Góc giữa 2 mặt phẳng bất kì trong mô hình đa diện có đường cao chính.. Lời giải : Đầu tiên : Xác định giao tuyến của 2 mặt SA i+ 1 Ta sẽ tìm góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách dựa trên định
Trang 1Góc giữa 2 mặt phẳng bất kì trong mô hình đa diện có đường cao chính
Ngu Ba Ly - K65 Hust
Loại 1 : Góc giữa 2 mặt bên kề nhau của 1 khối chóp
Đặt vấn đề : Cho khối chóp có đỉnh là S , đáy là 1 đa giác A A A A1 2 3 n , đường cao chính của khối chóp là đoạn SH với H là hình chiếu của S lên đáy A A A A1 2 3 n
Tính góc giữa 2 mặt bên kề nhau ϕ ( 2 mặt bên có chung 1 cạnh bên) (SA A i i+1) và (SA A i+1 i+2)
Lời giải : Đầu tiên : Xác định giao tuyến của 2 mặt SA i+ 1
Ta sẽ tìm góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách dựa trên định nghĩa : Tìm 2 đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng tương ứng và cùng vuông góc với giao tuyến , nhưng phải tìm như nào cho chuẩn , không làm bậy được
Qua H kẻ 1 đường thẳng vuông góc với A H i+1 tại H , đường thẳng này cắt 2 mặt (SA A i i+ 1)
và (SA A i+1 i+2) tại các giao điểm là P và Q
Trong mặt phẳng “giao tuyến – đường cao” (SHA i+1) kẻ HK SA⊥ i+ 1 với K SA∈ i+ 1
Ta sẽ đi nghiên cứu mô hình trên :
( 1)
1
1
1
i i
HK SHA i
i
PQ SHA
PQ SA
PQ SH
+
∈ +
+
⊥
⊥
Trang 2Từ SA i+1 ⊥HK ta suy ra được : ( ) 1
1
1
i i
i
+ +
+
⊥
Thế nên góc giữa 2 mặt phẳng (SA A i i+ 1) và (SA A i+ 1 i+ 2) là góc giữa 2 đường thẳng :
PK
QK
, có thể là : ( )
0
0;90
PKQ if PKQ PKQ if PKQ
ϕ ϕ
Như vậy để tìm góc này chúng ta phải đi xử lí: ∆PKQ
PKQ
∆ có gì đặc biệt không :
KH PQ
• ⊥ → KH là đường cao của ∆PKQ Mặt khác KH là đường cao là đường cao của tam giác vuông “giao tuyến – đường cao” thế nên áp dụng hệ thức lượng ta có được :
1
1
. i
i
SH HA
KH
SH HA
+ +
=
• Với những dữ liệu mà đề cho trên đáy thì mình sẽ xử lí được các cạnh PH QH; hay nói cách khác là cạnh PQ
Như vậy sử dụng thêm định lý Pythagore và định lí Cosin chúng ta có thể dễ dàng xác định được góc PKQ trong ∆PKQ , từ đó có thể tính được góc ϕ
Như vậy trong dạng toán này ta chỉ cần đi xử lí 3 mặt phẳng :
�
𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 đá𝑦𝑦 𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 "giao tuyến - đường cao": (SHA i+ 1)
𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 "𝑐𝑐ℎứ𝑎𝑎" 𝑛𝑛ó𝑐𝑐 ∶ (PKQ)
Trang 3Như vậy mình xây dựng các bước như sau :
Bước 1 : Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng sau đó xác định giao điểm của giao tuyến đó với đáy
Bước 2 : Trên mặt phẳng đáy : Qua chân đường cao chính của khối chóp , vẽ đường thẳng
đi qua chân đường cao và vuông góc với đoạn thẳng nối chân đường cao chính với giao điểm vừa xác định
Bước 3: Trong mặt phẳng “giao tuyến – đường cao” , vẽ đường cao kẻ từ chân đường cao chính đến giao tuyến
Bước 4 : Xử lí tam giác “chứa” góc
Một số ví dụ áp dụng
VD1: Cho chóp S ABC. có đáy là tam giác ∆ABC là tam giác vuông tại A có AB= 2;AC = 5 Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm H của cạnh BC Cho biết SH =3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)?
Lời giải : (Sau khi đọc kĩ lí thuyết) Này gọi là kĩ năng : “Phẳng hóa đối tượng”
Xử lí 3 mặt phẳng :
7
70
4 70
10
BC
AH BH CH
PH AH tgBAH AH tgHBA
QH AH tgCAH AH tgHCA
2 2
43
SH AH KH
SH AH
( )
2 2
0
2009 344 931 430 343 40
2 .
180 arccos
PK PH HK
KQ QH HK
PQ PH QH
PK QK PQ
c PKQ
PK QK PKQ
ϕ
Trang 4Ví dụ 2 : Cho chóp S ABCD. có SA⊥(ABCD) Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có :
AB= BC = AD= Góc (SC ABCD =,( ) ) 45 0 Gọi α =( (SCB SCD) (, ) ) Tính tgα?
Phẳng hóa đối tượng :
2 2
2
5 89
8
13
AC AB BC SA AC tgSCA
AP AC tgBCA
•
2 2
2
SA AC AK
SA AC
+
2 2
2
0
2
5073 64 16643 338
89 89 104
74
o
PKQ k
k
α
