Tính theo công thức simson... Thông thường trong ước lượng sai số ta phải tính max|fkx|.. Công việc này đòi hỏi tính toán phức tạp, vì vậy thường tiến hành tính toán 2 lần để kiểm tra độ
Trang 1Chương 2
Bài 1
a Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = x – sinx – 0,25
Có
f’(x) = 1 – cosx mà -1 <= cosx <= 1 hay 0 <= 1 – cosx <= 2
Hàm cosx tuần hoàn với chu kì 2 nên ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-, +]
f(x)
--0,25
-0,25
-0,25
-0,25
Ta có f(/4) = -0,1718 < 0) = -0,1718 < 0
f(/2) = 0,32 > 0
=> f(/4) = -0,1718 < 0).f(/2) < 0
Vậy khoảng phân li nghiệm của phương trình là [/4) = -0,1718 < 0, /2]
b Chọn phương pháp lặp
Từ phương trình đầu => x = sinx + 0,25
Chọn (x) = sinx + 0,25 và ’(x) = cosx
Trong đoạn [/4) = -0,1718 < 0, /2] có 1
2
2 ) ( '
0 x q nên phương pháp lặp hội tụ
Do ’(x) > 0 nên ta chọn x0 = /4) = -0,1718 < 0
x0 = /4) = -0,1718 < 0
xn = (xn-1) = sin(xn-1) + 0,25
Công thức tính sai số |x – xn| q/(1-q).|xn – xn-1|
4) = -0,1718 < 0 1.15266954 0.018905511
Qui tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết
Trang 2x – 1.17 = (x – x7 + x7 -1.17)
|x – 1.17| |x – x7| + |x7 – 1.17| = 0,001248178 + 0,009942 = 0,001348
|x – 1.17| 0,001348 0.2.10-2 < 0.5.10-2
Cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin
Vậy có x = 1,17 0,002
Bài 2:
a Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = 1,8x2 - sin10x (*)
Ta có:
f’(x) = 3,6x – 10cos10x
f’’(x) = 3,6 + 100sin10x
Thay (*) bằng phương trình 1,8x2 = sin10x
Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy:
f(/20) = 182/4) = -0,1718 < 000 – 1 - 0,96 < 0
f(/10) = 182/100 0,18 > 0
Vậy [/20; /10] là khoảng phân li nghiệm của phương trình
b Tìm nghiệm
Vì f’’(x) > 0, x [/20; /10] nên để phương pháp hội tụ ta chọn x0 = /10 vì f(/10) >
0 cùng dấu với f’’(x0)
Ta có công thức lặp
1
0,4) = -0,1718 < 04) = -0,1718 < 0
18x2
sin10x y
Trang 310 cos 10 6
, 3
10 sin 8
, 1 )
( '
) (
0
1 1
1
2 1 1
1
1 1
x
voi
x x
x x
x x
f
x f
x
x
n n
n n
n n
n n
n
Sai sốđược tính theo công thức
m
x
f
n
) (
trong đó
10 20
0 5 0
)
(
' x m x
f
Với sai số tuyệt đối không quá 10-5 ta có kết quả tính như sau
0 0,314) = -0,1718 < 0
Ta có |x – x2| 2,07.10-7 < 10-5 nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm dương của phương trình tìm được là: x = 0,29809 10-5
Trang 4Bài 3.b
a Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = x2 - cosx
Ta có f’(x) = 2x + sinx
Lập bảng biến thiên
f(x)
+
-1
+
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm => phương trình có 2 nghiệm thực
Ta có
f(-0,5) = 1 + 0 = 1 > 0
f(0) = -1 < 0
Vậy khoảng [-0,5; 0] chứa nghiệm của phương trình
Ta có
f(0,5) = 1 + 0 = 1 > 0
f(0) = -1 < 0
Vậy khoảng [0 ; 0,5] chứa nghiệm thứ hai của phương trình
b Tìm nghiêm
Tìm nghiệm trong khoảng [-0,5 ; 0]
f’’(x) = 2 + 2cosx > 0 [-0,5 ; 0]
Để phương pháp hội tụ ta chọn x0 = 0,5 vì f(0,5) > 0 cùng dấu với f’’(x0)
|f’(x)| >= m = 0,1>0
Ta có |x – x3| 9,7.10-12 < 10-5 nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm thứ nhất của phương trình tìm được là: x = -0,438604 10-5
Bài 3.c
Trang 5a Tìm khoảng phân li nghiệm
Từ phương trình trên => logx = (x-2)/4) = -0,1718 < 0
Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy
f(4) = -0,1718 < 0) 0,2 > 0
f(5) -0,1 < 0
Vậy [4) = -0,1718 < 0, 5] là khoảng phân li nghiệm của phương trình
b Tìm nghiệm
2
1 10
ln
2
)
(
x
x
f
10 ln
2 )
(
x
x
Ta thấy f’’(x) < 0 x [4) = -0,1718 < 0; 5] Để phương pháp hội tụ ta chọn x = 5 vì f(5) < 0 cùng dấu với f’’
Ta có công thức lặp
5
2
1 10 ln 2
1 2 lg 2 )
( '
) (
0
1 1
1 1
x
voi
x
x x x
x f
x f
x
n
n n
n
Sai sốđược tính theo công thức
m
x
f
n
) (
trong đó
5 4) = -0,1718 < 0
0 2 0
)
(
f
1 2 3 4) = -0,1718 < 0 5
1
0,5
(x-2)/4) = -0,1718 < 0
logx
Trang 61 4.687203 0.00887
Ta có |x – x3| 3,96.10-13 < 10-5 nên quá trình tính dừng lại Vậy nghiệm của phương trình tìm được là: x = 4.681564 10-5
Trang 7Chương 3
Bài 3
Đưa hệ về dạng x = Bx + g ta có :
x1 = 0,795 - 0,02x1 + 0,05x2 + 0,1x3
x2 = 0,84) = -0,1718 < 09 +0,11x1 - 0,03x2 +0,05x3
x3 = 1,398 +0,11x1 +0,12x2 - 0,04) = -0,1718 < 0x3
Với
04) = -0,1718 < 0 , 0 12 , 0 11
,
0
05 , 0 03 , 0 11
,
0
1 , 0 05 , 0 02
,
0
B
398 , 1
84) = -0,1718 < 09 , 0
795 , 0
G
Kiểm tra điều kiện hội tụ :
17 , 0 1 , 0 05 , 0 02
,
0
3
1
j
j
b
19 , 0 05 , 0 03 , 0 11
,
0
3
1
j
j
b
27 , 0 04) = -0,1718 < 0 , 0 12 , 0 11
,
0
3
1
j
j
b
Do đó ||B||0 = max {0,17 ; 0,19 ; 0,27} = 0,27 < 1
Vậy ta có phương pháp lặp đơn
x(m) = Bx(m-1) + g
hội tụ với mọi x(0) chọn trước
Chọn x(0) = { 0,795 ; 0,84) = -0,1718 < 09 ; 1,398} ta có kết quả tính như sau :
Tính sai số :
||x(3) – x(2)||0 = max {|xi(3) – xi(2)|}, i = 1,2,3
= max {0.003597; 0.002636; 0.003197} = 0.003597
Trang 8Áp dụng công thức m m p
p
p p
B
B
||
||
1
||
||
||
27 , 0 1
27 , 0
||
|| ( 3 )
x
Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1,4.10 -3
Bài 4
Đưa hệ về dạng x = Bx + g ta có:
x1 = 1.25 – 0.1x2 – 0.16x3
x2 = 1.30 – 0.07x1 – 0.05x3
x3 = 1.4) = -0,1718 < 09 – 0.12x1 - 0.17x2
Với
0 17 0 12
.
0
05 , 0 0
07
.
0
16 0 1 0 0
B
4) = -0,1718 < 09 , 1
3 1
25 1
G
Kiểm tra điều kiện hội tụ :
26 , 0 16 , 0 1 , 0 0
3
1
j
j
b
12 , 0 05 , 0 0 07
,
0
3
1
j
j
b
29 , 0 0 17 , 0 12
,
0
3
1
j
j
b
Do đó ||B||0 = max {0,26 ; 0,12 ; 0,29} = 0,29 < 1
Vậy ta có phương pháp lặp đơn
Trang 9x(m) = Bx(m-1) + g
hội tụ với mọi x(0) chọn trước
Chọn x(0) = { 1.25 ; 1.3 ; 1,4) = -0,1718 < 09} ta có kết quả tính như sau :
x3(m) 1.4) = -0,1718 < 09 1.119 1.190748 1.174143 1.177562 1.176806 1.176966 1.176932
Tính sai số :
||x(7) – x(6)||0 = max {|xi(7) – xi(6)|}, i = 1,2,3
= max {3,46.10 -5 ; 1,94.10 -5 ; 3,47.10 -5 } = 3,47.10 -5 < 0,5.10 -4
Trang 10CHƯƠNG 4) = -0,1718 < 0
Bài 1
Cho hàm số y = 2x với các giá trị trong bảng:
2x 33,115 34) = -0,1718 < 0,813 36,598 38,4) = -0,1718 < 075 4) = -0,1718 < 00,4) = -0,1718 < 077
Các nút xi cách đều với h = 0,1
Lập bảng sai phân
1.698
2.002
Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 3,5 với h = 0,05
028 , 0
! 4) = -0,1718 < 0
) 3 )(
2 )(
1 ( 005 , 0
! 3
) 2 )(
1 ( 087 0
! 2
) 1 ( 698 1 115 , 33 )
Trang 11Bài 2
Các nút xi cách đều với h = 0,1
Lập bảng sai phân
1 0.8427
0.0375
1.1 0.8802 -0.0074
1.2 0.9103 -0.0064 -1.11022E-16
0.0037 0.0004
1.9 0.9928 -0.0012
0.0025
2 0.9953
Vì 1,4) = -0,1718 < 0 < 1,4) = -0,1718 < 03 < 1,5 nên ta dùng đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 1 với h = 0,1
Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x0 = 1 với h = 0,1
Trang 12Ứng với x = 1,4) = -0,1718 < 0 ta có 1,4) = -0,1718 < 03 = 1 + 0,1t => t = 4) = -0,1718 < 0,3
Thay t = 4) = -0,1718 < 0,3 vào hệ ta được :
(1,4) = -0,1718 < 03) p(1 + 0,1 x 4) = -0,1718 < 0,3) = 0.956874399
Bài 4
Giải
Lập bảng số
n=5
Ta có hệ phương trình:
32.7681a + 102.7615b + 34) = -0,1718 < 01.7505c = 94) = -0,1718 < 0.6053
Giải hệ này ta được:
a = 5.02214) = -0,1718 < 08; b = -4) = -0,1718 < 0.014) = -0,1718 < 026; c = 1.00234) = -0,1718 < 01
0062 , 0
! 10
) 9 )(
8 )(
7 )(
6 )(
5 )(
4) = -0,1718 < 0 )(
3 )(
2
)(
1
(
0016 , 0
! 9
) 8 )(
7 )(
6 )(
5 )(
4) = -0,1718 < 0 )(
3 )(
2
)(
1
(
10 33067 , 3
! 8
) 7 )(
6 )(
5 )(
4) = -0,1718 < 0 )(
3 )(
2 )(
1 ( 0003 0
! 7
) 6 )(
5 )(
4) = -0,1718 < 0 )(
3 )(
2
)(
1
(
0002 0
! 6
) 5 )(
4) = -0,1718 < 0 )(
3 )(
2 )(
1 ( 10
! 5
) 4) = -0,1718 < 0 )(
3 )(
2
)(
1
(
10 11022 , 1
! 4) = -0,1718 < 0
) 3 )(
2 )(
1 ( 001 , 0
! 3
) 2 )(
1 ( 0074) = -0,1718 < 0 0
! 2
) 1 ( 0375 0 84) = -0,1718 < 027 , 0 )
(
16 4) = -0,1718 < 0
16 1
,
0
1
t t t t t t t t
t
t
t t t t t t t
t
t
t t t t t t t t t
t t t t
t
t
t t t t t t t
t t
t
t
t t t t t
t t t
t t
x
Trang 13Vậy có quan hệ:
y = 5.02214) = -0,1718 < 08 - 4) = -0,1718 < 0.014) = -0,1718 < 026x + 1.00234) = -0,1718 < 01x2
Trang 14CHƯƠNG 5
Bài 1
yi 1.699 1.74) = -0,1718 < 004) = -0,1718 < 0 1.7782 1.8129
Cách 1 :
Dùng đa thức nội suy
021872 ,
0 00036 , 0 10
.
2
)
(
977 0 021873 ,
0 00018 , 0 10
66667
,
6
)
(
) 60 65 )(
55 65 )(
50 65 (
) 60 )(
55 )(
50 ( 8129 , 1 ) 65 60 )(
55 60 )(
50 60
(
) 65 )(
55 )(
50 (
7782
,
1
) 65 55 )(
60 55 )(
50 55 (
) 65 )(
60 )(
50 ( 74) = -0,1718 < 004) = -0,1718 < 0 , 1 ) 65 50 )(
60 50 )(
55 50 (
) 65 )(
60 )(
55 ( 699
,
1
)
(
2 6 '
3
2 3
7 3
3
x x
x
p
x x
x x
p
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
p
Thay x = 50 vào công thức trên ta được y’(50) = 0,008673
Kết quả tính trực tiếp y’(50) = 0.008686
Cách 2 :
Áp dụng công thức Taylo :
h
x f h x
f
x
f'( ) ( ) ( )
Với h = 5 ta có
00828 , 0 5
699 , 1 74) = -0,1718 < 004) = -0,1718 < 0
,
1
)
50
(
f
Trang 15Bài 2
Chia [0,1] thành 10 đoạn bằng nhau ta tính ra bảng sau :
0.4) = -0,1718 < 0 0.714) = -0,1718 < 0286
a Tính theo công thức hình thang
0.693771
T
n
n T
I
y y
y
y
h
2
Tính sai số
Với
3 ) 1
(
2
)
(
''
x
x
f
=> M = max|f’’(x)| = 2
|I – IT| 0.001667 0.002
Vậy
I 0.693771 0.002
b Tính theo công thức simson
Trang 16IS = 0.69315
Tính sai số
00002 , 0 00001333 ,
0 ) ( 180
|
|
24) = -0,1718 < 0
| ) (
|
max
) 1
(
24) = -0,1718 < 0
)
(
4) = -0,1718 < 0 4) = -0,1718 < 0
5 4) = -0,1718 < 0
a b h M
I
I
x f
M
x
x
f
S
Vậy
I 0.69315 0,00002
Trang 17Thông thường trong ước lượng sai số ta phải tính max|fk(x)| Công việc này đòi hỏi tính toán phức tạp, vì vậy thường tiến hành tính toán 2 lần để kiểm tra độ chính xác được gọi
là tính kép Trước tiên tính tích phân theo công thức chọn trước với bước chia h nào đó, sau đó tính lại công thức đó với bước chia h/2 (tăng n gấp đôi) Ký hiệu In và I2n là các kết quả tương ứng Nếu |In – I2n| < , ( là sai số cho phép) thì lấy I I2n
Nếu |In – I2n| thì quá trình lặp với h/4) = -0,1718 < 0 Bước h đầu tiên thường chọn cỡ m , trong đó
m = 2 với công thức hình thang và m = 4) = -0,1718 < 0 với công thức simsơn (vì trong công thức sai số
đó có chứa tương ứng h2 và h4) = -0,1718 < 0) Phương pháp trên được sử dụng rộng rãi để chọn bước tự động trên máy tính điện tử Để ước lượng sai số người ta còn dùng các công thức gần đúng sau (nguyên lý Runghe)
|
|
3
1
2n
n I
I
|
|
15
1
2n
n I
I
Ví dụ: Tính gần đúng tích phân
0 x cos x
dx
với độ chính xác = 3.10-3 bằng công thức simson
Giải
Vì = 3.10-3 nên có thể chọn h 4) = -0,1718 < 0 3 10 3 Để đơn giản ta tính kép theo bước h đầu tiên
là
8
1
h và sau đó lấy
16 2
h sau đó tính toán độ chính xác
Lập bảng giá trị
x x
y
cos
1
16 2
h
Hệ số
16
1
i
m
Hệ số
8
2
i
m
1 0.19635 0.98079 1.17714) = -0,1718 < 0 0.84) = -0,1718 < 0950 4) = -0,1718 < 0
3 0.58905 0.8314) = -0,1718 < 07 1.4) = -0,1718 < 02052 0.704) = -0,1718 < 000 4) = -0,1718 < 0
4) = -0,1718 < 0 0.7854) = -0,1718 < 00 0.70711 1.4) = -0,1718 < 09251 0.67000 2 2
5 0.98175 0.55557 1.53732 0.65050 4) = -0,1718 < 0
6 1.17810 0.38268 1.56078 0.64) = -0,1718 < 0070 2 4) = -0,1718 < 0
7 1.374) = -0,1718 < 04) = -0,1718 < 05 0.19509 1.56954) = -0,1718 < 0 0.63710 4) = -0,1718 < 0
9 1.76715 -0.19509 1.57206 0.63610 4) = -0,1718 < 0
11 2.15985 -0.55557 1.604) = -0,1718 < 028 0.62330 4) = -0,1718 < 0
12 2.35620 -0.70711 1.64) = -0,1718 < 0909 0.6064) = -0,1718 < 00 2 2
13 2.55255 -0.8314) = -0,1718 < 07 1.72108 0.58100 4) = -0,1718 < 0
14) = -0,1718 < 0 2.74) = -0,1718 < 0890 -0.92388 1.82502 0.54) = -0,1718 < 0790 2 4) = -0,1718 < 0
15 2.94) = -0,1718 < 0525 -0.98079 1.964) = -0,1718 < 04) = -0,1718 < 06 0.50900 4) = -0,1718 < 0
16 3.14) = -0,1718 < 0160 -1 2.14) = -0,1718 < 016 0.4) = -0,1718 < 06690 1 1
Trang 18Từ bảng trên ta thấy với n = 8, 0 , 130090
3 , 3927 0 8
I8 = 0,130090 * 15,6157 = 2.0314) = -0,1718 < 0
với n = 16, 0 , 0654) = -0,1718 < 05
3 , 19635 , 0 16
I16 = 0,654) = -0,1718 < 05 * 31,2163 = 2,04) = -0,1718 < 0311
3 16
15
1 01166
0
|
Vậy ta có thể lấy I I16 = 2.04) = -0,1718 < 0311
Các bạn có thể áp dụng bài trên để giải bài 3 chương 5