GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH F(X)=0.Bằng 3 phương pháp.1) Phương pháp lặp đơn 2) Phương pháp dây cung 3) Phương pháp tiếp tuyến

Slide 1 1 Giáo viên Lâm Thị Ngọc Châu 1 Phương pháp lặp đơn 2 Phương pháp dây cung 3 Phương pháp tiếp tuyến Tên SV Tống Minh Hải – MSSV LT11733 Mã học phần CT124 Lớp 01 2 1 Phương pháp lặp đơn 1 1 Ngu[.]

Giáo viên: Lâm Thị Ngọc Châu

1 Phương pháp lặp đơn

2 Phương pháp dây cung

3 Phương pháp tiếp tuyến Tên SV: Tống Minh Hải – MSSV: LT11733

1.Phương pháp lặp đơn:

1.1 Nguồn gốc:

Đầu tiên, phương pháp lặp đi lặp lại có lẽ để giải quyết một hệ thống tuyến tính xuất hiện một lá thư của Gauss đến một sinh viên của mình Ông đề xuất giải quyết một chương trình hệ thống 4-by-4 bằng cách giải quyết lặp đi lặp lại nhiều lần các thành phần trong đó thặng dư là lớn nhất

1.2 Giải thuật:

Xét phương trình f(x) = 0

Giả sử rằng phương trình có nghiệm trên đoạn [a, b]

* Ta đưa phương trình trên về dạng như sau:

x = φ(x);x);

1.2 Giải thuật (x);tt):

* Bước lặp:

- Chọn giá trị ban đầu

- Xây dựng dãy {xn} như sau:

 , ; 

o

x  a b

* Định lý:

Nếu phép biến đổi x = φ(x) thỏa các điều kiện:

Thì ta có những kết luận sau:

+ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x*

thuộc đoạn [a, b].

+ Khi đó xn được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình và sai số được ước lượng bởi công thức:

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình chính xác đến cho trước, ta phải thực thi bước lặp cho đến khi sai số nhỏ hơn hoặc bằng

* Có nhiều cách đưa phương trình trên về dạng

* Như vậy với

thỏa điều kiện với q = 0.00335

* Áp dụng công thức lặp:

+ Với n=0 thì x0 = 10

+ Với n=1 thì

Với sai số được tính:

Do sai số > nên qua bước lặp tiếp theo

Ta có: tại vòng lặp n = 3, thì sai số tại vòng

lặp này thỏa điều kiện ≤ cho trước

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình:

x = 9.96666679

3(x ) = 1000 9.96655493 9.96666717

Ta có bảng kết quả sau:

2 Phương pháp dây cung:

2.1 Giải thuật:

Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [a, b]

Giả sử rằng phương trình f(x) liên tục trên

đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0, có đạo hàm cấp hai f”(x)

> 0 (lõm), liên tục trên đoạn [a, b] (nếu ngược lại ta xét phương trình -f(x) = 0)

Ta xét 2 trường hợp sau đây: (f(a) > 0 và f(a) < 0)

Từ đó ta sẽ xây dựng dãy {xn} theo cách sau:

Dãy {xn} là đơn điệu giảm và bị chặn dưới vì a<….<xn<….< x0 = b nên hội tụ về x* là nghiệm của phương trình xn được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

Từ đó người ta sẽ xây dựng dãy {xn} theo cách sau:

Dãy {xn} là đơn điệu tăng và bị chặn trên vì x0

=a>….>xn>….>b nên hội tụ về x* là nghiệm của phương trình xn được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

2.2 Ví dụ:

Giải phương trình x3 + x2 + x − 1 = 0 bằng phương

pháp dây cung trên đoạn [0;1] với

Ta có:

f’(x) = 3x2 +2x +1

Với f’(0) = 1 và f’(1) = 6 nên thỏa điều kiện f’(x)

không đổi dấu trên đoạn [0;1] và xác đinh được:

Mặt khác: f”(x) = 6x +2 > 0, do f”(0) = 2 và f”(1) = 8

[0;1]

x

 m=1 ≤ |f’(x)| ≤ M=6

0≤x≤1

Với sai số của x8 = 8,86.10-4 <

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là:

3.1 Giải thuật:

Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [a, b].Giả sử rằng phương trình f’(x) và f”(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a, b]

Với được chọn trước, phương trình tiếp tuyến tại điểm (x0,f(x0)) có dạng:

y = f’(x);x 0 )(x);x- x 0 ) + f(x);x 0 )

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là:

0 0

0

( ) '( )

Dựa vào kết quả trên người ta xây dựng được dãy {xn} như sau:

* Định lý:

Nếu f(a).f(b)<0, f’(x) và f”(x) khác không và không đổi dấu trên đoạn [a, b] thì dãy {xn} sẽ hội tụ về nghiệm x* của phương trình xn được gọi là nghiệm gần đúng với sai số được ước lượng như sau:

1

( ) "( ) 0 ( )

2 1

1 2

0

Do f(2) f(3) < 0 nên phương trình có nghiệm trên

[2;3] Ta tìm nghiệm gần đúng trong khoảng này

0.001

 

Ta xây dựng dãy {x n } như sau:

Với n= 0, chọn x 0 = 3 (Vì f(3).f”(3) > 0)

Với n= 1, thì

Với sai số:

Với n=2, thì x 2 = 2.4662; với sai số = 5,28.10 -3

Với n=3, thì x 3 = 2.4621; với sai số = 1,03.10 -5 <