Bải viết nghiên cứu tính chất phi cổ điển của trạng thái nén hai mode. Qua nghiên cứu, chúng tôi thấy rằng trạng thái nén hai mode thể hiện tính chất nén tổng nhưng không thể hiện tính chất nén hiệu.
Trang 1THÁI NÉN HAI MODE
ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY
Khoa Vật lý
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu tính chất phi cổ
điển của trạng thái nén hai mode Qua nghiên cứu, chúng tôi thấy rằng
trạng thái nén hai mode thể hiện tính chất nén tổng nhưng không thể
hiện tính chất nén hiệu Trạng thái này thỏa mãn tiêu chuẩn đan rối
của Hillery - Zubairy và tính chất đan rối thể hiện hoàn toàn Qua khảo
sát tính antibunching chúng tôi nhận thấy rằng độ mạnh, yếu phụ thuộc
vào biên độ kết hợp r Ngoài ra, chúng tôi chứng minh được trạng thái
nén hai mode vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Những kết quả
trên cho thấy trạng thái nén hai mode là trạng thái phi cổ điển điển
hình
1 GIỚI THIỆU
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, vấn đề làm thế nào
để truyền tín hiệu đi xa nhưng vẫn đảm bảo tính lọc lựa cao và giảm được thăng giáng đến mức thấp nhất là vấn đề cấp thiết cho các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm
Sự xuất hiện tạp âm và thăng giáng lượng tử đã làm cho tín hiệu bị nhiễu và giảm chất lượng truyền tin Vì lý do này mà các nhà khoa học đã tìm các phương pháp tạo ra các trạng thái vật lý mà ở đó các thăng giáng lượng tử được hạn chế đến mức tối đa có thể và sau đó áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo các dụng cụ quang học đảm bảo tính lọc lựa
và chính xác cao Nghiên cứu các tính chất của trạng thái nén hai mode là vấn đề nóng và mang tính thời sự, là bước đệm trong quá trình nghiên cứu Các tính chất phi cổ điển bậc thấp đã được nghiên cứu tuy nhiên các tính chất bậc cao vẫn chưa được khảo sát Vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu, tính chất rối, tính chất antibuching và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Trạng thái nén hai mode được Gantsog and Tanas [1] đưa ra như sau
|ξiab = (cosh r)−1X[− exp (ıθ) tanh r]n|n, niab, (1)
trong đó r là biên độ kết hợp và |n, niab là các trạng thái Fock tương ứng với hai mode của trường điện từ là a và b
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 37-43
Trang 238 ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY
2 TÍNH CHẤT NÉN TỔNG
Chúng tôi sử dụng quá trình nén tổng được đưa ra bởi Hillery [2] vào năm 1989 để khảo sát tính chất nén tổng hai mode Toán tử nén tổng trong trường hợp này được định nghĩa như sau
ˆ
Vφ= 1 2
eiφˆa†ˆb†+ e−iφaˆˆb, (2)
trong đó ˆa† và ˆa tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ nhất, ˆb† và ˆb là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ hai Một trạng thái thỏa mãn điều kiện sau thì
có tính chất nén tổng
∆ ˆVφ
2
< 1 4
D ˆNa+ ˆNb+ 1E
với mọi giá trị của φ, trong đó∆ ˆVφ2 =D ˆV2
φ
E
−D ˆVφE2
, ˆNa ( ˆNb) lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b Thông qua điều kiện này để xem xét tính chất nén tổng của trạng thái nén hai mode Để dễ dàng cho việc khảo sát chúng tôi đưa ra tham số nén tổng hai mode S,
S =D ˆV2
φ
E
−D ˆVφE2
−1 4
D ˆNa+ ˆNb+ 1E
trong đó một trạng thái thể hiện tính chất nén tổng hai mode nếu S < 0 và mức độ thể hiện càng mạnh nếu S càng âm Khi đó, với ˆVφ= 12eiφˆa†ˆb†+ e−iφaˆˆbta có
S = 1
4
eiφˆa†ˆb†
2
+
e−iφaˆˆb
2
+ 2ˆa†ˆb†ˆaˆb
−1 4
nD
eiφaˆ†ˆb†
E +
D
e−iφˆaˆb
Eo2
(5)
Sử dụng trạng thái nén hai mode ở biểu thức (1) và lấy trung bình trạng thái này để tính biểu thức (5) ta được
S = 1
4 1 − x
2
∞
X
n=0
cos 2(φ − θ) (x2n+2(n + 1)(n + 2) + x2n−2n(n − 1) + 2x2nn2
−1
4 1 − x
22
(∞
X
n=0
cos(φ − θ)x2n+1(n + 1) + x2n−1n)
)2
,
(6)
trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R) Dựa vào tham số nén tổng S đã được đưa ra
ở biểu thức (6) chúng tôi khảo sát và thu được kết quả về sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo biên độ kết hợp r
Hình vẽ cho thấy khi θ = π2,3(π)2 thì tính nén tổng thể hiện rõ ràng nhất và tăng khi r tăng Vậy trạng thái nén hai mode có tính chất nén tổng
Trang 3Hình 1: Sự phụ thuộc của S vào r và θ = π2 với φ = 0.
3 TÍNH CHẤT NÉN HIỆU
Tương tự như trường hợp nén tổng hai mode, theo Hillery [2] toán tử nén hiệu được định nghĩa như sau
ˆ
Wφ= 1 2
eiφˆaˆb†+ e−iφˆa†ˆb
Một trạng thái được gọi là nén hiệu nếu thỏa mãn
∆ ˆWφ
2
< 1
với mọi giá trị của φ, trong đó
∆ ˆWφ
2
=D ˆW2 φ
E
−D ˆW
φ
E2
, ˆNa ( ˆNb) lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b Đây chính là điều kiện để chúng tôi đi khảo sát tính chất nén hiệu hai mode của trạng thái nén hai mode trong bài báo này Để dễ dàng cho việc khảo sát chúng tôi đưa vào tham số nén hiệu hai mode D
D =D ˆW2
φ
E
−D ˆWφE2
−1
4D ˆNa− ˆNbE
trong đó một trạng thái bất kỳ nếu D < 0 thì có tính chất nén hiệu hai mode và mức độ thể hiện càng mạnh nếu D càng âm Khi đó, với ˆWφ= 12eiφaˆˆb†+ e−iφˆa†ˆbta được
D = 1 4
eiφˆaˆb†2+e−iφaˆ†ˆb2+ ˆaˆb†aˆ†ˆb + ˆa†ˆbˆaˆb†
−1 4
nD
eiφˆaˆb†
E +
D
e−iφˆa†ˆb
Eo2
−1
4|
D ˆNa− ˆNbE
Bằng cách lấy trung bình trạng thái nén hai mode chúng tôi thu được tham số nén hiệu hai mode như sau
D = 1
2(1 − x
2)
∞
X
n=0
Trang 440 ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY
trong đó x = tanh r,( với−1 < x < 1, x ∈ R) Kết quả khảo sát tham số nén hiệu D ở biểu thức (11) và biên độ kết hợp r được thể hiên trên hình vẽ 2
Hình 2: Sự phụ thuộc của D vào r
Qua hình vẽ cho thấy rằng D > 0 với mọi giá trị của biên độ kết hợp r Vì vậy, trạng thái nén hai mode không thể hiện tính chất nén hiệu hai mode
4 TÍNH ANTIBUNCHING
Theo Lee C T [3], tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode trong trường bức xạ được đưa ra dưới dạng
Rab(m, n) =
D ˆN(m+1)
a Nˆ(n−1)
b
E +D ˆN(n−1)
a Nˆ(m+1) b
E
D ˆN(m)
a Nˆ(n) b
E +D ˆN(n)
a Nˆ(m) b
E − 1 < 0, (12)
trong đó ˆNa= ˆa†ˆa, ˆNb = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b trong trường bức xạ Xét trường hợp n = m, lấy trung bình của trạng thái nén hai mode ta kết quả sau
Rab(m, m) =
∞
X
k=0
x2k
m
Y
j=0
(k − j)
m
Y
j=2
(k − j + 2)
∞
X
k=0
x2k
m
Y
j=1
(k − j + 1)
2
−1
− 1 , ,
(13) trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R) Khảo sát tham số Rab(m, m)) trong các trường hợp cụ thể chúng tôi có được kết quả như sau
Qua hình vẽ chúng tôi nhận thấy rằng tại r = 0 tính antibunching đột ngột tăng mạnh và giảm dần khi r tăng Với m càng lớn thì tính antibunching càng giảm (với cùng giá trị r) Vậy tính phản kết chùm của trạng thái nén hai mode thể hiện càng mạnh trong khoản r rất nhỏ
Trang 5Hình 3: Sự phụ thuộc của Rab(m, m)) vào r với m = 1, 2, 3.(Đường biểu diễn các tham số tương ứng với màu đỏ, màu xanh lam và màu xanh lục.)
5 TÍNH CHẤT ĐAN RỐI
Chúng tôi khảo sát tính chất đan rối [4] của trạng thái nén hai mode dựa theo tiêu chuẩn của Hillery - Zubairy được đưa ra như sau
Eab =hh(ˆa†)m(ˆ nih(ˆb†)m(ˆb)nii
1
− | h(ˆa)m(ˆb)ni |, (14)
trong đó ˆa† và ˆa tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ nhất, ˆb† và ˆb
là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ hai Trong đó một trạng thái bất kỳ thể hiện tính chất đan rối nếu Eab < 0 Xét trong trạng thái nén hai mode với với trường hợp
n = m ta thu được
Eab=
(1 − x2)
∞
X
k=0
x2k
m
Y
j=1
(k − j + 1)
−
(1 − x2)
∞
X
k=0
x2kcos mθ
m
Y
j=1
(k − j + 1)
,
,
(15)
trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R) trạng thái nén hai mode thể hiện tính chất đan rối và Eab không phụ thuộc vào pha nén θ Khảo sát các trường hợp đồ thị của Eab với m = 1, 2, 3 chúng tôi có một số kết quả như sau
Qua khảo sát đồ thị Eab chúng tôi nhận thấy rằng với trạng thái nén hai mode |ξiab thì
Eab luôn nhỏ hơn 0 nên |ξiab là một trạng thái rối hoàn toàn
Trang 642 ĐẶNG THỊ KIM ANH - NGUYỄN THỊ TY
Hình 4: Sự phụ thuộc của Eab với m = 1, 2, 3 (Đường biểu diễn các tham số tương ứng với màu xanh lam, màu đỏ và màu tím.)
6 SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong trường cổ điện có dạng:
I =
h
†2ˆa2 Dˆb†2ˆb2Ei
D ˆ
a†ˆb†ˆb ˆaE
1 2
Nếu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bị vi phạm thì trạng thái đó là trạng thái mang tính chất phi cổ điển Nghĩa là
I =
h
†2ˆa2 Dˆb†2ˆb2Ei
D ˆ
a†ˆb†ˆb ˆaE
1 2
Bằng cách lấy trung bình của trạng thái nén hai mode chúng tôi tính biểu thức I dưới dạng
I =
∞
X
n=0
x2n(n2− n)
"∞
X
n=0
x2n(n2)
#
−1
trong đó x = tanh r (với −1 < x < 1, x ∈ R) Dựa vào tham số nén I chúng tôi khảo sát
sự phụ thuộc của I vào r và đưa ra kết quả như sau
Qua khảo sát đồ thị I chúng tôi nhận thấy rằng với trạng thái nén hai mode |ξiab thì I luôn nhỏ hơn 0 nên |ξiab là là vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Trang 7Hình 5: Sự phụ thuộc của I vào r.
7 KẾT LUẬN
Trong bài báo này, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu và hệ thống một cách chi tiết các tính chất phi cổ điển, cụ thể là tính chất nén tổng, nén hiệu, tính chất đan rối và tính chất antibunching của trạng thái nén hai mode Từ các đồ thị mô tả mức độ nén tổng và nén hiệu hai mode cho thấy trạng thái nén hai mode thể hiện tính chất nén tổng một cách
rõ ràng nhưng không thể hiện tính chất nén hiệu Trạng thái nén hai mode cũng thể hiện tính chất đan rối hoàn toàn và antibunching Bên cạnh đó, chúng tôi chứng tỏ được trạng thái nén hai mode có vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Những kết quả trên cho thấy trạng thái nén hai mode là trạng thái phi cổ điển khá mạnh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Gantsog, Ts, and R Tana´s (1991) Physics Letters A 152.5, 251-256
[2] Hillery (1989), Physical Review A, 45, 3147-3155
[3] Lee C T (1989), Physical Review A, 41, 1569-1575
[4] Hillery, M and Zubairy, M S.(2006), Physical review letters, 96(5), 050503
[5] Agarwal, G S (1988), J.opt Soc Am B, 5, 1940
[6] Hong C K and Mandel (1985), Physical Review Letters, 54,323-325
[7] Stoler D, Phy Rev Lett, D,37-45
ĐẶNG THỊ KIM ANH
NGUYỄN THỊ TY
SV lớp Vật lý tiên tiến 3, khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
... hành nghiên cứu hệ thống cách chi tiết tính chất phi cổ điển, cụ thể tính chất nén tổng, nén hiệu, tính chất đan rối tính chất antibunching trạng thái nén hai mode Từ đồ thị mô tả mức độ nén tổng... tả mức độ nén tổng nén hiệu hai mode cho thấy trạng thái nén hai mode thể tính chất nén tổng cáchrõ ràng khơng thể tính chất nén hiệu Trạng thái nén hai mode thể tính chất đan rối hồn tồn... antibunching Bên cạnh đó, chứng tỏ trạng thái nén hai mode có vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Những kết cho thấy trạng thái nén hai mode trạng thái phi cổ điển mạnh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
