Khái niệm nghịch đảo Moore-Penrose ra đời bởi hai nhà toán học độc lập E. H. Moore và nhà toán học R. Penrose. Bài viết trình bày việc tìm các biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Moore-Penrose và một số ứng dụng của nó.
Trang 1NGUYỄN THANH NGUYÊN
Khoa Toán học
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi tìm các biểu diễn tường minh
cho nghịch đảo Moore-Penrose và một số ứng dụng của nó
1 GIỚI THIỆU
Khái niệm nghịch đảo Moore-Penrose ra đời bởi hai nhà toán học độc lập E H Moore và nhà toán học R Penrose Vào năm 1955 Penrose đã chứng tỏ được rằng với mọi ma trận hữu hạn A thực hoặc phức , có duy nhất một ma trận X thỏa mãn
4 phương trình sau (mà chúng ta gọi là phương trình Penrose)
với A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của A Khi đó ta ký hiệu X bằng A† và A† được gọi là giả nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận A
Lý thuyết nghịch đảo Moore-Penrose đã phát triển một cách nhanh chóng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Do đó việc đi tìm các tính chất đặc biệt và biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Moore-Penrose cho một lớp các ma trận đặc biệt luôn là vấn đề thời sự đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên thế giới
Mục đích chính của bài báo là tìm các biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Moore-Penrose của một số dạng ma trận đặc biệt và một số hướng tiếp cận để tính nghịch đảo Moore-Penrose của một ma trận bất kỳ
Kết quả chính của bài báo là tổng quan lại một số cách biểu diễn nghịch đảo Moore-Penrose đã biết Từ đó chúng tôi cải tiến để đưa ra một số biểu diễn khác một cách tường minh và hiệu quả hơn Ngoài ra chúng tôi còn giới thiệu một số ứng dụng của nghịch đảo Moore-Penrose trong thực tế như sự phục hồi ảnh thông qua nghịch đảo Moore-Penrose Phương pháp này hiệu quả hơn phương pháp Lagrange trước đây Bài báo được chia làm 3 phần
Phần 1 Một số tính chất của nghịch đảo Moore-Penrose
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 20-29
Trang 2Phần 2 Công thức tính nghịch đảo Moore-Penrose
Phần 3 Ứng dụng của nghịch đảo Moore-Penrose và sử dụng MATLAB 7 để tính nghịch đảo Moore-Penrose
2 TÍNH CHẤT CỦA NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE
Tuy nghịch đảo Moore-Penrose của một ma trận bất kỳ không hoàn toàn có những tính chất giống hệt nghịch đảo thông thường, nhưng nhiều tính chất vẫn được thỏa mãn khi ta thay nghịch đảo thông thường bằng giả nghịch đảo Moore-Penrose Định
lý sau chứng tỏ điều đó
Định lý 2.1 [5] Cho A ∈ Cm×n
r , khi đó
1 (A†)†= A
2 (A∗)†= (A†)∗
3 (AT)† = (A†)T
4 A∗ = A∗AA† = A†AA∗
5 (A∗A)†= A†A∗†
6 A†= (A∗A)†A∗ = A∗(AA∗)†
7 Nếu A = A∗ thì AA†= A†A
8 R(A) = R(AA†) = R(AA∗)
9 R(A†) = R(A∗) = R(A†A) = R(A∗A)
10 R(I − AA†) = N (AA†) = N (A∗) =
N (A†) = R(A)⊥
11 R(I − A†A) = N (A†A) = N (A) = R(A∗)⊥
Định lý sau đây thể hiện sự tương đương giữa định nghĩa về ma trận giả nghịch đảo được đưa ra bởi Penrose năm 1955 với định nghĩa của Moore được đưa ra vào năm 1935
Định lý 2.2 Cho A ∈ Cm×n, khi đó ma trận A† là ma trận nghịch đảo Moore-Penrose của A khi và chỉ khi A† thỏa mãn các tính chất sau
1 AA†= PR(A),
2 A†A = PR(A† )
2.1 Tính chất giải tích của nghịch đảo
Giả nghịch đảo Moore-Penrose có rất nhiều tính chất đặc biệt và một trong số là
"tính chất giải tích" của nghịch đảo Moore-Penrose Tính chất này cho chúng ta một công thức tính nghịch đảo Moore-Penrose của một ma trận bất kỳ
Trang 3Bổ đề 2.3 [4] Cho A ∈ Cn×n và A là ma trận đối xứng, khi đó
PA = lim
λ→0(A + λI)−1A = lim
λ→0A(A + λI)−1 Định lý 2.4 [4] Cho A ∈ Cm×nr Khi đó
A† = lim
λ→0(A∗A + λI)−1A∗ = lim
λ→0A∗(AA∗+ λI)−1
Ví dụ 1 Với mọi vectơ x ∈ Cn ta có
x† = (x∗x)−1x∗ =
0 nếu x = 0
x∗
x∗x nếu x 6= 0
3 CÔNG THỨC TÍNH MA TRẬN MOORE-PENROSE
Cho H ∈ Cm×n và E1, E2, , Ek là các phép biển đổi dòng sơ cấp Khi đó tồn tại ma trận chuyển vị P sao cho
EHP = Ir K
O O
trong đó
E = EkEk−1 E2E1
Thuật toán 3.1 Để tính nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận A bất kỳ cho trước
ta thực hiện lần lượt các bước sau
1 Tìm dạng ma trận có hạng đầy đủ của ma trận A
- Bằng các phép biển đổi sơ cấp dòng, chuyển ma trận A thành ma trận Hermite dạng chuẩn tắc
- Xác định ma trận G biết
EA = G
O
trong đó E = EkEk−1 E1 với Ek, Ek−1, , E1 là các phép biến đổi sơ cấp dòng
- Xác định ma trận chuyển vị P và ma trận con P1 của P trong đó P1 là
ma trận r cột đầu tiên của ma trận P với r là hạng của ma trận A
- Đặt F = AP1 Khi đó A = F G
2 Tính nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận A qua công thức
A† = G∗(F∗AG∗)−1F∗
Trang 4Dựa vào định lý 2.2 chúng ta có thể xây dựng thuật toán tính nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận A dựa vào việc xác định ảnh của một cơ sở trong Cn qua
A†
Thuật toán 3.2 Để tính nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận A ta thực hiện lần lượt các bước sau
- Xác định một cơ sở của R(A∗) và N (A∗)
- Xác định ảnh của một cơ sở trong R(A∗) qua ma trận A Từ đó xác định ảnh của một cơ sở trong Cn qua ma trận A†
- Tính ma trận A†
Định lý 3.3 [Công thức Cayley-Hamilton][4]
1 Cho A ∈ Cn×n là ma trận Hermite khi đó đa thức đặc trưng của A có thể được viết thành
PA(λ) = aλk(1 − λϕ(λ))
trong đó n − k là hạng của A
Khi đó nếu A khả nghịch thì
A−1 = ϕ(A)
và trong trường hợp tổng quát
A†= ϕ(A) + ϕ(0)[Aϕ(A) − I]
2 Nếu H ∈ Cm×n và nếu đa thức đặc trưng của H∗H được xác định bởi aλk(1 − λϕ(λ), thì
H†= ϕ(H∗H)H∗
Ta có thể tính đa thức đặc trưng của một ma trận qua công thức sau
PA(λ) = (−λ)n+ C1(−λ)n−1+ + Ck(−λ)n−k+ + Cn
trong đó Ck là tổng các định thức con cấp k lập nên từ các dòng và các cột với chỉ
số giống nhau
Trang 53.1 Nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận khối và tổng
hai ma trận
3.1.1 Nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận khối
Khi tính toán nghịch đảo Moore-Penrose của một ma trận A ∈ Cm×n, kích thước của ma trận hay độ phức tạp của bài toán tìm nghịch đảo có thể được giảm bớt nếu
ma trận A được viết dưới dạng ma trận khối như sau
A = A11 A12
A21 A22
Do đó trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu về công thức tính nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận khối và một số dạng ma trận khối đặc biệt
Định lý 3.4 [5] Cho ma trận A ∈ Cm×nr với r < m, n Khi đó, nếu
P AQ = A11 A12
A21 A22
trong đó P và Q là những ma trận chuyển vị và A11 ∈ Cr×r
r thì
A†= Q
Ir
T∗
(Ir+ T T∗)−1A−111(Ir+ S∗S)−1 Ir S∗ P với
T = A−111A12 và S = A21A−111
Nhận xét 3.5 Nếu A ∈ Cr×n
r thì khi đó công thức trở thành
A† = Q
Ir
T∗
(Ir+ T T∗)−1A−11
với
T = A−11 A2
Định lý 3.6 Với Ai là ma trận cấp ri× si, ta có
A1 0 0
0 A2 0
0 0 An
†
=
A1† 0 0
0 A2† 0
0 0 An†
Trang 63.1.2 Nghịch đảo của tổng 2 ma trận
Định lý 3.7 [2] Cho 2 ma trận A, B ∈ Cm×n Khi đó nếu AB∗ = 0 thì
(A + B)† = A∗(AA∗+ BB∗)†+ B∗(AA∗+ BB∗)†
Nhận xét 3.8
1 Nếu đặt ma trận U = A B với AB∗ = O khi đó ta có
U†= U∗(U U∗)† =
A∗(AA∗+ BB∗)†
B∗(AA∗+ BB∗)†
Từ nhận xét trên chúng ta có thể thiết lập được thuật toán tính nghịch đảo Moore-Penrose của tổng 2 ma trận A, B nếu AB∗ = O dựa vào định lý 3.4 và định lý 3.7 Chẳng hạn xét 2 ma trận
A = 1 2 3
1 0 0
và B = 0 −3 2
0 −3 2
Ta có AB∗ = O
Đặt U = 1 2 3 0 −3 2
1 0 0 0 −3 2
Khi đó U†= 1
182
0 13
28 −28
42 −42
0 0
0 −39
0 26
Từ đó ta có
(A + B)†= 1
182
0 13
28 −28
42 −42
+ 1 182
0 0
0 −39
0 26
= 1 182
0 13
28 −67
42 −16
2 Nếu AB∗ = A∗B = O thì (A + B)† = A†+ B†
3.2 Nghịch đảo Moore-Penrose của một số dạng ma trận
đặc biệt
3.2.1 Ma trận có hạng bằng 1
Cho ma trận A ∈ Cm×n và rankA = 1 Khi đó A† = 1
T rA∗AA
∗
Trang 73.2.2 Ma trận chéo
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λn
†
=
λ1† 0 0
0 λ2† 0
0 0 λn†
,
trong đó λ†i =
0 nếu λi = 0 1
λi nếu λi 6= 0 .
3.2.3 Ma trận trực giao
Cho ma trận A ∈ Cm×n và A = (aij) là ma trận sao cho aiaj = 1 (i 6= j) với ai là cột thứ i của ma trận A khi đó
A† =
m
P
i=1
a2i1 0 0
0
m
P
i=1
a2 i2 0
0 0
m
P
i=1
a2 in
†
A∗
Nhận xét 3.9 Nếu A ∈ Cn×n là ma trận trực giao thì khi đó A†= A∗
3.2.4 Ma trận Hermite
Để tính nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận Hermite H ta thực hiện lần lượt các bước sau
- Tính đa thức đặc trưng PH(λ) và tìm giá trị riêng khác nhau của H
- Tìm các vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng khác nhau bằng cách xét phương trình
(H − λiI)x = 0
- Trực chuẩn các vectơ riêng
- Tính H† =
n
P
i=1
λ†icic∗i
Trang 84 ỨNG DỤNG CỦA NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE VÀ TÍNH NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE BẰNG MATLAB 7
4.1 Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bất kỳ Định lý 4.1 Cho A ∈ Cm×n, b ∈ Cm Khi đó R(b) ⊆ R(A) khi và chỉ khi AA†b = b Định lý 4.2 Cho A ∈ Cm×n và b ∈ Cm Giả sử rằng AA†b = b Khi đó với bất kỳ vectơ có dạng
x = A†b + (I − A†A)y với y ∈ Cn bất kỳ (1)
là nghiệm của hệ phương trình
Ax = b
Hơn nữa, tất cả các nghiệm của hệ phường trình Ax = b đều có dạng như trên Nhận xét 4.3
1 Nếu phương trình tuyến tính Ax = b có nghiệm thì nghiệm x = A†b là nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình
2 Nếu phương trình tuyến tính Ax = b vô nghiệm thì ta có thể coi A†b là một
"nghiệm gần đúng" của phương trình
4.2 Nghịch đảo Moore-Penrose trong phục hồi ảnh kỹ thuật
số [1]
Trong quá trình phục hồi ảnh bị mờ, người ta sử dụng mối quan hệ giữa 2 thành phần xout và xin trong đó xout là hình ảnh xuống cấp được X-quang số hóa và xin là bản gốc xác định hình ảnh đó đã được phục hồi Mối quan hệ giữa xout và xin được thể hiện qua phương trình sau
Hxin = xout
Tuy nhiên, vì có vô số nghiệm xin thỏa mãn phương trình Hxin= xout, nên việc bổ sung thêm 1 tiêu chuẩn để tìm thấy một vectơ phục hồi mạnh là điều cần thiết Và tiêu chuẩn để phục hồi hình ảnh mờ mà chúng ta thường sử dụng là tối thiểu khoảng cách của các dữ liệu của hình ảnh, nghĩa là, tìm nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình Hxin = xout
Như đã nêu ở phần 4.1, ta đã chứng minh được rằng nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình dạng Ax = b là
˜
x = A†b
Trang 9Hình 1: Hình ảnh X-quang
Chúng ta nhận thấy kết quả xử lý hình ảnh qua hai phương pháp Lagrang và giả nghịch đảo là giống nhau tuy nhiên tốc độ xử lý ảnh khi dùng phương pháp nghịch đảo nhanh hơn nhiều so với phương pháp Lagrang Và đây là một trong những ứng dụng phổ biến nhất của nghịch đảo Moore-Penrose
4.3 Sử dụng MATLAB 7 để tính nghịch đảo Moore-Penrose Phần mềm MATLAB 7.0 có thể sử dụng trên Intel(R) Pentium(R) Dual CPU T2310@1.46GHz 1.47 GHz 32-bit system, RAM 2GB chạy trên Windows Vista Home Premium Operating System
function Y=Moore(A)
H=A’*A; [m,n]=size(H); r=rank(H); P=poly(H); k=m-r;
[z,x]= size(P); v=x-k;
for i=1:x
if i>v | i<v
a(1,i)=0;
else
a(1,i)=P(1,i);
end
end
q=a-P; w(1,1)=a(1,v);
for i=2:(x-v+2)
Trang 10end
t=deconv(q,w); [g,h]=size(t); c=zeros(m);
for i=1:h
c=c+t(1,i)*H^(h-i);
end
Y=c*A’
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Spiros Chountasis, Vasilios N Katsiki và Dimitrios Pappas (2009), Applications
of the Moore-Penrose Inverse in Digital Image Restoration, Hindawi Publishing Corporation
[2] Ching-hsiang Hung và T.L.Markham (1974), The Moor-Penrose Inverse of a Partitioned matrix, University of South Carolina
[3] Xuzhou Chen và Jun ji (2011), Computing the Moore-Penrose Inverse of à matrix through Symmetric Rank-One Updates, American Journal of Computa-tional Mathematics,2011,1,147-151
[4] Arthur Albert (1972), Regression and the Moore-Penrose pseudoinverse, Boston University, Boston, Massachusetts
[5] A Ben-Israel and T N E Greville (2003), Generalized Inverses: Theory and Applications, 2nd Edition, Springer-Verlag, NewYork
[6] A Ben-Israel (1986), Generalized inverses of matrices: a perspective of the work
of Penrose, Math Proc Camb Phil Soc 100, 401-425
NGUYỄN THANH NGUYÊN
SV lớp Toán 3, Khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
