Một số đẳng thức về hạng của ma trận

Bài viết đưa ra một số kiến thức cơ bản, một số ký hiệu đồng thời cũng đưa ra cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin giúp cho người đọc có thể có cái nhìn rõ hơn về hai loại nghịch đảo này. Trình bày một số bổ đề về hạng của ma trận; Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy rộng. Lưu ý các ma trận mà chúng ta xét trong bài báo này là các ma trận có các phần tử trên trường C.

LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY

Khoa Toán học

Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập một số đẳng thức

hạng của ma trận liên quan đến nghịch đảo Moorse-Penrose và nghịch

đảo Drazin

1 GIỚI THIỆU

Trong đại số tuyến tính, một ma trận vuông A là khả nghịch khi và chỉ chi rank(A) =

n Nhưng lớp các ma trận không khả nghịch là "khá lớn", nhằm khắc phục điều này Moore-Penrose và Drazin đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trận Moore-Penrose đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trận A cấp m × n là một ma trận X thõa mãn 4 phương trình: AXA = A, XAX = X, (AX)∗ = AX, (XA)∗ = XA Sau đó X được gọi là nghịch đảo Moore-Penrose và

ký hiệu là A† Drazin cũng đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trận vuông A cấp n có chỉ số k là một ma trận X thõa mãn 3 phương trình: AkXA = Ak, XAX = X, AX = XA, X được gọi là nghịch đảo Drazin và ký hiệu là AD Ta thấy rằng các nghịch đảo suy rộng là những ma trận có những tính chất gần giống với

ma trận nghịch đảo thông thường của một ma trận cho trước Ngay từ khi mới ra đời nghịch đảo suy rộng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết đồ thị, phương trình vi phân và giải tích hàm

Mục đích chính của bài báo này là nghiên cứu một số đẳng thức về hạng của ma trận liên quan đến nghịch đảo suy rộng

Vấn đề liên quan đến hạng của ma trận và các nghịch đảo suy rộng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, một số bài báo và những cuôn sách viết

về vấn đề này như: [6] G.Marsaglia and G.P.H Styan, Equalities and inequalities for ranks of matrices, Linear and Multilinear Algebra 2(1974) 269-292, [4] C.D.Meyer, Jr., Generalized inverses inverses and ranks of block matrices, SIAM J.Appl Math 25(1973), 597-602, [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications, Yongge Tian

Kết quả đạt được của bài báo là chứng minh chi tiết các đẳng thức hạng liên

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015

Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr 5-19

quan đến nghịch đảo suy rộng, các đẳng thức được chứng minh nằm rãi rác trong quyển sách [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications-Yongge Tian, do tôi chọn lọc và trình bày

Bài báo được chia làm 4 mục Sau mục giới thiệu là Mục 2 nói về một số kiến thức đại số tuyến tính Trong mục này chúng tôi đưa ra một số kiến thức cơ bản, một số

ký hiệu đồng thời cũng đưa ra cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin giúp cho người đọc có thể có cái nhìn rõ hơn về hai loại nghich đảo này Trong Mục 3, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề về hạng của ma trận Cuối cùng, Mục 4 chúng tôi sẽ trình bày một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy rộng Lưu ý các ma trận mà chúng ta xét trong bài báo này là các ma trận có các phần tử trên trường C

2 MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

2.1 Một số khái niệm và ký hiệu

+ Cho A là ma trận cấp m × n trên C Lúc đó ta gọi A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của A tức là A∗ = (bij)n×m ở đó bij = ¯aji

+ Cho hai không gian U , V trên C có số chiều lần lượt là n và m Ký hiệu L(U, V)

là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V Ta biết rằng L(U , V) là C− không gian vectơ đẳng cấu với không gian Cm×n Do đó với ma trận A ∈ Cm×n, ta có thể đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính

A : Cn→ Cm, với

Im(A) = {y ∈ Cm : y = Ax, ∀x ∈ Cn} được ký hiệu là R(A)

Ker(A) = {x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu là N (A)

+ Ký hiệu r(A) là hạng của ma trận A

+ Cho A, B là hai không gian con Cn Lúc đó ta định nghĩa tổng của hai không gian con A và B là:

A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B} Và nếu A ∩ B = {0} thì lúc đó tổng hai không gian con gọi là tổng trực tiếp và kí hiệu A ⊕ B

+ Cho ma trận C vuông cấp n trên trường C ma trận C được gọi là lũy đẳng nếu

C2 = C

+ Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường C Số nguyên không âm nhỏ nhất k sao cho rank(Ak) = rank(Ak+1) được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là ind(A)

Từ định nghĩa trên ta dễ dàng thấy ma trận 0 có chỉ số là 1

2.2 Nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin

2.2.1 Nghịch đảo Moore-Penrose

Cho A là ma trận cấp m × n trên trường C Vào năm 1955 Penrose đã chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ma trận X thõa mãn bốn phương trình sau:

AXA = A

XAX = X

(AX)∗ = AX

(XA)∗ = XA

lúc đó X được ký hiệu bởi A†, A† được gọi là nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận A

Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose nhằm có một cái nhìn rõ hơn về nghịch đảo này:

Cho A là một ma trận cấp m × n trên trường C Lúc đó ta có thể xem A như là một ánh xạ tuyến tính với cặp cơ sở chính tắc, bây giờ ta đi xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose

Ta có R(A∗) là một không gian con của Cn, mặt khác r(A∗) = r(A), nên:

A|R(A∗ ) : R(A∗) → R(A)

là một song ánh, từ đó giả sử R(A∗) =<−→

a01, ,−→

a0k> thì R(A) =< A(−→

a01), , A(−→

a0k) >

ta viết lại R(A) =< −→a

1, , −→a

k > ở đó −→a

1 = A(−→

a01), , −→a

k = A(−→

a0k) Sau đó ta

bổ sung vào hệ {−→a

1, , −→a

k} các vector −→ak+1, , −→a

m ở đó −→a

k+1, , −→a

m là các vector thõa mãn R(A)⊥ =< −→a

k+1, , −→a

m >= N (A∗), đồng thời ta cũng bổ sung vào hệ {−→

a01, ,−→

a0k} các vector −→a0k+1, ,−→

a0n trong đó các vector −→

a0k+1, ,−→

a0n thõa mãn N (A) =<−→

a0k+1, ,−→

a0n>, lúc đó ta được một cơ sở {−→a

1, , −→a

m} của

Cm và một cơ sở {−→

a01, ,−→

a0n} của Cn bây giờ ta xây dựng ma trận B trong cặp cơ

sở này :

Cm → Cn

−

→a

1 →−→a01

→ .

−

→a

k→−→a0k

−

→a

k+1 →−→0

→ .

−

→a

m →−→0

như vậy B đã xác định vì đã biết ảnh của một cơ sở, lưu ý để viết ma trận của B ta phải chuyển về cơ sở chính tắc, không khó khăn gì khi kiểm tra ma trận B thỏa mãn bốn phương trình của nghịch đảo Moorse-Penrose như vậy B đã xác định vì đã biết ảnh của một cơ sở, lưu ý để viết ma trận của B ta phải chuyển về cơ sở chính tắc, không khó khăn gì khi kiểm tra ma trận B thỏa mãn bốn phương trình của nghịch đảo moorse-penrose Cố định cặp cơ sở trên ta có thể chứng minh các tính chất sau:

(i) R(AA†) = R(A)

(ii) R(A†A) = R(A†)

(iii) R(A†) = R(A∗)

(iv) r(A†A) = r(A†) = r(A∗) = r(A) = r(AA†)

2.2.2 Nghịch đảo Drazin

Cho A ∈ Cn×n và ind(A)=k Năm 1958 Drazin đã chứng minh được rằng tồn tại duy nhất một ma trận X ∈ Cn×n thõa mãn

X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là AD

Cũng như nghịch đảo Moore-penrose ta cũng sẽ đi tìm hiểu rõ hơn về cách xây dựng nghịch đảo này

Mệnh đề 2.1 ([2, Mệnh đề 2.2.3] Cho A ∈ Cn×n, ind(A)=k Khí đó Cn = R(Ak) ⊕

N (Ak)

Bây giờ nếu ta xem A như là một ánh xạ tuyến tính thì lúc đó ta có AR(Ak) = R(Ak+1) = R(Ak) Do đó A|R(Ak ) là một đẳng cấu nên A|R(Ak ) khả nghịch Mặt khác theo [Mệnh đề 2.1] mỗi x ∈ Cn được phân tích duy nhất x = u + v trong đó

u ∈ R(Ak), v ∈ N (Ak) Từ đó ta xây dựng ma trận X như sau:

Xu =

(

A−1|R(Ak )u nếu u ∈ R(Ak),

0 nếu u ∈ N (Ak)

Dễ dàng kiếm chứng rằng X là nghịch đảo Drazin

Tiếp theo chúng ta sẽ đi đến một vài mệnh đề, nó giúp có cái nhìn rõ hơn về nghịch đảo này

Mệnh đề 2.2 Cho A ∈ Cn×n và ind(A)=k Lúc đó luôn tồn tại một ma trận P không suy biến sao cho

A = PC 0

0 N



P−1,

trong đó C là ma trận không suy biến N là ma trận lũy linh k Đồng thời

AD = PC−1 0

0 0



P−1

Mệnh đề 2.3 ([3, Mệnh đề 7.8.1, trang 147]) Cho A ∈ Cn×n có ind(A)=k Lúc đó mối số nguyên l ≥ k và bất kì nghịch đảo yếu nào của A2l+1 ta có

AD = Al(A2l+1)−Al

, đặc biệt AD = Al(A2l+1)†Al

3 MỘT SỐ BỔ ĐỀ VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN

Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một vài đẳng thức hạng nó là cơ sở để xây dựng các đẳng thức ở Mục 4

Bổ đề đầu tiên chúng tôi muỗn nói đến ở đây là khi chúng ta bổ sung thêm các vectơ hàng hay cột vào một ma trận sẽ làm tăng hạng của ma trận đó, từ đó ta nhận được các bất đẳng thức về hạng tương ứng như sau:

Bổ đề 3.1 Cho A ∈ Cm×n, B ∈ Cm×k, C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k

(i) rA

B



≥ r(A), rA

B



≥ r(B)

(ii) r[A, B] ≥ r(A), r[A, B] ≥ r(B)

Hai đẳng thức tiếp theo được nêu dưới đây là công thức quen thuộc trong đại số tuyến tính, đó là dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim A ∩ B ở đó A và B là các không gian con Cn, được viết dưới dạng ma trận

Bổ đề 3.2 Cho A ∈ Cm×n, B ∈ Cm×k

, C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k

(i) rA

B



= r(A) + r(B) − dim R(A>) ∩ R(B>)

(ii) r[A, B] = r[A] + r[B] − dim R(A) ∩ R(B)

Chúng ta hãy nhìn lại [Bổ đề 3.2], nếu chúng ta tìm được một ma trận B sao cho R(A) ∩ R(B) = {0} thì lúc đó làm mất đi được đại lượng dim R(A) ∩ R(B) chính ý tưởng này, thông qua việc xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose mà chúng tôi đã trình bày, bạn có thể thấy R(I − AA†) ∩ R(A) = {0} dẫn đến R[(I − AA†)B] ∩ R(A) = {0}

Từ nhận xét trên ta đi đến bổ đề tiếp theo

Bổ đề 3.3 (xem [6], [4]) Cho A ∈ Cm×n, B ∈ Cm×k, C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k (i) r[A, B] = r(A) + r(B − AA†B) = r(B) + r(A − BB†A)

(ii) rA

C



= r(A) + r(C − CA†A) = r(C) + r(A − AC†C)

Cùng với những tính chất như trên, bằng cách sử dụng các phép toán trên ma trận khối chúng ta có thể đạt được những đẳng thức sau bạn đọc có thể tham khảo chi tiết thông qua tài liệu

Bổ đề 3.4 (xem [6], [4]) Cho A ∈ Cm×n, B ∈ Cm×k, C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k

(i) rA B

C D



= r(A) + r



0 (I − AA†)B C(I − A†A) D − CA†B



(ii) Giả sử R(B) ⊆ R(A) và R(C∗) ⊆ R(A∗) Lúc đó ta có:

rA B

C D



= r(A) + r(D − CA†B),

(iii) Cho A1, A2, B1, B2, C1, C2 và D sao cho các ma trận D − C1A†1B1 − C2A†2B2 được xác đinh Lúc đó

r(D − C1A†1B1− C2A†2B2) =





A∗1A1A∗1 0 A∗1B1

0 A∗2A2A∗2 A∗2B2

C1A∗1 C2A∗2 D



− r(A1) − r(A2)

Qua việc tìm hiểu nghịch các đảo Moore-Penrose, nghịch đảo Drazin ở [Mục 2.2.1, 2.2.2] chúng ta nhận thấy các ma trận AA†, A†A, I − AA†, AA†− I, AAD là các ma trận lũy đẳng, từ đó nảy sinh việc đi tìm các đẳng thức hạng liên quan đến ma trận lũy đẳng, sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một số đẳng thức cần thiết

Bổ đề 3.5 (Xem [7]) Cho P, Q ∈ Cn×n là các ma trận lũy đẳng Lúc đó

(i) r[Q, P ] = r(Q) + r[−QP + P ] = r(P ) + r[Q − P Q],

(ii) r[P − Q] =P

Q

 + r[P, Q] − r(P ) − r(Q)

(iii) Cho P ∈ Cm×m, Q ∈ Cn×n và A ∈ Cm×n

r[P A − AQ] = rP A

Q

 + r[AQ, P ] − r(P ) − r(Q)

Bổ đề 3.6 Cho A là một ma trận vuông

(i) R(A∗AA∗) = R(A∗)

(ii) R(Ak) = R(AkA∗)

Bổ đề 3.7 Cho A ∈ Cm×n, B ∈ Cn×m và N ∈ Cm×m Lúc đó

(i) r(A − ABA) = r(A) + r(In− BA) − n = r(A) + r(Im− BA) − m

Chứng minh Xét ma trận khốiA 0

0 In− BA

 bằng phép biến đổi trên ma trận

khối ta có r(A) + r(In− BA)=rA 0

0 In− BA



=rA A

0 In− BA



=r A A

BA In



=r



0 A

BA In



=rA − ABA A

0 In



=rA − ABA 0

0 In



=r(A − ABA) + n Tương tự ta cũng chứng minh được r(A − ABA) = r(A) + r(Im− BA) − m

(ii) r(Im− N2) = r(Im+ N ) + r(Im− N ) − m

Chứng minh xét ma trận khốiIm− N 0

0 Im+ N

 băng phép biến đổi trên ma

trận khối ta có r(Im+N )+r(Im−N )=rIm− N 0

0 Im+ N



=rIm− N 0

Im− N Im+ N



=rIm− N 0

2Im Im+ N



=r





0 −1

2 (Im− N2) 2Im Im+ N





=r





0 −1

2 (Im− N2)



=r(Im− N2) + m

4 MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG LIÊN QUAN ĐẾN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG

4.1 Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo

Moore-penrose

Một ma trận vuông A được gọi là ma trận EP nếu R(A) = R(A∗) Ma trận EP

có rất nhiều tính chất, một trong những tính chất liên quan đến ma trận EP là

AA†= A†A, và điều ngược lại cũng đúng nếu AA†= A†A thì A là ma trận EP (Xem [3]) Và bây giờ chúng ta sẽ đi thiết lập một số đẳng thức hạng của ma trận, để tìm các điều kiên khi nào một ma trận vuông A là một ma trận EP

Mệnh đề 4.1 Cho A ∈ Cm×m Lúc đó hạng của AA†− A†A thỏa mãn đẳng thức sau:

r[AA†− A†A] = 2r[A, A∗] − 2r(A) = 2r[A − A2A†] = 2r[A − A†A2],

Chứng minh Ta có AA† và A†A là ma trận lũy đẳng nên theo [2, Bổ đề 3.5] ta có r[AA†− A†A] = rAA†

A†A

 + r[AA†, A†A] − r[A†A] − r[AA†]

Theo [2.2.1]

r(A†A) = r(AA†) = r(A) (1) Theo [1, 2, 3, 2.2.1] ta có R(AA†) = R(A) và R(A†A) = R(A†) = R(A∗) nên

r[AA†, A†A] = r[A, A∗] ([2, Bổ đề 3.2]) (2)

Ta có

rAA†

A†A



= r(AA†

A†A

 )∗ = r[(AA†)∗, (A†A)∗] = r[AA†, A†A] = r[A, A∗] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra r[AA†− A†A] = 2r[A, A∗] − 2r(A)

Bây ta xét 2r[A, A∗] − 2r(A) theo [Mệnh đề 2.1] ta có 2r[A, A∗] − 2r(A) = r[(I −

AA†)A∗)] = r([(I − AA†A∗)]∗) = r[A(I − AA†)∗] = r[A(I − AA†)] = r[A − A2A†] Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng chứng minh được 2r[A, A∗] − 2r(A) = 2r(A − A†A2), vậy [Mệnh đề 4.1] đã được chứng minh

Từ [Mệnh đề 4.1], ta có

Hệ quả 4.2 Cho A ∈ Cm×m, lúc đó

(i) AA† = A†A ⇐⇒ r[A, A∗] = r(A) ⇐⇒ A = A2A†⇐⇒ A = A†A2 ⇐⇒ R(A) = R(A∗), nghĩa là A là ma trận EP

(ii) AA†−A†A không suy biến ⇐⇒ r[A, A∗] = 2r(A) = m ⇐⇒ R(A)⊕R(A∗) = Cm

Mệnh đề 4.3 Cho A ∈ Cm×m và k là một số nguyên, k ≥ 2 Lúc đó

r(AkA†− A†Ak) = rAk

A∗

 + r[Ak, A∗] − 2r(A)

Chứng minh Ta viết A†Ak = A†AAk−1 và AkA† = Ak−1AA† lưu ý A†A và AA† là các ma trận lũy đẳng theo [3, Bổ đề 3.5], ta có

r(AkA†− A†Ak) = r(A†Ak− AkA†) = rA†Ak

AA†

 + r[AkA†, A†A] − r(A†A) − r(AA†)

(4) Bởi vì R((Ak)∗(A†)∗) ⊆ R((Ak)∗) và R((Ak)∗) = R((A∗)k) = R((A∗)k−1.A∗) = R((Ak−1)∗.A∗.(A∗)†.A∗) = R((Ak)∗.(A∗)†.A∗) ⊆ R((Ak)∗(A†)∗) nên R((Ak)∗(A†)∗) = R((Ak)∗), mặt khác

rA†Ak

AA†



= r(A†Ak

AA†

∗

) = r[(Ak)∗(A†)∗, AA†]

Vì vậy

rA†Ak

AA†



= r[(Ak)∗(A†)∗, AA†] = r[(Ak)∗, A] = rAk

A∗



Bời vì R(AkA†) ⊆ R(Ak), R(Ak) = R(Ak−1A) = R(Ak−1AA†A) = R(AkA†A) ⊆ R(AkA†) nên R(AkA†) = R(Ak), mặt khác R(A†A) = R(A†) = R(A∗), vì vậy

r[AkA†, A†A] = r[Ak, A∗] (6)

Từ (4), (5), (6) và r(A†A) = r(AA†) = r(A) = r(A†) ta thu được

r(AkA†− A†Ak) = rAk

A∗

 + r[Ak, A∗] − 2r(A)

Mệnh đề 4.4 Cho A ∈ Cm×m và k là một số nguyên k ≥ 2 Lúc đó

(i) r[A(Ak)†− (Ak)†)A] = r



Ak

AkA∗

 + r[Ak, A∗Ak] − 2r(Ak)

(ii) r[A(Ak)†− (Ak)†)A] = 2r[A, A∗] − 2r(A), nếu r(A) = r(A2)

Chứng minh Theo [3, Bổ đề 3.4] áp dụng cho A1 = Ak, A2 = Ak, B1 = I, B2 = A,

C1 = A, C2 = I, D = 0 ta có :

r[A(Ak)†− (Ak)†)A]=





(Ak)∗Ak(Ak)∗ 0 (Ak)∗

0 −(Ak)∗Ak(Ak)∗ (Ak)∗A A(Ak)∗ (Ak)∗ 0



− 2r(Ak)

bằng phép biến đổi sơ cấp trên ma trận khối ta có

r





(Ak)∗Ak(Ak)∗ 0 (Ak)∗

0 −(Ak)∗Ak(Ak)∗ (Ak)∗A

A(Ak)∗ (Ak)∗ 0





=





(Ak)∗Ak(Ak)∗ (Ak)∗Ak−1(Ak)∗ (Ak)∗

A(Ak)∗ (Ak)∗ 0



=





0 0 (Ak)∗

0 0 (Ak)∗A A(Ak)∗ (Ak)∗ 0





=r



Ak

AkA∗



+ r[Ak, A∗Ak] − 2r(Ak) Như vậy ta có

r[A(Ak)†− (Ak)†)A] = r



Ak

AkA∗

 + r[Ak, A∗Ak] − 2r(Ak)

(Chứng minh được đẳng thức [1, Mệnh đề 4.4])

Chứng minh đẳng thức [2, Mệnh đề 4.4]

Giả sử r(A) = r(A2) thì lúc đó ta có R(A) = R(Ak) và R(A∗) = R((A∗)k) với mọi

k ≥ 2

Bây giờ ta chứng minh r[Ak, A∗Ak] = r[A, A∗], để chứng minh điều này ta sẽ chứng minh R(Ak) = R(A) và R(A∗Ak) = R(A∗), như ở nhận xét trên ta có R(Ak) = R(A) bây giờ ta chứng minh R(A∗Ak) = R(A∗):

Hiển nhiên R(A∗Ak) ⊆ R(A∗), giả sử y ∈ R(A∗) = R(A∗A) khi đó tồn tại z ∈ Cm sao cho y = A∗Az mặt khác ta có R(Ak) = R(A) nên tồn tại x ∈ Cm sao cho

Az = Akx, do đó y = A∗Akz, suy ra y ∈ R(A∗Ak), vậy R(A∗) ⊆ R(A∗Ak), từ điều này kết hợp với R(A∗Ak) ⊆ R(A∗), ta thu được R(A∗) = R(A∗Ak), vậy

r[Ak, A∗Ak] = r[A, A∗] (7)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh r



Ak

AkA∗



=r A

A∗



Ta có r



Ak

AkA∗



=r



Ak

AkA∗

∗

=r[(Ak)∗, A(Ak)∗] từ đây dựa trên kỹ thuật chứng minh như phần chứng minh r[Ak, A∗Ak] = r[A, A∗] với lưu ý R(AA∗) = R(A) (theo [Hệ quả 4.2]) thì ta sẽ chứng minh được r[(Ak)∗, A(Ak)∗]=r[A, A∗], vậy

r



Ak

AkA∗



Từ đẳng thức [1, Mệnh đề 4.4], (7), (8) và r(Ak) = r(A) (như đã nhận xét trên) ta thu được đẳng thức [2, Mệnh đề 4.4]

Mệnh đề 4.5 Cho A ∈ Cm×m Lúc đó