài ra, nếu H1/K = H/K, với H1 và H đều là

Mệnh đề 1.1.27.[7] Cho A là một nhóm con của G Khi đó:

CG(A) = {c ∈ G/ca = ac, ∀a ∈ A} là một nhóm con của G

Định nghĩa 1.1.28.[7] Ta gọi CG(A) và NG(A) lần lượt là nhómcon tâm hóa và nhóm con chuẩn hóa của A trong G.

Định nghĩa 1.1.29.[15] Hai nhóm con S và T của nhóm G đượcgọi là liên hợp nếu có một phần tử g ∈ G sao cho g−1Sg = T , trong đó

Đặc biệt, khi tập X = {1, 2, 3, , n} thì nhóm đối xứng của X được

ký hiệu bởi Sn Mỗi s ∈ Sn còn được biểu diễn như sau:

Định nghĩa 1.1.32.[9] Giả sử G và G0 là các nhóm (với phép toánnhân) Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu:

Định nghĩa 1.1.34.[9] Cho ϕ : G → G0 là một đồng cấu nhóm Ta

ký hiệu:

Kerϕ = {x ∈ G/ϕ(x) = 1G0} = ϕ−1(1G0)

Imϕ = {ϕ(x) ∈ G0, x ∈ G} = ϕ(G).

Kerϕ và Imϕ lần lượt gọi là hạt nhân và ảnh của đồng cấu ϕ

Định nghĩa 1.1.35.[9] Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơnánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) được gọi là một đơn cấu (tương ứngtoàn cấu, đẳng cấu) nhóm

kerϕ và Imϕ lần lượt là các nhóm con tương ứng của G và G0

Kerϕ = {e}, trong đó e là đơn vị của G

Mệnh đề 1.1.38.[7] Giả sử G là một nhóm Gọi Aut(G) là tập hợptất cả các đẳng cấu nhóm từ G vào chính nó Khi đó, Aut(G) là mộtnhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ

Định nghĩa 1.1.39.[7] Nhóm Aut(G) được xác định như trên gọi

là nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G

Mệnh đề 1.1.40.[1] Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm cyclic cấp 4

là nhóm cyclic cấp 2

Nếu C4 = hai thì Aut(C4) có hai phần tử xác định bởi bảng sau:

1.2 Một số khái niệm và kết quả trong số học và đại số tuyếntính

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử a, b là các số nguyên Ta nói rằng a đồng

dư b modulo m nếu (a − b)|m, với m ∈ N∗

Khi a đồng dư b modulo m ta viết

trận vuông cấp n không suy biến, với các phần tử là những số thực R.

thành một nhóm

Định nghĩa 1.2.5.[11] Cho ma trận A = aij



m×n, ta gọi ma trậnchuyển vị của A là ma trận có được từ A bằng cách đổi hàng thành cộthoặc cột thành hàng (theo đúng thứ tự), và ký hiệu là tA

Định Nghĩa 1.2.6 Một ma trận vuông A gọi là ma trận đối xứngnếu nó bằng chuyển vị của chính nó, tức là tA = A Nói cách khác, matrận A =aij

Mệnh đề 1.2.8.[12] Ký hiệu O(n,R) là tập gồm tất cả các ma trậntrực giao cấp n trên trường số thực R Tập O(n,R) là một nhóm vớiphép hợp thành là phép nhân hai ma trận, và được gọi là nhóm các matrận trực giao

Cho α ∈ R, α 6= 0, ký hiệu Pij, Qij(α) và Ri(α) lần lượt là ma trậnvuông cấp n có được từ ma trận đơn vị E cấp n, bằng cách đổi chổ hàng

i với hàng j, cộng thêm vào hàng i bội α của hàng j và nhân các phần

tử của hàng i với số α

Nhận xét 1.2.9 Nếu A là ma trận vuông cấp n, ta có

a) Qij(α)A (tương ứng AQij(α)) là ma trận có được từ A bằng cáchcộng thêm vào hàng i bội α của hàng j (tương ứng cộng thêm vào cột jbội α của cột i)

b) PijA (tương ứng với APij) là ma trận có được từ A bằng cách đổichổ hàng i với hàng j (tương ứng đổi chổ cột i với cột j)

c) Các ma trận Pij, Qij(α), Ri(α) là các ma trận khả nghịch, vàchúng lập thành một hệ sinh của nhóm GL(n,R)

d) tPij = Pji,tQij(α) = Qji(α),tRi(α) = Ri(α)

Định nghĩa 1.2.10.[12] Giả sử V là một không gian vectơ trêntrường K Ánh xạ ϕ : V × V → K được gọi là một dạng song tuyến tínhtrên không gian vectơ V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn vớimọi vectơ x, x0, y, y0 thuộc V và mọi phần tử λ thuộc K ta có

(i) ϕ(x + x0, y) = ϕ(x, y) + ϕ(x0, y)

(ii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y)

(iii) ϕ(x, y + y0) = ϕ(x, y) + ϕ(x, y0)

(iv) ϕ(x, λy) = λϕ(x, y)

Nếu dạng song tuyến tính ϕ thỏa thêm điều kiện ϕ(x, y) = ϕ(y, x),với ∀x, y ∈ V thì ta nói ϕ là dạng song tuyến tính đối xứng trên V Định nghĩa 1.2.11.[12] Giả sử ϕ là dạng song tuyến tính đối xứngtrên trường K - không gian vectơ V , khi đó ánh xạ ω : V → K xácđịnh bởi: ω(x) = ϕ(x, x), ∀x ∈ V được gọi là một dạng toàn phương trênkhông gian vectơ V sinh bởi dạng song tuyến tính đối xứng ϕ

Định nghĩa 1.2.12.[12] Giả sử e = (ei)i=1,n là một cơ sở của

K - không gian vectơ n chiều V , ϕ là một dạng song tuyến tính đối xứngtrên V và ω là một dạng toàn phương trên V sinh bởi ϕ

Ký hiệu aij = ϕ(ei, ej) ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n Khi đó dạng toàn phương

Trong đó (x1, x2, , xn) là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở e

Ta gọi hệ thức (1.1) là biểu thức tọa độ của dạng toàn phương ω(x)đối với cơ sở e, và gọi ma trận vuông A = aij

n là ma trận của dạngtoàn phương ω(x) đối với cơ sở e

Nhận xét 1.2.13.[12] Vì ϕ là dạng song tuyến tính đối xứng nên

aij = ϕ(ei, ej) = ϕ(ej, ei) = aji, ∀i, j = 1, n, và do đó

(i) Ma trận của một dạng toàn phương là ma trận đối xứng

(ii) Biểu thức tọa độ của một dạng toàn phương còn được viết

Định nghĩa 1.2.15.[10] Cho ω là một dạng toàn phương trên

K - Không gian vectơ n chiều V Nếu đối với một cơ sở nào đó của V

ta gọi hệ thức trên là dạng chính tắc của dạng toàn phương ω(x)

Nhận xét 1.2.16.[10] Ma trận của một dạng toàn phương có biểuthức tọa độ có dạng chính tắc là một ma trận chéo

Mệnh đề 1.2.17.[3] Cho ω(x) là một dạng toàn phương của mộtkhông gian vectơ n chiều V Khi đó trên V tồn tại một cơ sở, để đối với

cơ sở này biểu thức tọa độ của ω có dạng chính tắc (và khi đó ma trậncủa ω đối với cơ sở này là ma trận chéo).

Định nghĩa 1.2.18.[10] Cho ω là một dạng toàn phương trên mộtkhông gian vectơ n chiều V Việc tìm trong V một cơ sở để đối với cơ

sở này biểu thức tọa độ của ω có dạng chính tắc, được gọi là đưa dạngtoàn phương về dạng chính tắc

Hệ quả 1.2.19.[10] Mọi dạng toàn phương trên một không gianvectơ hữu hạn chiều đều đưa được về dạng chính tắc

CHƯƠNG2 TÁC ĐỘNG NHÓM

Chương này trình bày những kiến thức cơ sở của tác động nhómtrên một tập và trên một nhóm, cùng một số tính chất và kết quả liênquan Nội dung chính của chương này được tham khảo từ các tài liệu[8], [20], [21]

(i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X với e là phần tử đơn vị

cả các véctơ trong không gian ba chiều, X = {(a, b, c)/a, b, c ∈ R} Khi

đó G tác động trên X qua phép nhân vô hướng g.(a, b, c) = (ga, gb, gc),với mỗi số thực g khác 0

b) Mọi nhóm con G của nhóm đối xứng Sn tác động trên tập

X = {1, 2, 3, , n}

Thật vậy, xét ánh xạ *: G × X → X với (σ, x) 7→ σ ∗ x = σ (x) Tacó

(i) e ∈ G, ∀x ∈ X, e ∗ x = e(x) = x

(ii) ∀σ1, σ2 ∈ G, ∀x ∈ X

Ta có: (σ1σ2) ∗ x = (σ1σ2)(x) = σ1(σ2(x)) = σ1(σ2∗ x) = σ1∗ (σ2∗ x)

Bổ đề 2.1.2.[8] Cho X là một G – tập, khi đó ánh xạ Tg : X → Xvới x 7→ Tg(x) = g ∗ x là một song ánh, nói cách khác Tg là một phépthế của tập X

đề sau đây cho ta điều ngược lại.

Mệnh đề 2.1.4.[20] Cho G là một nhóm, X là một tập Mỗi đồngcấu nhóm ϕ : G → S(X) xác định một tác động của G trên tập X.Xét ánh xạ ∗ : G × X → X với (g, x) 7→ g ∗ x = ϕ(g)(x)

Khi đó ∀g1, g2 ∈ G, ∀x ∈ X ta có

(i) Với eG ∈ G, ∀x ∈ X ta có eG∗ x = ϕ (eG) (x) = idX(x) = x(ii) (g1g2) ∗ x = ϕ (g1g2) (x) = [ϕ (g1) ◦ ϕ (g2) ] (x) (vì ϕ là đồng cấu)

= ϕ (g1) [ϕ (g2) (x)] = ϕ (g1) (g2 ∗ x) = g1 ∗ (g2 ∗ x)

Vây ánh xạ ∗ : G × X → X với (g, x) 7→ g ∗ x = ϕ(g)(x) xác địnhmột tác động của G trên X

Như vậy với mỗi tác động của nhóm G trên tập X xác định mộtđồng cấu T : G → S(X) Ngược lại với mỗi đồng cấu từ nhóm G đếnnhóm S(X) ta xác định một tác động của nhóm G trên tập X

Định Nghĩa 2.1.5.[20] Một tác động của nhóm G trên tập X đượcgọi là trung thành nếu đồng cấu T : G → S(X), với T (g) = Tg là mộtđơn cấu

Mệnh đề 2.1.6.[8] Cho một tác động của nhóm G trên tập X, và

x ∈ X Khi đó: Gx = {g ∈ G/g ∗ x = x} là một nhóm con của G

Suy ra g1g2−1 ∈ Gx Vậy Gx là nhóm con của G

Định nghĩa 2.1.7.[8] Cho một tác động của nhóm G trên tập X

(i) Tập S ⊂ X được gọi là ổn định dưới tác động của G nếu:

(iii) Với mỗi x ∈ X, tập con Gx = {g ∗ x/g ∈ G} của X được gọi

là quỹ đạo của x đối với tác động của G Rõ ràng Gx là một tâp con ổnđịnh dưới tác động của G

(iv) Phần tử x ∈ X được gọi là ổn định dưới tác động của nhóm

G nếu Gx = {x}

Ví dụ

Cho GL(2,R) là nhóm các ma trận cấp 2, khả nghịch và tập R2Xét tác động:



xy





xy

)

= {0}

Nhóm con ổn định của 0 =



00



∈ R2

!

= 0

Suy ra T đơn cấu

Định nghĩa 2.1.8.[20] Nếu nhóm G tác động trên tập X chỉ cómột quỹ đạo, thì ta nói G tác động bắc cầu trên X

Do đó “∼” là một quan hệ tương đương với x0 ∈ X.

Lớp tương đương ¯x0 chính là quỹ đạo Gx0 của x0

Từ tính chất của các lớp tương đương, ta có:

Hệ quả 2.1.10 Cho G là một nhóm, X là một G – Tập, khi đó:

Định nghĩa 2.1.11.[8] Giả sử X và Y là hai G – tập Một ánh xạ

f : X → Y được gọi là một đồng cấu của G – tập (hoặc G – đồng cấu)nếu:

Gxi

= P

i∈I(G : Gxi)

2.2 Ví dụ về tác động nhóm trên một tập hợp

Ví dụ 2.2.1 Cho G là một nhóm Với mọi g ∈ G, xét ánh xạ

∗ : G × G −→ G

(g, x) 7−→ g ∗ x = gxg−1Khi đó G tác động liên hợp trên chính nó

- Nhóm con ổn định của x qua tác động của G là

Gx = {g ∈ G : g ∗ x = x} = {g ∈ G : gxg−1 = x}

= {g ∈ G : gx = xg} = CG(x)với CG(x) là nhóm con tâm hóa

Khi đó với ∀g1, g2 ∈ G ta có:

T (g1) = T (g2) ⇔ Tg1 = Tg2 ⇔ g1 ∗ x = g2 ∗ x ⇔ g1xg1−1 = g2xg2−1

⇔ g2−1g1x = xg2−1g1 ⇔ g2−1g1 ∈ Z (G)Vậy nếu Z(G) = {e} thì G tác động liên hợp trên chính nó là tác độngtrung thành

Ví dụ 2.2.2 Cho S là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G vànhóm G/S = {xS : x ∈ G} là nhóm thương của S trong G

Xét ánh xạ

∗ : G × G/S −→ G/S

(g, xS) 7−→ g ∗ (xS) = gxSĐây là một tác động của G trên lớp kề trái của S

Như với tác động nhóm G tập X xác định mộtđồng cấu T : G → S(X) Ngược lại với đồng cấu từ nhóm G đếnnhóm S(X) ta xác định tác động nhóm G tập X

Định... ổn định tác động G nếu:

(iii) Với x ∈ X, tập Gx = {g ∗ x/g ∈ G} X gọi

là quỹ đạo x tác động G Rõ ràng Gx tâp ổnđịnh tác động G

(iv) Phần tử x ∈ X gọi ổn định tác động nhóm

G... g2−1g1 ∈ Z (G)Vậy Z(G) = {e} G tác động liên hợp tác độngtrung thành

Ví dụ 2.2.2 Cho S nhóm chuẩn tắc nhóm G v? ?nhóm G/S = {xS : x ∈ G} nhóm thương S G

Xét ánh xạ

∗