Bài viết này trình bày kết quả khảo sát điều kiện xuất hiện tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái photon tần số tổng được sinh ra từ hệ tương tác ba photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, nén kết hợp và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến.
Trang 1CHÙM BẬC CAO CỦA TRẠNG THÁI PHOTON TẦN
SỐ TỔNG TẠO RA TỪ CÁC PHOTON KẾT HỢP, NÉN
KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP THÊM PHOTON
NGUYỄN THỊ KIM OANH NGUYỄN THỊ KIM ANH - VÕ THỊ LY
Khoa Vật lý Tóm tắt:Bài báo này trình bày kết quả khảo sát điều kiện xuất hiện
tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái photon tần số tổng được
sinh ra từ hệ tương tác ba photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, nén
kết hợp và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến Các
điều kiện này chính là sự lựa chọn bộ tham số đặc trưng cho các trạng
thái của ba photon ban đầu được rút ra từ việc khảo sát bằng đồ thị
bằng phần mềm Mathematica
1 GIỚI THIỆU
Năm 1900, Plank đưa ra thuyết lượng tử của năng lượng bức xạ Năm 1905, Albert Einstein phát hiện ra rằng ánh sáng không chỉ có tính chất sóng mà còn có tính chất hạt, hạt ánh sáng được gọi là photon Năm 1960, bằng thực nghiệm của mình, Maiman đã tạo ra laser Rubi, đánh dấu sự ra đời của hai lĩnh vực khoa học hết sức quan trong là Điện tử học lượng tử và Quang phi tuyến Cũng từ đây các khái niệm như: trạng thái kết hợp, trạng thái nén, thawnmg gián lượng tử được ra đời Trạng thái kết hợp được đưa ra vào năm
1963 bởi Glauber [1] và Sudashan [2], đây là một trạng thái cổ điển, song vì nó có các biên
độ trực giao ứng với giá trị lượng tử chuẩn nên ta có thể xem nó là trạng thái rạnh giới giữa trạng thái cố điển và trạng thái phi cổ điển Trạng thái nén là trạng thái phi cổ điển đầu tiên được đưa ra vào năm 1970 bởi D Stoler, [3], [4] sau đó được Hollenhorst [5] đặt tên vào năm 1979 Tiếp đến là trạng thái kết hợp thêm photon được đưa ra bởi Agarwal
và Tara [6] Đây là trạng thái trung gian giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, nó thể hiện rõ các tính chất phi cổ điển như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm Năm 2000, hai tác giả Nguyễn Bá Ân và Võ Tình [7] đã khảo sát các trường hợp nén tổng và hiệu đa mode tổng quát của n mode (n > 3) trong môi trường
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 52-61
Trang 2điều kiện các mode ở ngõ ra có tần số tổng hoặc tần số hiệu của tần số các mode ở đầu vào Năm 2013, tác giả Lê Triệu Bá Vương [8]đã khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao của photon tần số tổng ở ngõ ra của hệ n ban đầu ở trạng thái Fock, kết hợp và nén Trong bài báo này chúng tôi trình bày các kết quả khảo sát sự tồn tại tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái photon tần số tổng tạo ra từ các photon kết hợp, nén kết hợp
và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến
2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TRẠNG THÁI PHOTON TẦN SỐ TỔNG CÓ TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
Ta có thể hiều các photon có tính chất ở trạng thái phản kết chùm là các photon có khuynh hướng không kết chùm với nhau Khái niệm này đầu tiên được dự đoán bằng lý thuyết bởi Kimble [9], Mandel [10], Carmichael và Walls [12] vào năm 1976
Xét quá trình vật lý xảy ra trong môi trường quang phi tuyến, trong đó có N photon ứng với các tần số ω1, ω2, ω3, , ωN kết hợp với nhau để tạo thành một photon có tần số tổng
ΩS= ω1+ ω2+ ω3+ + ωN
Hamiltonian ứng với sự sinh ra photon tần số tổng ΩS có dạng [7]:
b
Hs=
N
X
j=1
ωjbnj + ΩSbnS+ gs
b
c†sbc1 .bcN + H.c
trong đónbj = bc†jbcj,nbS =bc†sbcs với bc†j,bcj và bc†s,bcs theo thứ tự là toán tử sinh, hủy ứng với các mode ωj và ΩS Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán Bose - Einstein, H.c là thành phần liên hiệp Hermite Hamiltonian (1) cho biết số hạng đầu là năng lượng của các photon, số hạng thứ hai là năng lượng photon tần số tổng, số hạng cuối thể hiện phần năng lượng tương tác giữa photon tần số tổng với các photon khác, hằng số tương tác gs giả thiết là thực
Vì các photon dao động trong miền quang học với tần số có 1015 Hz nên thành phần biến thiên nhanh được tách riêng và viết dưới dạng
b
cj(t) = bCj(t)e−iωj t; bcs(t) = bCs(t)e−iΩS t (2)
Trong đó các toán tử bCj(t) và bCs(t) biến thiên chậm theo thời gian Sau này ta sẽ thấy chúng phụ thuộc tường minh vào bậc thời gian gst, do đó khẳng định sự biến thiên chậm của chúng vì thông thường gs ωj, ΩS Phương trình chuyển động Heisenberg ứng với Halmitonian (1)
Trang 3˙ b
Cj(t) ≡ d bCj(t)
dt = −igs
N
Y
k=1, k6=j
b
Ck†(t) bCs(t), (3)
˙ b
Cs(t) ≡ d bCs(t)
dt = −igs
N
Y
k=1
b
Vì quá trình tương tác chỉ xảy ra trong quá trình các mode truyền qua môi trường phi tuyến , môi trường này thường có kích cỡ nano - mét nên các mode chỉ tương tác trong khoảng thời gian rất ngắn (pico - giây) nên các toán tử có thể được khai triển Taylor theo thời gian và chỉ giữ lại các đóng góp đến O(t2) Nghĩa là CS(t) phụ thuộc thời gian Để cho gọn, ta đặt bCs≡ bCs(0), Cb˙s(0) ≡Cb˙s, C¨bs(0) ≡C¨bs
b
Cs(t) = bCs+ tCb˙s+1
2t
2¨ b
Cs= bCs− igst
N
Y
j=1
b
Cj−1
2g
2
st2CbsFbs(N ), (5)
Do đó
b
Cs†(t) = bCs†+ igst
N
Y
j=1
b
Cj†−1
2g
2
trong đó
b
Fs†(N, t) = bFs(N, t) =
N
Y
j=1
1 + bNj(t)
−
N
Y
j=1
b
Nj(t) =
N
Y
j=1
1 + bCj†Cbj
−
N
Y
j=1
b
Cj†Cbj (7)
Điều kiện để một trạng thái có tính chất phản kết chùm bậc cao k trong trường hợp đơn mode theo C T Lee trong [11] là:
R(l, m; k) = hˆn
(l+k)ihˆn(m−k)i
hˆn(l)ihˆn(m)i − 1 < 0 (8) trong đó ˆnC = bCs†(t) bCs(t) là toán tử số hạt ứng với các mode ở ngõ vào; l, m, k là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện l ≥ m, k ≥ 1
Xét trong trường hợp đơn mode, chọn l = 1, m = k, ta có điều kiện để có photon tần số tổng ở trạng thái phản kết chùm bậc k có thể viết lại như sau:
V (CS(t); k) =
ˆ
n(k+1)C
−
ˆ
n(k)C
trong đó
ˆ
n(k)=
k−1
Y
j=0
(ˆn − j) = ˆn(ˆn − 1)(ˆn − 2) (ˆn − k + 1) = ˆCS+k(t) ˆCSk(t) (10)
Trang 4Từ (5) và (7), ta có
b
Csm(t) =
b
Cs− igst
N
Y
j=1
b
Cj− 1
2g
2
st2CbsFbs(N )
m
b
Cs†m(t) =
b
Cs†+ igst
N
Y
j=1
b
Cj†−1
2g
2
st2Cbs†Fbs(N )
m
Xét hai toán tử bA và bB giao hoán được với nhau, áp dụng nhị thức Newton để khai triển, đồng thời bỏ qua các số hạng bậc ba của B Ta được biểu thức sau:
b
A + bB
m
= bAm+ m bA(m−1)B +b m(m − 1)
2 Ab
(m−2)
b
Tại thời điểm ban đầu, các mode ΩS và ωj không tương quan với nhau Áp dụng biểu thức (21) để tính bCm
s (t) và bCs†m(t) đồng thời vì gst << 1, nên có thể bỏ qua các thành phần lớn hơn hoặc bằng bậc ba của gst Kết quả thu được
b
Cs†m(t) = bCs†m+ imgst
N
Y
j=1
b
Cs†m−1Cbj†− g2st2 m
2Cb
†m
s Fbs(N ) +m(m − 1)
2 Cb
†m−2 s
N
Y
j=1
b
Cj†2
b
Csm(t) = bCsm− imgst
N
Y
j=1
b
Csm−1Cbj− gs2t2 m
2Cb
m
s Fbs(N ) +m(m − 1)
2 Cb
m−2 s
N
Y
j=1
b
Cj2
Thế hai kết quả này vào (10) ta có
n(m)= bCs†mCbsm− imgst
b
Cs†mCbsm−1
N
Y
j=1
b
Cj− bCs†m−1Cbsm
N
Y
j=1
b
Cj†
− g2st2
m bCs†mCbsmFbs(N ) − m2Cbs†m−1Cbsm−1
N
Y
j=1
b
Cj†Cbj
+ m(m − 1) 2
b
Cs†mCbsm−2
N
Y
j=1
b
Cj2+ bCsmCbs†m−2
N
Y
j=1
b
Cj†2
Tại thời điểm ban đầu mode ΩS chỉ có thể ở trạng thái chân không hoặc trạng thái kết hợp Vì ở trạng thái chân không, giá trị của hàm tương quan vô nghĩa nên chúng ta giả sử các mode ΩS ở trạng thái kết hợp vói tham số kết hợp αs= rseiθ s Vì vậy chúng ta có
Trang 5b
Csm
= αms = rskeimθs,
b
Cs†m
b
Cs†mCbsm−1
= |αs|2(m−1)α∗s,
b
Cs†m−1Cbsm
= |αs|2(m−1)αs (16)
b
Cs†mCbsm−2
= |αs|2(m−2)α∗2s ,
b
Cs†m−2Cbsm
= |αs|2(m−2)α2s, (17)
b
Cs†mCbsm
= |αs|2m,
b
Cs†m−1Cbsm−1
= |αs|2(m−1) (18)
Thế các kết quả tính từ (15) đến (18) vào (14), tiếp tục lấy kết quả thế vào (9), ta thu được điều kiện có tính chất phản kết chùm bậc cao k > 1 cho photon tần số tổng của hệ
ba mode (N = 3) ở ngõ vào
V (Cs(t), k) = 2kgs2t2rs2k
3
Y
j=1
b
Cj†Cbj
− Re
e−2iθs
3
Y
j=1
b
Cj2
+ Re
e−2iθs
3
Y
j=1
b
Cj
2
− Re
3
Y
j=1
b
Cj
b
Cj†
< 0 (19)
Dễ thấy rằng số hạng nằm trong hai dấu ngoặc vuông của biểu thức V (Cs(t), k) hoàn toàn không phụ thuộc vào thời gian và thừa số 2kg2
st2r2k
s luôn dương nên không có ảnh hưởng đến tính âm hay dượng của hàm V (Cs(t), k) Do đó, khi khảo sát xem hệ có tính chất phản kết chùm hay không thì chúng ta chỉ cần khảo sát thành phần trong hai dấu ngoặc vuông
V =
3
Y
j=1
b
Cj†Cbj
− Re
e−2iθs
3
Y
j=1
b
Cj2
+ Re
e−2iθs
3
Y
j=1
b
Cj
2
− Re
3
Y
j=1
b
Cj
b
Cj†
3 KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM BẬC CAO CHO TRẠNG THÁI PHOTON TẦN SỐ TỔNG VỚI BA PHOTON Ở NGÕ VÀO GỒM MỘT PHO-TON KẾT HỢP, MỘT NÉN KẾT HỢP VÀ MỘT KẾT HỢP THÊM PHOPHO-TON Biểu thức (20) trong trường hợp này được viết lại như sau
V =h bCp†Cbpih bCq†Cbqih bCa†Cbai − h bCpih bCp†ih bCqih bCq†ih bCaih bCa†i
+ Re
e−2iθsh bCpi2h bCqi2h bCai2− e−2iθsh bCp2ih bCq2ih bCa2i
< 0 (21)
Trang 6Với photon kết hợp |αpi ứng với bCp, tham số kết hợp αp= rpe , ta có
h bCpi = αp, h bCp†i = α∗p, h bCp2i = α2
p, h bCp†2i = α∗2p , h bCp†Cbpi = |αp|2 = rp2 Còn photon nén kết hợp |αq, zqi với bCq, tham số kết hợp αq= rqeiθq và tham số nén
zq = sqeiχq, ta thu được
h bCqi = rq.eiθq, h bCq†i = rq.e−iθq, h bCqi2 = r2q.ei2θq, h bCq†i2= r2q.e−i2θq,
h bCq2i =
rq2ei2θq − eiχ qsinh sqcosh sq
, h bCq†Cbqi =
rq2+ sinh2sq
Cuối cùng với photon ở trạng thái kết hợp thêm photon |αa, mi ứng với bCa, tham số kết hợp αa= raeiθ a, ta tính được
h ˆCai = αa
Pm i=0Li(−|αa|2)
Lm(−|αa|2) , h ˆC
+
ai = α∗a
Pm i=0Li(−|αa|2)
Lm(−|αa|2) ,
h ˆCa2i = α2a
Pm i=0(m + 1 − i)Li(−|αa|2)
Lm(−|αa|2) , h ˆC
+2
a i = α∗2a
Pm i=0(m + 1 − i)Li(−|αa|2)
Lm(−|αa|2) ,
h bCa†Cbai = (m + 1)Lm+1(−|αa|
2)
Lm(−|αa|2) − 1.
Thay các giá trị trung bình trên vào (21), ta thu ta thu được hệ số phản kết chùm của trạng thái photon ở ngõ ra (t > 0):
V =rp2
r2q+ sinh2(sq) (m + 1)Lm+1(−ra2)
Lm(−r2a) − 1
+ rp2r2qr2a
m
X
i=0
Li(−ra2)
!2
(Lm(−r2
a))2 {cos[2(θp+ θq+ θa− θs)] − 1}
− Re
e2i(θp +θ a −θ s )
rq2e2iθq − eiχqsinh(sq)cosh(sq)
× rp2r2a
m
X
i=0
(m + 1 − i)Li(−r2a)
Biểu thức này phức tạp khó nhận biết bằng giải tích, do đó chùng ta sử dụng kết quả tính
số và vẽ đồ thị, thông qua đồ thị để rút ra một số kết quả cụ thể về điều kiện tồn tại tính chất phản kết chùm của photon tần số tổng ở ngõ ra của hệ tương tác 3 mode photon kết hợp, nén kết hợp và kết hợp thêm photon trong môi trường quang phi tuyến
Trong quá trình tính số, vẽ đồ thị, để đơn giản và không mất tính tổng quát chúng tôi chọn các biên độ kết hợp rp = rq= ra= r, biên độ nén sq= s, pha χq= χ
Trang 7Hình 1: Hình (1a) khảo sát hàm V theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp r và pha của trạng thái nén kết hợp χ khi m=2, θs = π/2, s = 0.5 Hình (1b) khảo sát theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp r khi χ = 0, s = 1.2, θs = π/2 với các giá trị của m = 2, 3, 4 tương ứng với các đường liền nét, đường chấm chấm và đường chấm gạch
Do hệ số phản kết chùm V của photon tần số tổng là hàm của các tham số pha kết hợp
θp, θq, θa, θs, pha nén χ, biên độ kết hợp rp = rq = ra = r và biên độ nén s nên sự khảo sát sự tồn tại và mức độ của tính chất phản kết chùm thông qua V rất phức tạp và do đó không kém phần phong phú
Hình (1a) cho thấy rằng khi cho các tham số khác có các giá trị không đổi thì giá trị biên
độ kết hợp r càng tăng và pha nén χ = `π với ` là các số nguyên và các giá trị lân cận các giá trị đó thì tính chất phản kết chùm của photon tần số tổng thể hiện rõ nét nhất Hình (1b)mô tả hệ số phản kết chùm phụ thuộc vào các tham số thêm photon m = 2, 3, 4, biên độ nén s và biên độ kết hợp r Trong trường hợp này, khi biên độ nén s tăng thì tính
Trang 8chất phản kết chùm xuất hiện chậm hơn tại vị trí biên độ kết hợp r có giá trị lớn hơn và ngược lại, khi biên độ nén s giảm, hệ số phản kết chùm xuất hiện nhanh chóng
Hình 2: Hình (2a) khảo sát đồ thị hàm V theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp r và biên độ nén trạng thái nén kết hợp s khi m=2, θs = π/2, χ = 0 Hình (2b) khảo sát theo biên độ nén của trạng thái nén kết hợp s khi r = 2, θs = π/2 với các giá trị của m = 2, 3, 4 tương ứng với các đường liền nét, đường chấm chầm và đường chấm gạch
Tại các tham số thích hợp, hàm V âm trong hình (2a), tức là thể hiện tính phản kết chùm Khi pha của trạng thái nén kết hợp χ = 0, tính chất này được thể hiện rõ nét
Với bộ tham số trong hình (2b), tính chất phản kết chùm của hệ chỉ xuất hiện khi s có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1.6, và trong khoảng này mức độ âm của hàm V tăng theo
m = 2, 3, 4 tuần tự ứng với các đường liền nét, đường chấm chấm và đường chấm gạch Giá trị của hệ số phản kết chùm còn phụ thuộc vào giá trị của các góc pha kết hợpθs và góc pha nén χ khi các tham số khác không đổi, điều này được thể hiện trong hình 3
Trang 9Hình 3: Hình (3) khảo sát đồ thị hàm V theo pha của trạng thái nén kết hợp χ và pha của mode có tần số tổng θs khi m = 2, s = 0.2, r = 4
4 KẾT LUẬN
Tóm lại, bằng các cách áp dụng lý thuyết hoàn toàn lượng tử và một số phép gần đúng thích hợp, chúng tôi đã tính toán và đưa ra được biểu thức giải tích hệ số phản kết chùm của photon tần số tổng tại ngõ ra của hệ tương tác gồm ba photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, nén kết hợp và kết hợp thêm photon Khảo sát với đồ thị bằng phần mềm Mathematica cho thấy rằng với các tham số thích hợp của các photon ban đầu thì photon tần số tổng thể hiện tính chất phản kết chùm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Glauber R J (1963), "Coherent and incoherent states of the Radiation field", Phys Rev B, 131(6), pp.2766-2788
[2] Sudarshan E.C.G.(1963), "Equivalence of semiclassical and quantum mechanical de-scriptions of statistical light beams", Physical Review Letters, 10, pp.277-279
[3] Stoler D (1970), "Equivalence classes of minimum-uncertainty packets: I", Phys Rev
D 1, pp 3217-19
[4] Stoler D (1971), "Equivalence classes of minimum-uncertainty packets: II", Phys Rev D 4, pp 1925-26
[5] Hollenhorst N N (1979), "Quantum limits on resonal-mass gravitational radiation detectors", Phys Rev D, 19(6), 1669-79
[6] Agarwal G S and Tara K (1991), Nonclassical properties of States generated by excitations on a coherent state, Phys Rev A, 43(1), pp 492-497
Trang 10[7] Nguyen Ba An and Vo Tinh (1999), "General multimode sum-squeezing", Physical Letters A, 261, pp 34-39
[8] Lê Triệu Bá Vương (2013),Khảo sát tính chất phản kết chùm của photon tần số tổng
ở ngõ ra của hệ N photon tương tác ban đầu ở trạng thái đơn mode Fock, đơn mode kết hợp và đơn mode nén, Luân văn thạc sĩ Vật lý, chuyên ngành Vật lý lý thuyết & Vật lý toán, Trường ĐHSP, Đại học Huế
[9] Kimble J and Walls D F (1987), ” Special issue on Squeezed state of the Electrmag-netic field”, J Opt Soc Am B, 4(10), pp 1453-1727
[10] Hong C K and Mandel L (1984), "Higher-Order squeezing of a Quantum field", Phys Rev Lett, V.54, N.4
[11] Lee C T (1990), "Many-photon antibunching in generalized pairs coherent states", Phys Rev A, V.41, N.5, pp 1569-1575
[12] Walls (1983), Squeezed states of light, Nature, 50, pp 38-46
NGUYỄN THỊ KIM OANH
NGUYỄN THỊ KIM ANH
VÕ THỊ LY
SV lớp Vật lý tiên tiến 3, khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
