Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM TỔ TOÁN Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chủ đề 8 Phương pháp tọa độ trong không gian Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM TỔ TOÁN Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN TỌA ĐỘ ĐIỂM TỌA ĐỘ VÉC TƠ I Hệ trục toạ đ[.]

Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

(hay   i; j;k: véc tơ đơn vị )

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là

không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho M kg Oxyz ( ) Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

O

II Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

 Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và với b b  0

a cùng phương b    !k  sao cho a k b 

Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi a cùng hướng b

k < 0 khi a ngược hướng b

a

k b

 Định lý 5: Cho hai véc tơ a( ; ; ) và a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3 ta cĩ :

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :

MA k MB 

  

 Định lý 11 : Nếu A x y z( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B y z và B B MA k MB

( k 1 ) thì

.1.1.1

k

y k y y

k

z k z z

Đặc biệt : M là trung điểm của AB 

222

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )A A A B y z B B C y z C C

G là trọng tâm tam giác ABC 

333

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)

a Chứng minh rằng tam giác ABC vuơng

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI Tích cĩ hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích cĩ hướng của hai véc tơ a( ; ; ) và a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3 là một véc tơ được

ký hiệu : ;a b

 

cĩ tọa độ là :

A

B C

B C D

'

A B' C'

'

D

Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)

a Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

b Tính diện tích tam giác ABC

c Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B( 3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1)     Chứng minh tam giác ABC vuông Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một đường thẳng () hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó

2 Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b Gọi a là VTCP của đường

thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b Khi đó :

Cặp ( , )a b được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 

Chú ý :

 Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó

3 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

b

n

 Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.

 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

1 2 3

( ; ; )( ; ; )

Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng  biết  đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M x y z và có một0( ; ; )0 0 0

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ;0;0)(0; ;0) (a,b,c 0)(0;0; )

n  )

;

;( 0 0 0

0 x y z M

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A1;2;3 , 2; 3;1 B   Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc

với đường thẳng AB

Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P x: 2y3z 4 0 và  R : 3x2y z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng  R đi qua A1;1;1 đồng thời vuông góc với cả  P và  Q

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao

cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , )( , , , )

n n

a

b b  b

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,  xác định bởi phương trình :

( ) // ( )

AA( ) ( )

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm M x y z 0( ; ; )0 0 0

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) đi qua điểmM x y z0( ; ; )0 0 0

Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm

M và vuông góc với đường thẳng (d)

Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) :x z z

1 1 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm

M và đường thẳng (d)

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :

O

z

y x

)(

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0    Tìm tọa độ hình

chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

pt pt

III Góc trong không gian:

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

n 

)(

)

;

;(a b c

a 

0

0  )

;

;(

;'

;'(

Gọi  là gĩc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )1 2 ta cĩ cơng thức:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 và điểm M x y z0( ; ; )0 0 0

Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi cơng thức:

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)

Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng () đi qua điểm M x y z và cĩ VTCP0( ; ; )0 0 0

u( ; ; )a b c Khi đĩ khoảng cách từ điểm M1 đến ( ) được tính bởi cơng thức:

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

1 ' ' ' ' 0 '0 '0 0' '

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

0 x y z M

H

H

u)

;

; ( 0 0 0

0

M

' 0

Ví dụ: Cho hai đường thẳng :

MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) cĩ phương trình :     

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

R

I

I R

r H M

O

R

)

; (x y z M

)

(S

I

Chú ý:

Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C) Đường tròn (C) nầy có:

 Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 

 Lấy B 2; 1;1     d , gọi (d') là đường thẳng qua B và vuông góc với (P)

Phương trình tham số của (d') là:

 Viết phương trình tham số của đường thẳng  d : 2 xy 1 t1

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0;1 , B 1;2;1 ;C 4;1; 2       và mặt phẳng (P): x y z 0   Tìmtrên (P) điểm M sao cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

MA2MB2MC2 đạt GTNN  MGđạt GTNN  M là hình chiếu vuông góc của G trên (P)

 Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:

phẳng  P : x y 2z 5 0    Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và cắt    d , d lần 1 2

lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Bài giải

 Đặt A 1 a; 2 2a;a , B 2 2b;1 b;1 b         , ta có

AB   a 2b 3; 2a b 3; a b 1       



 Do AB song song với (P) nên:

Suy ra: (S) có tâm I 1; b; 2 , R    1 b 24  b25

 Do (S) tiếp xúc với (P) nên:

 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G 1;0; 2 

 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 2 2y 3 2z 1 2 289

2

1 2

3 1

2 :

2

; 2

; 2 ( ),

3 1

1 ,

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (1; 1;0) A  và mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z 1 0

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho AM OA và AM 3 ( ;( ))d A P

Đáp án

Bài 2: (CĐ)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (2;1; 1), (1; 2;3) A  B và mặt phẳng ( ) :P x2y 2z 3 0

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( )P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa ,A B và vuông góc với ( ) P

Đáp án

Bài 3: (ĐH-K.D)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 6 P x3y 2z1 0 và mặt cầu

( ) :S x y z  6x 4y 2z11 0

a) Chứng minh mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( ) S theo giao tuyến là một đường tròn ( ) C

b) Tìm tọa độ tâm của ( )C

b) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và ( )P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( )P

Đáp án

D BÀI TẬPBài 1 Viết phương trình mặt phẳng  P qua ba điểm A1;0;1 , 0;2;0 , B  C 0;1;2

Bài 16 Cho đường thẳng  : 1 2

14 23

Chứng minh  1 và  2 chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng   là đường vuông góc chung của  1 và  2

 và mặt phẳng  P : 2x y  2 1 0z  Tìm tọa độ giao điểm của

  và  P Viết phương trình mặt phẳng chứa   và vuông góc với  P

Bài 21 Cho đường thẳng  :

chéo nhau Viết phương trình mặt phẳng  P qua  1 và song song  2

chéo nhau Viết phương trình đường thẳng   là đường vuông góc chung của  1 và  2

Chứng minh  1 và  2 chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng   qua điểm M0;1;1, vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đường thẳng

Chứng minh  1 và  2 cắt nhau Viết

phương trình đường thẳng   qua điểm M1;1;0, vuông góc với mặt phẳng chứa  1 và  2

Bài 26 Cho điểm I2; 3; 8   và đường thẳng  

Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0) và hai đường thẳng

Bài 30 Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho các điểm C0;0;2 , K6; 3;0  Viết phương trình mặt phẳng

 P đi qua , C K sao cho  P cắt các trục Ox Oy lần lượt tại ,, A B và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3

Bài 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:    2 0 , mặt cầu

 S x: 2y2 z2 4x2y2z 3 0 và hai điểm A1; 1; 2 ,   B4;0; 1  Viết phương trình mặt phẳng  

song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Bài 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A5;3; 1 , B2;3; 4  và mặt phẳng

 P x y z:    4 0 Tìm trên  P điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

Bài 35 Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho hình thoi ABCD vớiA  1;2;1 ,B2;3;2.Tìm toạ độ các đỉnh

Bài 37 Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho điểm A1;1; 2 , đường thẳng ( ) : 1 1 2

d      d      Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với mặt phẳng

( )P và cắt ( ),( )d1 d lần lượt tại 2 A và B sao cho AB 3 2