Ung dung cua tich phan

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục hoành gồm hai phần: phần phía trên trục hoành có diện tích S1 2và phần phía dưới trục hoành có diện tích S2 5 tham khảo

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1

100 CÂU ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐĂNG TRÊN NHÓM CHÍNH STRONG

I ĐỀ BÀI DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 1 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn   5;3 có đồ thị như hình vẽ bên Biết diện

tích các hình phẳng  A ,  B ,  C ,  D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần  lượt bằng 6 ; 3 ; 12; 2 Tích phân 1   

A. 4,5 B. 4, 25 C 3, 63 D. 3, 67

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) và trục hoành gồm hai phần: phần

phía trên trục hoành có diện tích S1 2và phần phía dưới trục hoành có diện tích S2 5 (tham khảo hình vẽ) Tích phân

4 6

2 d2

P y x và đường tròn  C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy nhất với  P Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P ,  C và

trục hoành ( phần bôi đậm trong hình vẽ) bằng

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3

Câu 9 Cho các hàm số   2

f x ax bx c và g x mxn có đồ thị lần lượt là đường cong  C và

đường thẳng  d như hình vẽ Biết AB5 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C và

đường thẳng  d (phần tô màu) là S p

q

 (trong đó p q,  *, p q; 1) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. p q 20 B. p11q C. pq69 D. p q 35

Câu 10 Cho hai số thực dương a , b khác 1 và đồ thị các hàm số yloga x, ylogb x như hình vẽ

bên Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ

 1

xk k Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi yloga x, d và trục hoành, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ylogb x, d và trục hoành Biết S14S2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ba4 B ab4 C. ba4ln 2 D ab4ln 2

Câu 11 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx2 y0, x0, x4 Đường thẳng

yk  k chia hình  H thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ) BiếtS1 S2

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5

Câu 13 Cho hàm số y f x  có đồ thị  C nằm trên trục hoành Hàm số y f x  thỏa mãn các điều

  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và

trục hoành gần nhất với số nào dưới đây?

max

3

2020 16

Câu 16 Cho miền phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hàm số y x, hai đường thẳng x1,x2 và trục

hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D quanh trục hoành

Câu 17 Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi

đường kính của đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có bán kính bằng 4 và

Câu 18 Cho đồ thị  C :y x Gọi M là điểm thuộc  C , A 9; 0 Gọi S1 là diện tich hình phẳng

giới hạn bởi  C , đường thẳng x9và trục hoành, S2 là diện tích tam giác OMA Tìm tọa độ

M để S1 2S2

A.  3; 3 B.  4; 2 C. 6; 6 D.  9;3

Câu 19 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên đoạn 5;3 có đồ thị như hình vẽ bên Biết

diện tích các hình phẳng        A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần  lượt bằng 6, 3, 12, 2 Tích phân 1  

y

x O

(D)

(C)

(B)

(A)

Câu 20 Cho hàm số y f x  có đồ thị trên đoạn 2; 6 như hình vẽ bên dưới Biết các miền , ,A B C

Có diện tích lần lượt là 32 , 2 và 3 Tính tích phân 2   

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Câu 23 Hình phẳng  H được giới hạn bởi đồ thị  C của hàm đa thức bậc ba và parabol  P có trục

đối xứng vuông góc với trục hoành Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7

Câu 26 Cho hàm số   4 3 2

f x ax bx cx dx e với a0 và   2

3

g x  px qx có đồ thị như hình vẽ bên dưới Đồ thị hàm số y f x  đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số yg x  tại điểm có hoành độ lần lượt là  2; 1;1 và m Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x   g x tại điểm có hoành độ x 2 có hệ số góc bằng 15

2

 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hai hàm số y f x  và yg x  (phần được tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của hình  H

Câu 28 Cho đồ thị  C của hàm số yx33x21 Gọi  d là tiếp tuyến của  C tại điểm A có

hoành độ x A a Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi  d và  C bằng 27

Câu 29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y2x2 x0, y 3 x, y0

S lần lượt là diện tích hai phần gạch chéo như hình vẽ Để S12S2 thì số thực dương m nằm

trong khoảng nào dưới đây?

51;

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 9

A. M  m f b  f a  B. M  m f  0  f a 

C. M  m f  0  f c  D. M  m f d  f c 

Câu 34 Cho   2

P y x và đường thẳng d y: mx 3 với m Giả sử đường thẳng d cắt  P

tại hai điểm A và B Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và

 P Khi S nhỏ nhất thì giá trị biểu thức   2 2

Câu 36 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 Đồ thị hàm số y f x được

cho như hình vẽ Diện tích hình phẳng  K ,  H lần lượt là 5

12và 8

3 Biết   19

1 12

2 3

2 3

2 6

Câu 37 Cho hai hàm số 3 2  

ymx  nx p m n p có đồ thị  P như hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 C và  P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.  0;1 B.  1; 2 C.  2;3 D.  3; 4

Câu 38 Cho hai hàm số   3 2

y f x  x ax  bx c và   2

yg x dx  ex h a b c d e h, , , , ,   Biết hàm số y f x  và yg x  có đồ thị như hình vẽ Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

đã cho có diện tích bằng:

Câu 39 Cho hình phẳng  D giới hạn bởi các đường: y x ,y sinx và x0 Gọi V là thể tích

khối tròn xoay tạo thành do  D quay quanh Ox và V  p 4 p  Giá trị của 24 p bằng:

Câu 40 Biết   1 2

: 24

 , khẳng định nào sau đây đúng?

A. T3 B. 3 T 16 C. 16 T 1980 D. T1980

Câu 41 Cho một parabol tiếp xúc với một đường tròn với các số liệu được cho như hình vẽ bên dưới

Gọi H1 và H2 là hai phần hình phẳng lần lượt có diện tích là S1, S2 như hình vẽ Giá trị

1 2

T   S S nằm trong khoảng

A. 0, 038;0, 043 B. 0, 044;0, 055 C. 0, 056;0, 086 D. 0, 031;0, 037

Câu 42 Trên parabol y   x2 1  P lấy hai điểm A  1; 2 ,B 3;10 Gọi M là điểm di động trên cung

AB của  P , M khác A B, Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và MA, gọi S2

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và MB Gọi x y0; 0 là tọa độ của điểm M khi

1 2

S  S đạt giá trị nhỏ nhất Tính x02 y02

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11

Câu 43 Cho hàm số y x  3 3 x2 3 mx m   1 Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục

Ox có diện tích phần nằm phía trên trục Ox và phần nằm phía dưới trục Ox bằng nhau Giá

Câu 44. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh 2 2, phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn nửa

đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ) Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng

A. 32 2

4 3

2 3

  

8 3

  

Câu 45 Trong hệ trục tọa độ , cho parabol và hai đường thẳng ,

(hình vẽ) Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng (phần tô đen); là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng (phần gạch chéo) Với điều kiện nào sau đây của và thì ?

Câu 50 Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y3x22mx m 21 , trục hoành, trục

tung và đường thẳng x 2 đạt giá trị nhỏ nhất Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 13

 HẾT 

BẢNG ĐÁP ÁN

16B 17B 18B 19A 20D 21B 22C 23A 24C 25A 26A 27A 28B 29C 30C 31A 32C 33C 34B 35A 36B 37B 38D 39A 40A 41B 42A 43B 44A 45A 46D 47A 48D 49A 50D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 1 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn   5;3 có đồ thị như hình vẽ bên Biết diện

tích các hình phẳng  A ,  B ,  C ,  D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần  lượt bằng 6 ; 3 ; 12; 2 Tích phân 1   

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 15

y f x , còn hàm số có đồ thị có bốn giao điểm phân biệt với trục hoành là yg x 

Từ hình vẽ ta thấy y f x  có 3; 2 là nghiệm đơn còn 1 là nghiệm kép Do đó ta có

Không mất tính tổng quát ta giả sử hàm số có đồ thị có 3 giao điểm phân biệt với trục hoành là

 

y f x , còn hàm số có đồ thị có bốn giao điểm phân biệt với trục hoành là yg x 

Xét hàm số h x  f x   g x Từ đồ thị ta thấy h x không đổi dấu khi qua nghiệm   x 3nên h x có   3 là nghiệm kép còn 1; 2 là nghiệm đơn Do đó ta có

02

d e

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 17

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) và trục hoành gồm hai phần: phần

phía trên trục hoành có diện tích S1 2và phần phía dưới trục hoành có diện tích S2 5 (tham khảo hình vẽ) Tích phân

4 6

2 d2

P y x và đường tròn  C có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy nhất với  P Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P ,  C và

trục hoành ( phần bôi đậm trong hình vẽ) bằng

a k

2

2

12

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19

x y   y x (Nửa đường tròn phía trên Ox )

Tọa độ giao điểm của đường tròn và Parabol là nghiệm của hệ phương trình:

x y x y

a b n m

1

3 2 1

4

1 d3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 21

f x ax bx c và g x mxn có đồ thị lần lượt là đường cong  C

và đường thẳng  d như hình vẽ Biết AB5 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C

và đường thẳng  d (phần tô màu) là S p

q

 (trong đó p q,  *, p q; 1) Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 10 Cho hai số thực dương a , b khác 1 và đồ thị các hàm số yloga x, ylogb x như hình vẽ

bên Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ

 1

xk k Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi yloga x, d và trục hoành, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ylogb x, d và trục hoành Biết S14S2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 23

yk  k chia hình  H thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ) BiếtS1 S2

Mệnh đề nào sau đây đúng?

và x2y2  4 y2  4 x2   y 4x2 Đường tròn x2y2 4bao gồm 2 nửa đường tròn là y 4x2 nằm bên trên trục Ox và 2

4

y  x nằm bên dưới trục Ox Theo yêu

cầu của bài toán chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y 4x2

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và phần đường tròn x2y2 4 nằm bên trên trục Ox là phần tô màu đậm như hình vẽ





 

2 0

sin 22

2

t t

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 25

Câu 13 Cho hàm số y f x  có đồ thị  C nằm trên trục hoành Hàm số y f x  thỏa mãn các điều

  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và

trục hoành gần nhất với số nào dưới đây?

Nhận xét: Đồ thị hàm số trong cả hai trường hợp trên đối xứng nhau qua trục Ox nên diện tích

cần tính trong hai trường hợp là bằng nhau

2

1 5 4

Cách 2 Tác giả:Nguyễn Thành Trung; Fb: Nguyễn Thành Trung

22

max

3

2020 16

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 27

20206

x x

x

x x

  

Câu 16 Cho miền phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hàm số y x, hai đường thẳng x1,x2 và trục

hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D quanh trục hoành

32

V  xdx 

Câu 17 Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi

đường kính của đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có bán kính bằng 4 và

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 29

Theo giả thiết: OA4,OI 2,A4; 0 ,  B 4; 0

Phương trình đường tròn đường kính AB : 2 2

Câu 18 Cho đồ thị  C :y x Gọi M là điểm thuộc  C , A 9; 0 Gọi S1 là diện tich hình phẳng

giới hạn bởi  C , đường thẳng x9và trục hoành, S2 là diện tích tam giác OMA Tìm tọa độ

M để S1 2S2

A.  3; 3 B.  4; 2 C. 6; 6 D.  9;3

Lời giải Chọn B

Tác giả: Phạm Đình Huấn ; Fb: Phạm Đình Huấn

Ta có

9 1 0

Câu 19 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên đoạn 5;3 có đồ thị như hình vẽ bên Biết

diện tích các hình phẳng        A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần  lượt bằng 6, 3, 12, 2 Tích phân 1  

Câu 20 Cho hàm số y f x  có đồ thị trên đoạn 2; 6 như hình vẽ bên dưới Biết các miền A B C, ,

Có diện tích lần lượt là 32 , 2 và 3 Tính tích phân 2   

y

x O

(D)

(C)

(B)

(A)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 31

Tác giả:Nguyễn Đại Dương-Nguyễn Văn Thiện; Fb: Nguyễn Đại Dương-Nguyễn Văn Thiện

Word hóa: Nguyễn Văn Hữu; Fb: Nguyễn Văn Hữu

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của yx2 và yx là 2

x     x x x Diện tích phần tô đậm bị giới hạn bởi đường cong yx2 và đường thẳng yx trên đoạn

1d6

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Sưu tầm : Lương Đức Tuấn ; Fb: Tuấn Luong Duc

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 33

Câu 23 Hình phẳng  H được giới hạn bởi đồ thị  C của hàm đa thức bậc ba và parabol  P có trục

đối xứng vuông góc với trục hoành Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x 1;x1;x2 nên ta có

ax bx cx mx nxa x x x  Với x0 ta được 2a  2 a 1

Vậy diện tích phần tô đậm là: 2    

A 3,44 B 1,51 C 1,77 D 3,54

Lời giải

Tác giả: Đào Văn Tiến ; Fb: Đào Văn Tiến

Word hóa: Nguyenspat Hoang

x y     y x , do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và nửa trên của đường tròn là phần tô màu vàng như hình vẽ

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 35

2

 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hai hàm số y f x  và yg x  (phần được tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của hình  H

bằng

1

2 0

I

 

1

2 1

t t







2 0

1 sin 2

t t

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 37

2m 2m 2m 2m   m m m m 3

S

Nhận xét: a0;a2 là hoành độ tiếp điểm tại hai điểm cực trị của đồ thị  C

Câu 29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y2x2 x0, y 3 x, y0

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 39

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2

Với x1 thì y2 ta có giao điểm A 1; 2

Mặt khác đồ thị hàm số y2x2 giao trục hoành tại O 0; 0 , đồ thị hàm số y 3 x giao trục

hoành tại B 3; 0

Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích cần tìm là:

3 1