Lương cơ bản của các nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thực hiện được trong tháng và được xác định như sau

Bài 1: Lương cơ bản của các nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thựchiện được trong tháng và được xác định như sau: Doanh số bán hàng x triệu đồng Lập hàm số tính tiền l

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH



BÀI TẬP LỚN Toán cao cấp 2

p 09.04/ Nhóm 2

11 Lê Thu Trang

12 Lê Thu Trang

13 Nguyễn Thu Trang (NHÓM TRƯỞNG)

14 Trần Tuấn Vũ

15 Nguyễn Minh Vương

Bài 1: Lương cơ bản của các nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thựchiện được trong tháng và được xác định như sau:

Doanh số bán hàng (x triệu

đồng)

Lập hàm số tính tiền lương trong tháng của nhân viên bán hàng Cho biết tiền lương đượctính bằng lương cơ bản cộng thêm 10% doanh số bán hàng vượt trên mốc dưới trongkhoảng để tính mức lương cơ bản

GiảiGọi y là số tiền lương (triệu đồng) của nhân viên bán hàng theo doanh số bán hàng x mà

5

5

51

511

khi x khi x

x x

khi x khi x

a) Một khách hàng sử dụng 25m nước trong tháng thì phải trả bao nhiêu tiền?3

b) Lập hàm số xác định giá trung bình cho 1m theo lượng nước sử dụng.3

c) Nếu một khách hàng phải trả số tiền nước là 400 nghìn đồng cho một tháng thì số métkhối nước sử dụng của khách hàng trong tháng đó là bao nhiêu?

GiảiGọi y là số tiền phải trả (nghìn đồng) khi sử dủng x (m ) nước trong 1 tháng 3

a) Lập hàm số tính lương hàng tháng của công nhân nhà máy đó.

b) Nếu lương trên 12 triệu đồng/tháng thì người đó phải đóng thuế thu nhập cánhân 10%trên số tiền vượt mức 12 triệu đồng Hãy lập hám tính lương hàng tháng của công nhânkhi có áp dụng tính thuế

TH2: 200 x 300=> 12000 = 80x– 800 x=250(h) (Thỏa mãn)

 Số giờ làm việc tối thiếu là 250h để được lương 12 triệu

Hàm lương hàng tháng của công nhân khi tính thuế

a) Một khách hàng mua 400kg rau thì phải trả bao nhiêu tiền?

b) Lập hàm số xác định giá trung bình cho 1kg rau theo lượng rau đã mua

a) Nếu một khách hàng mua 70 sản phẩm thì khách hàng đó phải trả bao nhiêu tiền?b) Lập hàm số tính số tiền phải trả theo số sản phẩm mà khách hàng mua

Giải

a Nếu khách hàng mua 70 sản phẩm thì khách hàng đó phải trả:

500 đvsp thì giá là 10000 đồng/1đvsp Lập hàm số tính số tiền phải trả theo số đvsp trong

lô hàng đã mua

GiảiGọi y là số tiền (đồng) phải trả khi mua x (đvsp)

5x  

Vậy ( )f x liên tục trên đoạn   ;   3

Bài 9 Tìm tham số a b, để hàm số sau liên tục trên miền xác định:

thì ( )f x luôn tồn tại trên 

Bài 10 Sử dụng định lý Bolzano-Cauchy chứng minh rằng các phương trình:

8(x1)  (x1)  x1 có duy nhất 1 nghiệm dương

b, 7 5

9(x2)  (x2)  x2 có duy nhât 1 nghiệm    1; 

9 0(x2) (x2)  x2 

f x f

a Tìm a,b để hàm số f x( ) có đạo hàm trên (1,4).

b Với các giá trị của a,b tìm được ở câu (a), hãy xác định xem tại x3, nếu xtăng

2% giá trị thì giá trị của f x( ) thay đổi thế nào?

 f x'( ) x2 2x

Với x  (3,4) thì f x( ) ax blà hàm sơ cấp và liên tục /(3,4)  f x'( ) = a

Vậy a=3, b=-4 là giá trị cần tìm

Bài 14: Sử dụng định lí Rolle, hãy tìm số nghiệm và khoảng chứa nghiệm của phương trình f x'( ) 0 , biết rằng: f x( )x x(2 2 3x1)(x 2), xR

 f x'( ) không quá 3 nghiệm (**)

Từ (*) và (**), vậy f x'( ) 0 có 3 nghiệm phân biệt và khoảng nghiệm

do f x( ) log 3x là hàm sơ cấp, xác định trên b a;  nên nó liên tục và có đạo hàm trên R

áp dụng định lí Lagrange, tồn tại cb a;  sao cho

e x b khi x Tìm a,b để hàm số f thoả mãn

định lí Lagrange trên đoạn  2; 4

2 0 0

x

x x

Vậy với a=-3; b=1 thì thoả mãn định lí Lagrange trên  2; 4

Bài 17: Dùng định nghĩa, tính các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại điểm x = 0 của hàm số:

f ( x ) x

khi x

GiảiVới x   ;0  0; , có:

1( )

15

b) Với a,b vừa tìm được thì hàm số có khả vi cấp 2 tại x = 1 không? Vì sao?

Ý nghĩa: Vậy tại thì hàm số thay đổi bằng hệ số co giãn là -2%

tại thì hàm số tại thay đổi bằng hệ số co giãn là 4%

Bài 20: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm có hàm tổng chi phí là

13

Giải

=>Hàm lợi nhuận theo sản phẩm Q là

Vậy với mức sản lượng thì doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

Bài 21: Một hãng sản xuất một loại sản phẩm với giá bán p = 243 – 2 và hàm tổng chi phí

1

x x x

x e







5

1 22lim 1

1

x x

3lim

1

x

e

x x x

x

e e

x x

x

e x





00

1

x x

L x

1

x x

1

x x

x x

e e

x x

Vậy giới hạn cần tìm có giá trị là e = 10

Bài 23: Tính các tích phân sau:

x x

3 2 10

0

lim

b

x b

Vậy tích phân suy rộng cần tính là hội tụ có giá trị bằng

32

1

b b x

b I

Vậy tích phân suy rộng cần tính là phân kì có giá trị bằng 

Bài 24: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm với mức sản lượng Q Hàm chi phí biên theo sản lượng được cho bởi MC0,006Q20, 2Q40(nghìn đồng/sản phẩm).a) Xác định hảm tổng chi phí của công ty, biết chi phí cố định FC 30 Triệu đồng.

b) Hiện tại, công ty đang sản xuất 200 sản phẩm Hỏi nếu công ty sản xuất thêm 1 sản phẩm thì chi phí tăng thêm một lượng xấp xi bằng bao nhiêu?

Giảia.Nếu kí hiệu TC(Q) là hàm tính tổng chi phí thì

Bài 25: Một nhà máy sản xuất một loại hang hóa có hàm doanh thu cận biên và hàm chi phí cận biên lần lượt được cho như sau:

3

( ) (5 ) ; ( ) 5

MR x x  x MC x  x(triệu đồng/đơn vị hang hóa);

Trong đó, x là số đơn vị hang hóa được sản xuất Tổng lợi nhuận sẽ thay đổi bao nhiêu nếu mức sản xuất tăng từ 2 lên 8 đơn vị hàng hóa?

Bài LàmNếu ký hiệu TC (x) là hàm tổng chi phí thì sự gia tăng chi phí chính bằng hiệu:

lai của dòng tiền phát sinh trong khoảng thời gian0  tại thời điểm t 8 T , biết rằng 8mức lãi suất ổn định i5, 5% mỗi năm, tính lãi kép và phương pháp ghép lãi liên tục?

8

0 0

Vậy giá trị hiện tại của dòng tiền trên xấp xỉ bằng 154,23 triệu đồng

Áp dụng công thức tính giá trị tương lai của dòng tiền

u dt

u t

e v

2 0

Vậy giá trị tương lai của dòng tiền trên xấp xỉ bằng 239,47 triệu đồng

Bài 27: Cho hàm số 2 biến số f x y( , ) x3 x y2 3xy y 2 Tính các đạo hàm riêng của( , )

f x y tại các điểm thuộc miền xác định và tại điểm ( 1;2) .

Giải

Ta có:

2 3

Bài 29: Cho hàm số f x y( , )3xy Tính các vi phân riêng và vi phân toàn phần của hàm

Bài 30: Cho hàm số có dạng hàm Cobb-Douglas: z205 x y x3 4, 0,y0

a) Tính các hệ số co giãn của hàm z tại điểm (x,y) bất kì và nêu ý nghĩa

b) Tại điểm ( , )x y0 0 , nếu biến x tăng 2% giá trị, biến y giảm 3% giá trị thì hàm số sẽ thayđổi như thế nào?

Giảia)Ta chọn tính hệ số co giãn của hàm z tại điểm ( , )x y0 0

45

%

5

Bài 31: Cho hàm số z43x2 y

a) Tính các hệ số co giãn riêng của hàm số tại điểm M 9;13 và nêu ý nghĩa

b) Tại điểm M 9;13 , nếu x tăng 1,5% giá trị còn y giảm 0,5% giá trị thì z thay đổi thếnào?

 Hệ số co giãn riêng theo biến x tại điểm M(9;13) là:

 Tìm điểm dừng

Ta có hệ

3 2

x y

x y

x y

 P là cực tiểu toàn cục của hàmf với các ràng buộc đã cho.

Bài 34: Giả sử 1 hãng sản xuất 2 loại sản phẩm có hàm chi phí là:



Hàm số co giãn toàn phần: tại điểm sản lượng (20;30), nếu Q tăng 1% và 1 ytăng Q % thì2

 ( ; )x y đạt giá trị lớn nhất tại điểm M1(4;15) và max253

Vậy hang nên sản xuất 4 loại sản phẩm A và 15 loại sản phẩm B để lợi nhuận tối đa bằng

nghĩa kinh tế của các con số nhận được?

b) Hang nên sản xuất mỗi loại với số lượng bao nhiêu để có được lợi nhuận tối đa?

Vậy hãng nên sản xuất mỗi loại 26 sản phẩm để có được lợi nhuận tối đa.

Bài 37: một hãng lựa chọn số lượng các yếu tố đầu vào phục vụ cho sản xuất là thì hàm lợi ích là:

( , ) 50

u x y  x y Gía 1 đơn vị yếu tố đầu vào loại 1; 2 lần lượt là 8; 15 (triệu

đồng) Xác định để hãng thu được lợi ích tối đa trong điều kiện chỉ được dùng ngân sách

1 3 ( , , ) ln 50 ln ln (300 8 15 )

1516

121

( , , ) ( , , )1

02

304

x y

U x y  x y , trong đó x  0, y  0lần lượt là số lượng yếu tố đầu vào thứ nhất và thứ

hai Hãy xác định tổng số lượng các yếu tố đầu vào để giá trị sản xuất của hãng thu được

là lớn nhất Biết hãng sử dụng hết 84 triệu đồng để mua các yếu tố đầu vào, đồng thời giá

1 đơn vị yếu tố đầu vào thứ hai gấp 1,5 lần giá một đơn vị yếu tố đầu vào thứ nhất và tổng

số tiền để mua được 1 đơn vị yếu tố đầu vào mỗi loại là 5 triệu đồng

GiảiGọi là giá (triệu đồng) ứng với mỗi đơn vị yếu tố đầu vào (z0)

2

L x x

2 3 84(1)2

31

2

x y x y

yx( , , ) ( , , )2

03

102

x y

Bài 39: Gía trị sản xuất U của một hang phụ thuộc số lượng x yếu tố đầu vào A, số lượng

y yếu tố đầu vào B, số lượng z yếu tố đầu vào C mà doanh nghiệp sử dụng và được xác định bởi

15 ,( , , 0)

a) Tính giá trị sản xuất của doanh nghiệp đó biết số lượng các yếu tố đầu vào lần lượt là 81,16 và 9

b) Biết giá trị mỗi đơn vị yếu tố đầu vào A, B, C lần lượt là 5, 2, 4 và doanh nghiệp sử dụng hết lượng ngân sách bằng 194 để mua các yếu tố đầu vào, trong đó mua đúng 16 đơn vị yếu tố đầu vào A Hãy xác định số lượng các yếu tố đầu vào B và C mà doanh nghiệp cần để U đạt giá trị lớn nhất

3 2

[ ( , , )]

2258

Tương đương với phương trình

x y

x y

*

* 2

03

( , , )

203

3x x



và định thức con chính dẫn đầu cấp 2 bằng