Nghiên cứu tính chất đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon

Bài viết trình bày khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon. Chúng tôi nhận thấy rằng, trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái rối hai mode theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy. Vì vậy, chúng tôi sẽ sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để thực hiện viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Kết quả cho thấy quá trình viễn tải thành công.

LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP

CẶP THÊM MỘT PHOTON

PHÙNG THỊ MẬN - LÊ ANH HOÀNG NGÔ LÊ PHƯỚC - HOÀNG THỊ THANH VÂN

Khoa Vật lý

Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi khảo sát tính chất đan rối của

trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon Chúng tôi nhận thấy

rằng, trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng

thái rối hai mode theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Vì vậy, chúng

tôi sẽ sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để thực hiện viễn tải

lượng tử một trạng thái kết hợp Kết quả cho thấy quá trình viễn tải

thành công

Từ khóa: Đan rối, viễn tải, trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một

photon, tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, độ trung thực

1 GIỚI THIỆU

Rối lượng tử và ứng dụng của nó là viễn tải lượng tử có vai trò quan trọng trong thông tin lượng tử và máy tính lượng tử, đó là chìa khóa cho sự phát triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử Đây là lĩnh vực thu hút nhiều sự chú ý của các nhà khoa học trên toàn thế giới Một ứng dụng quan trọng của hướng nghiên cứu này là hiện tượng

"viễn tải lượng tử", hiện tượng dịch chuyển thông tin cũng như vật chất theo phương thức

mà không phải di chuyển qua không gian Vào năm 1993, lần đầu tiên một mô hình chung

về viễn tải được đưa ra bởi Benett và các cộng sự [1] Năm 1997, Braustein và Kimble đưa

ra mô hình viễn tải biến liên tục với nguồn rối hoàn toàn [2] Sau đó, nhiều mô hình viễn tải sử dụng các hình thức khác nhau như sử dụng trạng thái Fock [3], các trạng thái biên

độ trực giao [4] Trong đó, mô hình viễn tải được sử dụng hình thức biểu diễn dưới dạng trạng thái kết hợp được sử dụng nhiều [5] Trước đây, các trạng thái Gauss thường được

sử dụng trong mô hình viễn tải nguồn rối, cụ thể là trạng thái nén chân không hai mode được sử dụng phổ biến [6] Hiện nay, các nhà khoa học đang tiếp tục tập trung nghiên cứu

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2016-2017

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, tháng 12/2016: tr 413-419

mô hình viễn tải biến liên tục [7], sử dụng trạng thái phi Gauss làm nguồn rối và mở rộng với các trạng thái rối đa mode, với mục đích xây dựng một mô hình viễn tải phù hợp để viễn tải hoàn hảo một trạng thái lượng tử Một quá trình viễn tải được cho là thành công nếu độ trung thực trung bình nằm trong khoảng 0.5 ≤ Fav ≤ 1 Gần đây, Agarwal đã viễn tải thành công trạng thái kết hợp với nguồn rối là trạng thái kết hợp cặp [8]

Trạng thái kết hợp cặp là trạng thái riêng trực chuẩn cặp toán tử hủy boson ˆaˆb và toán

tử điện tích Q = ˆa†a − ˆb†b với hàm tương ứng ξ và q như sau

ˆ Q|ξ, qi = q|ξ, qi, ˆaˆb|ξ, qi = ξ|ξ, qi, (1) trong đó, ξ là một số phức ξ = rexp(iϕ) và q là một số nguyên không âm, ξ|ξ, qi là một trạng thái kết hợp cặp Giả sử các photon trong mode a lớn hơn trong mode b, điều đó tương ứng q ≥ 0 Khi khai triển theo trạng thái Fock thì trạng thái kết hợp cặp được biểu diễn dưới dạng

|ξ, qi = Nq

∞

X

n=0

ξn

trong đó, |n + q, ni là các trạng thái Fock hai mode và thừa số chuẩn hóa Nq là

Nq=

 |ξ|2n

n!(n + q)!

− 1

Trạng thái kết hợp thêm photon là một trạng thái phi cổ điển, được tạo ra bởi sự tương tác của nguyên tử hai mức với một trường đơn mode và được định nghĩa như sau [9]

|α, m >= ˆa

†m|αi

Mở rộng cho trường hợp hai mode ta thu được trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon có dạng

|ψiab = N (ˆa†+ ˆb†)|ξ, qiab, (5)

với ˆa†, ˆb† lần lượt là toán tử sinh đối với mode a và mode b, N là hệ số chuẩn hóa

N =

"

Nq2

∞

X

n=0

|ξ|2n(2n + q + 2) n!(n + q)!

#− 1 2

Chúng tôi nhận thấy trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái rối hai mode Vì vậy, chúng tôi sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để viễn tải lượng

tử Trước khi thực hiện viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp, chúng tôi sẽ chứng minh trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái rối theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [10]

2 TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP CẶP THÊM MỘT PHOTON

Hillery-Zubairy đã đưa ra các điều kiện dò tìm đan rối bởi một loạt các bất đẳng thức từ việc khảo sát các hệ thức bất định Các đại lượng được khảo sát là các toán tử sinh và hủy bình phương, các đại lượng được dùng để định nghĩa nén tổng, nén hiệu và các trạng thái nén bậc cao Nhờ các điều kiện mà Hillery-Zubairy đưa ra, lần đầu tiên có thể sử dụng để

dò tìm đan rối trong phòng thí nghiệm Bất đẳng thức điều kiện đan rối tổng quát của Hillery-Zubairy

|hˆamˆbni|2 > h(ˆa†)mˆamih(ˆa†)nˆbni (7)

Xét m=n=1 điều kiện đan rối trở thành

|hˆaˆbi|2 > hˆa†aihˆˆ a†ˆbi (8)

Sử dụng điều kiện đan rối (8) thì một trạng thái hai mode kết hợp cặp bị đan rối nếu thỏa mãn điều kiện

R = hˆa†ˆaihˆb†ˆbi − |hˆaˆbi|2< 0 (9)

Kết quả tính thu được của các biểu thức trung bình là

hˆa†ˆai = N2Nq2

∞

X

n=0

|ξ|2n[(n + q + 1)2+ (n + q)(n + 1)]

hˆb†ˆbi = N2Nq2

∞

X

n=0

|ξ|2n[n(n + q + 1) + (n + 1)2]

hˆaˆbi = N2Nq2

∞

X

n=0

|ξ|2n+1(2n + q + 4)

Thay (10),(11),(12) vào biểu thức điều kiện đan rối R, ta được

R = hˆa†ˆaihˆb†ˆbi − |hˆaˆbi|2

= N4Nq4

∞

X

n=0

|ξ|2n[(n + q + 1)2+ (n + q)(n + 1)]

∞

X

n=0

|ξ|2n[n(n + q + 1) + (n + 1)2]

n!(n + q)!

−

∞

X

n=0

|ξ|2n+1(2n + q + 4) n!(n + q)!

!2



Tiếp theo, ta đi khảo sát đồ thị R theo |ξ| Ta có đồ thị khảo sát tính chất đan rối được thể hiện trên hình vẽ 1

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1 0

Hình 1: Đồ thị khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon

Trên hình 1, chúng tôi khảo sát điều kiện đan rối của trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon khi q = 0 và theo biên độ |ξ| trong khoảng 0 ≤ |ξ| ≤ 0.5 Đồ thị cho thấy rằng R(|ξ|) < 0 nếu biên độ |ξ| nằm trong khoảng 0.28 ≤ |ξ| ≤ 0.5 và biên độ |ξ| càng tăng thì R(|ξ|) càng âm, nghĩa là tính đan rối càng mạnh Như vậy, trạng thái hai mode kết hợp hai mode cặp thêm một photon là một trạng thái rối theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Do đó, trạng thái này có thể được chọn làm nguồn rối trong quá trình viễn tải lượng tử

3 QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP CẶP THÊM MỘT PHOTON

Chúng tôi sử dụng mô hình viễn tải lượng tử biến thiên liên tục để thực hiện viễn tải một trạng thái kết hợp với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon Theo mô hình viễn tải, bên Alice gửi thông tin và bên nhận thông tin Bob cùng chia sẻ trạng thái rối lượng tử hai mode a và b là |ψiab, mode a được gửi đến Alice và mode b được gửi đến Bob Trạng thái được viễn tải là trạng thái hai mode kết hợp cặp |αi tương ứng với mode 1 được đưa vào Alice Để thực hiện viễn tải, Alice thực hiện việc tổ hợp hai trạng thái |αi1 và |ψiab trở thành trạng thái ba mode có dạng

|ψiab1= N (ˆa†+ ˆb†)|ξ, qiab|αi1 (14)

Tiếp theo Alice thực hiện phép đo thông tin về mức độ đan rối giữa mode 1 và a trong phép đo lường Bell Sau phép đo, bên Alice có trạng thái như sau

|ψiA=1ahB(X, P )|ψiab1

= N N√ q

π exp(

β∗α − βα∗

2 )exp(

−|α − β|2

×

∞

X

n=0

ξn(α − β)n+q+1 (n + q)!√n! |nib+

∞

X

n=0

ξn(α − β)n+q√n + 1 (n + q)!√n! |n + 1ib

!

Do Bob và Alice rối với nhau nên Bob cũng có trạng thái tương tự |ψiB ≡ ψiA Kết quả

đo chứa thông tin về mức độ đan rối giữa hai mode 1 và a được tích hợp vào biến phức A(X,P), trong đó X là tổng tọa độ và P là hiệu xung lượng của các photon tương ứng với hai mode 1 và a Kết quả này sẽ được Alice gửi cho Bob bằng kênh thông tin cổ điển hai bit Sau khi nhận được kết quả đo từ Alice, Bob dùng toán tử dịch chuyển ˆDb(β) tác dụng lên trạng thái |ψiB để xây dựng lại trạng thái |αi

Lúc này trạng thái ra tại Bob có dạng

|ψiout= ˆDb(2A)|ψiB

=N

π

∞

X

k=0

(α − β)k

√ k! exp(

β∗α − βα∗

2 )exp(−

|α − β|2

2 ) ˆDb(β)ahk|(a

†+ b†)|ξ, qiab, (16)

trong đó, ˆDb(β) = exp(βˆa†− β∗ˆa) là toán tử dịch chuyển, β là một số phức

Đây là một trạng thái chưa được chuẩn hóa vì còn phụ thuộc vào kết quả đo β, trạng thái sau khi được chuẩn hóa sẽ là

|ψiout−f = 1

Đến lúc này, quá trình viễn tải lượng tử đã được hoàn thành, trạng thái kết hợp |αi đã được viễn tải Nếu quá trình viễn tải hoàn hảo, ta thu được trạng thái ra ψiout−f ≡ |αi

Để xác định mức độ thành công của quá trình viễn tải, chúng ta sẽ đi khảo sát độ trung thực trung bình của quá trình này

Độ trung thực trung bình trong quá trình viễn tải được xác định bởi công thức

Fav= Z

hα|ψouti = N

2Nq2

π exp(−2|α − β|

2)

 ∞

X

n,m=0

2ξnξ∗m(α − β)n+m+q+1(α∗− β∗)n+m+q+1

n!m!(n + q)!(m + q)!

+

∞

X

n,m=0

ξnξ∗m(α − β)n+m+q(α∗− β∗)n+m+q+2

n!m!(n + q)!(m + q) +

∞

X

n,m=0

ξnξ∗m(α − β)n+m+q+2(α∗− β∗)n+m+q

n!m!(n + q)!(m + q)

 (19)

Sau khi tính toán ta được giá trị của độ trung thực trung bình Fav

Fav =

Z

|hα|ψouti|2d2β = N2Nq2

∞

X

m,n

ξnξ∗m(n + m + q + 1)!

n!m!(n + q)!(m + q)!2n+m+q (20)

Kết quả khảo sát của Fav được thể hiện qua hình 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

ÈΞÈ

Fav

Hình 2: Độ trung thực trung bình Fav

Qua đồ thị trên hình 2 cho thấy rằng: Trong quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon, độ trung thực trung bình Fav > 0.5 Điều đó có nghĩa quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái hai mode kết hợp cặp luôn được thực hiện Độ trung thực trung bình không phụ thuộc vào trạng thái được viễn tải

|αi

4 KẾT LUẬN

Trong bài báo này, dựa trên tiêu chuẩn đan rối của Hillery-Zubairy chúng tôi đã chứng minh được trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái rối hai

mode Sau đó, chúng tôi sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để thực hiện viễn tải một trạng thái kết hợp Quá trình viễn tải thành công với độ trung thực trung bình đạt 0.7357 nằm trong khoảng điều kiện viễn tải một trạng thái lượng tử là 0.5 ≤ Fav ≤ 1.0 Tuy viễn tải thành công trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon nhưng độ trung thực trung bình còn thấp Ngày nay, lý thuyết viễn tải lượng tử trong thông tin lượng tử tiếp tục được hoàn thiện, quá trình viễn tải có điều khiển được sử dụng Do đó, quá trình viễn tải sẽ được điều khiển sao cho độ trung thực đạt được giá trị cao nhất

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C.H Bennet, G Crepeau, R Jozsa, A Peres and W.K Wootters (1993), Phys Rev Lett 70, 1895

[2] S.L Braunstein and H.J Kimble (1998), Phys Rev Lett 80, 869

[3] Enk van S.J (1999), Phys Rev A 60, 5095

[4] G.J Milburn and S.L Braunstein (1999), Phys Rev A 60, 937

[5] J Janszky, M Koniorczyk, A Gabris( 2001), Phys Rev A 64, 034302

[6] P.T Cochran, T C Raph and G J Milburn (2001), Conditional two mode squeezed vacuum teleportation

[7] Holger F Hofmann, Toshiki Ide, Takayoshi Kobayashi (2000), Phys Rev A 62 062304

[8] A Gabris, G S Agarwal (2006), Quantum teleportation with pair-coherent states, quant-ph/0607162 vl

[9] S Sivakumar (1999), Photon-added coherent states, J Phys A Math Gen 32 3441-7

[10] M Hillery and M S Zubairy (2006), Phys Rev A 74, 032333

PHÙNG THỊ MẬN

LÊ ANH HOÀNG

NGÔ LÊ PHƯỚC

HOÀNG THỊ THANH VÂN

SV lớp VLTT 4,khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

ĐT: 0166 935 9577, Email: phungthiman.291995@gmail.com