ỨNG DỤNG của TÍNH CHẴN, lẻ TRONG GIẢI TOAN số học

Hai số có cùng tính chẵn ,lẻ thì tổng hoặc hiệu là chẵn.. Hai số khôngcùng tính chẵn ,lẻ thì tổng hoặc hiệu là lẻ .Tích của các số lẻ là một số lẻ .Tích của các số nguyên là lẻ thì tôn

ỨNG DỤNG CỦA TÍNH CHẴN, LẺ TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

.Tập hợp số nguyên có thể chia thành hai tập con: Tập các số nguyên lẻ và tập các số nguyên chẵn

.Số nguyên lẻ có dạng 2 k + 1 ( k ∈ ¢ )

.Số nguyên chẵn có dạng 2k k ( ∈ ¢ )

Hai số có cùng tính chẵn ,lẻ thì tổng ( hoặc hiệu) là chẵn

Hai số khôngcùng tính chẵn ,lẻ thì tổng ( hoặc hiệu) là lẻ

.Tích của các số lẻ là một số lẻ

.Tích của các số nguyên là lẻ thì tông tại ít nhất một thừa số trong tích là số lẻ

.Trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn và một số lẻ

II BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

1.Ứng dụng vào bài toán chia hết:

Bài 1: Cho 7 số nguyên x x x1; ; ; ;2 3 x7 Viết các số nguyên theo một thứ tự

khác ta được y y y1; ; ; ;2 3 y7 Chứng minh

( 1 1) ( 2 2) ( 7 7)

A = x − y x − y x − y chia hết cho 2

Giải

Đặt zi = ( xi − yi) Với i = 1;2; ;7.

Ta có: z1+ + + z2 z7 = ( x1− y1) ( + x2− y2) + + ( x7 − y7)

= ( x1+ x2+ + x7) ( − y1+ y2+ + y7)

= 0

Suy ra: trong các số zi với i = 1;2; ;7 phải tồn tại ít nhất một số chẵn

Do đó: AM 2

Bài 2: Cho x x x1; ; ; ;2 3 xn ∈ − { } 1;1 với n N ∈ *và thỏa mãn

1. 2 2. 3 n. 1 0

x x + x x + + x x = Chứng minh nM 4

Giải

Từ x x x1; ; ; ;2 3 xn ∈ − { } 1;1 ⇒ x x x x1 2 ; ; ; 2 3 x xn 1∈ − { } 1;1

Mà x x1 2 + x x2. 3+ + x xn. 1 = 0 nên n chẵn, tức là n = 2 m

Lại có:

1 = x x x xn = x x x x x xn = − 1m ⇒ m = 2 k

Suy ra: n = 4 k hay nM 4

2.Ứng dụng trong giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

( 2 x + 5 y + 1 2014 ) ( x + + y x2+ x ) = 105

Giải

Vì ( 2 x + 5 y + 1 2014 ) ( x + + y x2+ x ) = 105 và 105 lẻ nên 2 x + 5 y + 1 lẻ Suy ra: 5y chẵn và dẫn đến y chẵn

Vì 2014x + + y x2+ x lẻ, y chẵn và x2+ = x x x ( + 1 ) chẵn nên 2014x lẻ Suy ra: x = ⇔ = 0 x 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được:

4

5

y

 =





Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0; y =4

Bài 4:

Tìm 3 số nguyên dương thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau

1 ab b a + − ! 1 =

2 cb c b + − = ! 1

3 a − 2 b + 2 a − 4 b = 2

Giải

Từ 3 suy ra a phải chẵn

Với a chẵn thì từ 1 suy ra b lẻ (*)

Vì b lẻ nên b + 1 chẵn suy ra c b ( ) + 1 chẵn hay cb c + chẵn do đó từ 2 suy ra b ! lẻ

(**)

Từ (*) và (**) suy ra b = 1

Với b = 1 thay vào 2 suy ra c = 1

Với b = 1 thay vào 3 suy ra a = 2

Vậy ( ) ( ) a b c ; ; = 2;1;1

3.Ứng dụng trong một số bài toán số học khác:

Bài 5:

Cho n là một số nguyên dương Tìm tổng của tất cả các số chẵn nằm giữa n2− + n 1 và n2+ + n 1

Giải

Ta có: n2 − + = n 1 n n ( − + 1 1 ) và n2+ + = n 1 n n ( + + 1 1 ) là các số lẻ

Suy ra rằng số chẵn nhỏ nhất được xem xét là n2 − + n 2 và số chẵn lớn nhất n2+ n

Vậy tổng cần tìm là:

2

3

2 1 2 3

Bài 6: Cho m và n là các số nguyên lớn hơn 1 Chứng minh rằng mn là tổng của m số

nguyên lẻ liên tiếp

Giải

Đẳng thức mn = ( 2 k + + 1 ) ( 2 k + 3 ) + + ( 2 k + 2 m − 1 ) tương đương với

2 1 3 2 1

n

m = km + + + + m − hay mn = 2 km m + 2

Suy ra rằng: ( 2 1 )

2

n

m m k

− −

= là một số nguyên bởi vì m và mn− 2− 1 có sự khác biệt về tính chẵn lẻ

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1: Ký hiệu S a ( ) là số các chữ số nguyên dương a Hỏi n lấy giá trị nguyên dương nào thì S ( ) ( ) 5n − S 2n là số chẵn

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố p q r ; ; thỏa mãn pq + qp = r

Bài 3: Tìm các số nguyên dương x để 37

43

x x

− + là bình phương của một số hữu tỉ