Bài viết trình bày việc sử dụng phương trình CallanSymanzik để biểu diễn tập hợp các phép biến đổi trong nhóm tái chuẩn hóa dưới dạng giải tích và tính các biểu thức giải tích cho các hàm β một vòng cho các liên kết Yukawa trong mô hình chuẩn.
Trang 1NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG
Khoa Vật lý
Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi sử dụng phương trình
Callan-Symanzik để biểu diễn tập hợp các phép biến đổi trong nhóm tái chuẩn
hóa dưới dạng giải tích và tính các biểu thức giải tích cho các hàm β
một vòng cho các liên kết Yukawa trong mô hình chuẩn
1 GIỚI THIỆU
Mô hình chuẩn được công nhận là đúng thông qua những thí nghiệm kiểm chứng hiện đại nhất ngày nay, tuy nhiên nó vẫn chưa hoàn chỉnh để có thể mô tả tự nhiên một cách trọn vẹn Điều đó có nghĩa là việc tìm hiểu và nghiên cứu sự mở rộng mô hình chuẩn rất cần thiết trong việc tìm hiểu bản chất của các hạt cơ bản nói riêng và hoàn thiện các lí thuyết
về vật lí hạt nói chung Một trong những điểm hạn chế của mô hình chuẩn là không giải thích một cách động lực hiện tượng phá vỡ đối xứng Theo đó, việc so sánh thang năng lượng của mô hình này và mô hình mở rộng trong đó xảy ra sự phá vỡ đối xứng động lực thông qua hàm beta cho các hệ số liên kết rất quan trọng Việc nghiên cứu các phương trình nhóm tái chuẩn hoá và hàm beta một vòng đã được các nhà vật lý hạt trên thế giới nghiên cứu Chẳng hạn, Cheng và Li đã đưa ra biểu thức giải tích của các hàm beta một vòng và hai vòng cho các hệ số liên kết gauge trong mô hình chuẩn Tuy nhiên, vì mô hình này giải thích sự tồn tại khối lượng của các hạt thông qua hiện tượng phá vỡ đối xứng
tự phát nên các hàm beta một vòng cho các liên kết Yukawa trong mô hình chuẩn chưa được quan tâm Theo đó, chúng tôi chọn đề tài này nhằm mục đích khảo sát thang năng lượng xảy ra hiện tượng phá vỡ đối xứng động lực, từ đó có hướng để mở rộng mô hình chuẩn phù hợp Đây là vấn đề mà một số đề tài nghiên cứu khoa học, luận văn cao học, khoá luận tốt nghiệp gần đây quan tâm nghiên cứu Bài báo này đề cập đến việc sử dụng phương trình Callan-Symanzik và thành lập biểu thức hàm β một vòng cho các hệ số liên kết Yukawa trong mô hình chuẩn
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 62-66
Trang 2Đạo hàm của hàm Green không tái chuẩn hóa theo khối lượng tương đương với sự thêm vào toán tử đa hợp Ω0 = 1
2φ
2
0 mang xung lượng bằng không
∂Γ(n)(pi)
∂µ2 0
và Γ(n)(pi) chỉ phụ thuộc vào µ20 thông qua hàm truyền trần
ı∆0(p) = ı
p2− µ2
trong đó,
∂
∂µ20
ı
p2− µ2
0+ ıε
p2− µ2
0+ ıε(−ı)
ı
p2− µ2
Dưới dạng của các hàm Green tái chuẩn hóa (1PI), ta có thể viết
Γ(n)R (pi; λ, µ) = Zφn/2Γ(n)(pi; λ0, µ0), (4)
Γ(n)φ2 R(p, pi; λ, µ) = Zφ−12Zφn/2Γ(n)φ2(p, pi; λ0, µ0) (5) Sau khi thế (4) và (5) vào (1) và sử dụng mối liên hệ
∂
∂µ20Γ
(n)
R (pi; λ, µ) = ∂µ2
∂µ20
∂
∂µ2 + ∂λ
∂µ20
∂
∂λ
Γ(n)R (pi; λ, µ), (6)
phương trình Callan-Symanzik trong lý thuyết λφ4 có dạng
µ ∂
∂µ + β
∂
∂λ − nγ
Γ(n)R (pi; λ, µ) = −ıµ2αΓ(n)φ2 R(0, pi; λ, µ), (7) trong đó, α, β và γ là các hàm không thứ nguyên
β = 2µ2 ∂λ/∂µ
2 0
γ = µ2∂ ln Zφ/∂µ
2 0
α = ∂Zφ2/∂µ
2 0
Trong các tính toán cụ thể cho các hàm α, β và γ, việc sử dụng sự phụ thuộc cut-off (Λ) của các hằng số Zλ, Zφ rất thuận lợi Trong lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hóa với các đại lượng không tái chuẩn hóa λ0 và µ0, các tham số tái chuẩn hóa µ và λ được định nghĩa trong các phương trình
Trang 3với
¯
là các hàm của λ0 µ0 và Λ Xét trên phương diện thứ nguyên, λ và Zis chỉ có thể phụ thuộc vào các đại lượng không thứ nguyên như λ0 và Λ/µ0 Nếu µ0 được thay bằng
µ = µ(λ0, µ0, Λ), thì λ = λ(λ0, Λ/µ) và Zi = Zi(λ0, Λ/µ) Sử dụng quy tắc dây chuyền (chain) của đạo hàm
∂
∂µ20λ(λ0, Λ/µ)|Λ,λ=
∂µ2
∂µ20
∂
dẫn đến
β = −λ ∂
và
γ = −1 2
∂
Như vậy, khi số hạng ln Λ trong các biểu thức Zis được thiết lập, hàm β và γ của phương trình Callan-Symanzik sẽ được xác định Giữa hàm α và γ có mối liên hệ với nhau Chẳng hạn khi n = 2
Vì các đại lượng tái chuẩn hóa Γ(n)R và Γ(n)φ2 Rđều không phụ thuộc cut-off vào mọi bậc của λ nên các hàm α, β và γ đều không phụ thuộc cut-off Điều này chứng tỏ γ không phụ thuộc cut-off Mọi hàm trừ hàm β trong phương trình (1.67) bây giờ đều độc lập với cut-off; theo
đó, hàm β cũng không phụ thuộc cut-off Vì các hàm α, β và γ đều không thứ nguyên nên
sự không phụ thuộc vào cut-off chứng tỏ rằng chúng chỉ là các hàm của hằng sồ liên kết không thứ nguyên, nghĩa là, α = α(λ), β = β(λ) và γ = γ(λ)
Phương trình Callan-Symanzik tổng quát cho các hàm Green chứa một số toán tử đa hợp (composite) A, B, C như sau
µ ∂
∂µ + β
∂
∂λ− nγ + γAB
n
Γ(n)AB
o
R= −ıµ2α
n
Γ(n)φ2 AB
o
trong đó
n
G(n)AB o
R = ZA−1ZB−1· · · Zφ−n/2nG(n)AB o
n
Γ(n)AB o
R = ZA−1ZB−1· · · Zφn/2nΓ(n)AB o
γAB = −1
2
∂
Trang 43 HÀM β MỘT VÒNG CHO CÁC HỆ SỐ LIÊN KẾT YUKAWA TRONG MÔ HÌNH CHUẨN
Nhóm gauge được sử dụng trong mô hình chuẩn là SU (3)c⊗ SU (2)L⊗ U (1)Y tương ứng với hệ số liên kết gauge g1, g2, g3 Khi nghiên cứu sự thay đổi của hệ số liên kết gauge theo thang năng lượng, để thuận tiện hệ số liên kết α được sử dụng, trong đó αi= g
2 i
4π, i = 1, 2, 3. Bằng việc sử dụng quy tắc thứ nguyên, hàm β một vòng cho các hệ số liên kết gauge được tính toán có dạng như sau
1
α1 = 59 −
41
1
α2 = 29.6 −
19
1
α3
0.07 −
7
trong đó t = log
E 91.2
Các phương trình vi phân (22), (23) và (24) có thể được tính số theo phương pháp Runge Kutta được cho bởi hình
Từ hình vẽ, chúng tôi thấy rằng, hệ số liên kết α1, α2 giảm khi năng lượng tăng Các hệ số này bằng nhau khi t = 25.4 tương ứng năng lượng vào bậc 1023GeV Trong khi đó, hệ số
α3 tăng khi năng lượng tăng các giá trị α2 gặp nhau tại thang năng lượng 1023GeV Như thế, khi chỉ xét đến sự tự tương tác của các trường gauge, thang năng lượng thống nhất lớn hơn thang Plank 1019GeV (thang năng lượng tại đó lý thuyết trường lượng tử có hiệu lực)
Trang 54 KẾT LUẬN
Trong bài báo này, chúng tôi đã thu nhận được biểu thức giải tích và số cho các hàm β một vòng cho các liên kết gauge trong mô hình chuẩn Từ các kết quả đã nghiên cứu ở phần trước chứng tỏ rằng trong giới hạn mô hình chuẩn, lý thuyết về thống nhất tương tác không thể thực hiện được do thang năng lượng thống nhất lớn hơn thang Plank Điều này dẫn đến một hệ quả tất yếu, đó là sự cần thiết mở rộng mô hình chuẩn và hoàn chỉnh thêm lý thuyết thống nhất tương tác
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viễn Thọ (2002), Cơ Sở Lý Thuyết Trường Lượng Tử, NXB Giáo dục [2] S Chatrchyan et al., [CMS Collaboration], Phys Lett B716, 30 (2012); G Aad et al., [ATLAS Collaboration], Phys Lett B716, 1 (2012)
[3] Salam A and Ward J C., Nuovo Cim 19, 165 (1961
[4] Englert F and Brout R., Phys Rev Lett 13, 321 (1964)
[5] Guralnik G S., Hagen C R., and Kibble T W B., Phys Rev Lett 13, 585 (1964) [6] Aitchison I J R and Hey A J G (1990), gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction, Bristol
[7] Gell-Mann, M.; Low, F.E (1954) "Quantum Electrodynamics at Small Distances" Physical Review 95 (5): 1300–1312
[8] T P Cheng and L F Li (1984), Gauge theory of elementary particle physics, Oxford [9] S Coleman (1985), Aspects of symmetry, Cambridge
[10] Heisenberg W., Phys Rev Lett 77, 1 (1932)
Title: ONE LOOP BETA FUNCTION IN STANDARD MODEL
Abstract: In this paper, we use the Callan-Symanzik equation to represent a set of trans-formations in the renormalization group by analytical form and calculate the analytical expressions for the one loop β function that generate the Yukawa unification in the stan-dard model
NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH
LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG
SV lớp Vật lý tiên tiến 3, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
