Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ============ Báo cáo bài tập nhóm TỐI ƯU HÓA Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay sự cạnh tranh khốc liệt trong hoạt động sản xuất kinh doanh luôn đòi hỏi các nhà quản lý doanh nghiệp phải thường xuyên lựa chọn phương án để đưa ra các quyết định nhanh chóng, chính xác và kịp thời với những ràng buộc và hạn chế về các điều kiện liên quan tới tiềm năng của doanh nghiệp, điều kiện thị trường, hoàn cảnh tự nhiên và xã hội. Việc lựa chọn phương án nào là tối ưu theo mục tiêu định trước là hết sức quan trọng. Nếu tất cả các yếu tố (biến số) liên quan đến khả năng, mục đích và quyết định lựa chọn đều có mối quan hệ tuyến tính thì chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) để mô tả, phân tích và tìm lời giải cho vấn đề lựa chọn tối ưu trong quản lý kinh tế. Trong môn học Tối ưu hóa việc giải bài toán QHTT thực hiện bằng thuật toán đơn hình . Trong phần mềm Excel sử dụng một công cụ cài thêm là Solver có thể giải bài toán tối ưu nhanh chóng.

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

======***======

Báo cáo bài tập nhóm

TỐI ƯU HÓA

Giáo viên:

Nhóm - Lớp: Nhóm

Thành viên:

Ho ten sv 1 – Ma sinh vien

Ho ten – Ma sinh vien

Đề tài: Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu

Hà Nội, Năm 2021

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay sự cạnh tranh khốc liệt trong hoạt động sản xuất kinh doanh luôn đòi hỏi các nhà quản lý doanh nghiệp phải thường xuyên lựa chọn phương án để đưa ra các quyết định nhanh chóng, chính xác và kịp thời với những ràng buộc và hạn chế về các điều kiện liên quan tới tiềm năng của doanh nghiệp, điều kiện thị trường, hoàn cảnh tự nhiên và xã hội

Việc lựa chọn phương án nào là tối ưu theo mục tiêu định trước là hết sức quan trọng Nếu tất cả các yếu tố (biến số) liên quan đến khả năng, mục đích và quyết định lựa chọn đều có mối quan hệ tuyến tính thì chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) để mô tả, phân tích và tìm lời giải cho vấn đề lựa chọn tối ưu trong quản lý kinh tế

Trong môn học Tối ưu hóa việc giải bài toán QHTT thực hiện bằng thuật toán đơn hình Trong phần mềm Excel sử dụng một công cụ cài thêm

là Solver có thể giải bài toán tối ưu nhanh chóng

BẢNG PHÂN VIỆC

Tên thành viên Công việc cụ thể

Cả nhóm

Tìm hiểu đề tài Chương 1 Bài toán tổng quát Chương 2 Xác định mô hình định tính Chương 3.Mô hình toán học

Chương 4 Giải bài toán bằng phương pháp lập bảng đơn hình

Chương 5.Giải bài toán trên excel bằng công cụ solver

Chương 6.Giải bài toán bằng phần mềm Lingo

Chương 7 Kiểm tra lại bằng cách sử dụng định lý

về độ lệch bù

Tổng hợp,trình bày Làm Powerpoint

Cả nhóm Chỉnh sửa, bổ sung bài tập nhóm

MỤC LỤC

Chương 1 Bài toán tổng quát

Một nhà máy có khả năng sản xuất n loại sản phẩm Để sản xuất các sản phẩm này cần phải sử dụng m loại nguyên vật liệu.

Biết rằng:

 aij là lượng nguyên vật liệu loại i cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại j

 bi là dự trữ nguyên vật liệu loại i

 cj là lợi nhuận từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j với i = và j =

 Bài toán được mô tả theo bảng sau:

SP 1 SP 2 … SP j … SP n Dự trữ

Lợi nhuận

đơn vị

 Hãy tìm phương án sản xuất để tối đa hoá lợi nhuận

Bài giải:

- Gọi x j là lượng sản phẩm loại j mà nhà máy sẽ sản xuất nên x j

≥ 0.

- Do đó phương án sản xuất của nhà máy là vectơ x=(x1, x2, …,

xj, , xn)

Khi đó:

• Tổng chi phí nguyên vật liệu loại i để sản xuất x là ∑a ij x j

sẽ không vượt

n

quá dự trữ b i : ∑ aij x j ≤ bi

j=1

n

• Tổng lợi nhuận thu được khi sản xuất x là ∑c j x j

j=1

 Vậy mô hình toán học của bài toán nguyên vật liệu có thể phát biểu theo mô hình bài toán QHTT như sau:

n

Hàm mục tiêu: f(x)= ∑ c j x j → max

n

Các ràng buộc: ∑a ij x j ≤ b i , i = 1,m

j=1

x j ≥ 0, j = 1,n

Chương 2 Mô hình định tính

Một nhà máy dự định tiến hành sản xuất 5 loại sản phẩm là bánh ngọt, bánh bông lan, bánh quy, bim bim, mỳ tôm Cả 5 loại sản phẩm này đều sử dụng 4 loại nguyên vật liệu chính là bột mỳ, nước, đường, muối Có mức tiêu hao nguyên vật liệu, lợi nhuận đơn vị thu được và giới hạn dự trữ như sau:

Bánh ngọt

Bánh bông lan

Bánh quy

Bim bim Mỳ tôm Dự trữ Bột mỳ 2 5 6 8 4 1200

Nước 3 1 5 6 1 800

Đường 7 5 4 5 2 2000

Muối 8 5 7 9 1 1865

Lợi nhuận đơn vị 300 250 500 150 320

Hãy xây dựng phương án sản xuất để nhà máy đạt được tổng lợi nhuận lớn nhất

Chương 3 Mô hình toán học

Gọi x1,x2,x3,x4,x5 lần lượt là sản lượng sản phẩm bánh ngọt, bánh bông lan, bánh quy, bim bim, mỳ tôm sẽ sản xuất để nhà máy đạt được tổng lợi nhuận lớn nhất

Nên phương án sản xuất của nhà máy là vectơ x = (x1, x2, x3 , x4, x5)

Hàm mục tiêu: f(x) = 300x1 + 250x2 + 500x3 + 150x4 + 320x5 max

Các ràng buộc:

2x1 + 5x2 + 6x3 + 8x4 + 4x5 <= 1200 3x1 + x2 + 5x3 + 6x4 + x5 <= 800 7x1 + 5x2 + 4x3 + 5x4 + 2x5 <= 2000 8x1 + 5x2 + 7x3 + 9x4 + x5 <= 1865

xj>=0; j=

Chương 4 Giải bài toán bằng phương pháp lập

bảng đơn hình

Biến đổi hệ ràng buộc như sau:

f(x) = 300x1 + 250x2 + 500x3 + 150x4 + 320x5 +0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 max

2x1 + 5x2 + 6x3 + 8x4 + 4x5 +x6<= 1200 3x1 + x2 + 5x3 + 6x4 + x5 + x7<= 800 7x1 + 5x2 + 4x3 + 5x4 + 2x5 + x8<= 2000 8x1 + 5x2 + 7x3 + 9x4 + x5 + x9<= 1865

xj>=0; j=

Phương án cực biên xuất phát: x(0;0;0;0;0;1200;800;2000;1865)

Vecto cơ sở A=(A6,A7,A8,A9)

Lập bảng đơn hình:

Bướ

c

Cj C

ơ sở

8

A 9

6

7

8

-500

-150

-320

6

5

0

A 3

8

9

-220

32

0

A 5

600/7 -4/7 19/14 0 2/7 1 5/14 -3/7 0 0

50

0

A 3

1000/7 5/7 -1/14 1 8/7 0 -1/14 2/7 0 0

8

8800/7 37/7 18/7 0 -1/7 0 -3/7 -2/7 1 0

9

-11/

7

F=98857

-880/

7

1040/

7

0 3590/

7

0 550/

7

40/

7

32

0

A 5

30

0

A 1

8

-37/

5

-43/5 0 1/10

-12/

5

9

F=12400 0

Vậy nghiệm x*=(200;0;0;0;200;0;0;200;65) f(x*)=124 000

Chương 5 Giải bài toán trên excel bằng

công cụ solver

5.1 Xây dựng bài toán

Bài toán được tổ chức trên excel như sau:

5.2 Giải bài toán

- Chọn DataSolver (nếu excel chưa hiện Solver ta chọn

FileOptionsAdd-InsGoSolver Add-inOK) , điền đầy đủ thông tin vào hộp thoại Solver Parameters như sau:

• Ở mục Set Ọpective: Chọn ô G5

• To: chọn max (vì đây là bài toán đạt lợi nhuận tối ưu)

• By Changing Variable Cells: Kéo thả chuột từ ô B4F4

• Subject to the ConstraintsAddXuất hiện cửa sổ Add Constraints ta điền lần lượt các ràng buộc như sau:

o Cell Reference: Chọn ô G7

o Chọn dấu ‘ <= ’

o Constraints: Chọn ô I7

Ràng buộc 1

o Ấn Add và nhập tương tự với các ràng buộc tiếp theo như sau:

Ràng buộc 2

Ràng buộc 3

Ràng buộc 4

Ràng buộc về dấu

o Nhập xong các ràng buộc ấn OK

+Hộp thoại Solver Parameters sau khi điền đầy đủ thông

tin:

+Kích vào nút Solve để tiến hành giải bài toán ta được kết quả như sau:

Vậy phương án tối ưu là x = (200, 0, 0, 0, 200) với f(x) max =

124 000 Hay phương án sản xuât tối ưu của nhà máy là sản xuất 200 đơn vị sản phẩm bánh ngọt và 200 đơn vị sản phẩm mỳ tôm thì khi

đó lợi nhuận tối ưu đạt được là 124 000 đơn vị tiền tệ Không có nguyên liệu nào bị lãng phí

Chương 6 Giải bài toán bằng phần mềm Lingo

Để giải bài toán này bằng Lingo, chúng ta cần cái đặt Lingo trong máy tính.Nhấn vào biểu tượng Lingo để vào cửa sổ của Lingo.Sau đó nhập vào các dữ liệu của bài toán như hình sau:

Nhập dữ liệu cho bài toán

Tiếp theo,cần nhấp chuột vào nút Solver để giải bài toán và thu được kết quả chi tiết như hình sau:

Kết quả của bài toán

Kết quả chi tiết cho ta biết giá trị cực đại của hàm mục tiêu là 124 000 với phương án tối ưu là : x=(200, 0, 0, 0, 200) Phương án tối ưu của bài toán đỗi ngẫu là y=(66, 56, 0, 0)

Chương 7 Kiểm tra lại bằng cách sử dụng

định lý về độ lệch bù

Kiểm tra x=(200,0,0,0,0,200) có phải là phương án tối ưu

Bài toán đối ngẫu:

g(y)=1200y1+ 800y2 + 200y3 + 1850y4  min

2y1 + 3y2 + 7y3 + 8y4 >= 300 5y1 + y2 + 5y3 + 4y4 >= 250 6y1 + 5y2 + 4y3 + 7y4 >= 500 8y1 + 6y2 + 5y3 + 9y4 >= 150 4y1 + y2 + 2y3 + y4 >= 320

yj>=0; j=

Ta có: x=(200,0,0,0,200)

 x1=200>0

x5=200>0

2y1 + 3y2 + 7y3 + 8y4 = 300

 (*)

4y1 + y2 + 2y3 + y4 = 320 Thay x=(200,0,0,0,200) vào bài toán gốc:

2.200 + 5*0 + 6*0 + 8*0 + 4*200 = 1200 (1) 3.200 + 0 + 5*0 + 6*0 + 200 = 800 (2) 7.200 + 5*0 + 4*0 + 5*0 + 2*200 <= 2000 (3) 8.200 + 5*0 + 7*0 + 9*0 + 200 <= 1865 (4)

(3) và (4) là dấu bất đẳng thức nên => y3=0 thay vào (*) ta có:

y4=0 2y1 + 3y2 = 300

 (*)

4y1 + y2 = 320

y1 = 66

 (*)

y2 = 56 g(x) = 1200*66+ 800*56 + 200*0 + 1850*0 =124000 =f(x)

 x=(200,0,0,0,200) là phương án tối ưu

Kết luận

Như vậy, ta thấy việc sử dụng các công cụ để giải bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu hoặc giải các bài toán tối ưu khác không những giúp chúng ta tìm được phương án tối ưu nhất mà còn có thể giải bài toán nhanh

và chính xác hơn

Tài liệu tham khảo

[1] Giáo trình tối ưu hóa của PGS.TS Bùi Minh Trí Tập 1- NXB ĐHBK HN [2]

https://www.slideshare.net/hocsinhmoi/giao-trinhtoanungdung-nguyenhaithanh