99 problem oxyz (bản sol)

Tổng khoảng cách từ A, B, C đến  P đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu.. Đường thẳng  song song với mặt phẳng Oxy ,vuông góc với d và cắt mặt phẳng  P m tại một điểm cố định...

Câu 1 Trong không gian Ox ,yz cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 9 và

1: 1 2 ,

Vì mặt phẳng (ABC ) đi qua điểm D(1;1; 2)nên 2(1 t) 2(1 2 ) 4(3t t 2) 18 0 6 6t 0 t 1

x y

Câu 3 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1; 2; 3 ,B1;3; 2,C1; 2; 2   Mặt phẳng  P đi

qua gốc tọa độ O sao cho A B C nằm về cùng phía so với , ,  P Tổng khoảng cách từ A, B,

C đến  P đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu

Lời giải

Gọi G1;1; 1 là trọng tâm tam giác ABC

Ta có d A P( , ( ))d B P( , ( ))d C P( , ( ))3 ( , ( ))d G P 3GO3 3

Dấu " " xảy ra khi O( )P và ( )P nhận GO( 1; 1;1)  làm vecto pháp tuyến

Vậy  P :x  y z 0 và tổng khoảng cách từA,B,C đến  P đạt giá trị lớn nhất bằng 3 3

Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

m

phương u1;2;3 Đường thẳng  song song với mặt phẳng Oxy ,vuông góc với d và

cắt mặt phẳng  P m tại một điểm cố định Tính khoảng cách h từ A1; 5;0  đến đường thẳng

Ta có AB2 3, AB2;2;2, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n1; 2;2 

Xét tam giác ABM có

sinM sin sin sin sin

M B A

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

Vậy min 54

11

T 

Câu 7 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 2;3, B3; 4;5 và  P :x2y3z140 Viết

phương trình mặt phẳng  Q đi qua hai điểm A, B và tạo với  P một góc  thỏa mãn

1cos

C n D1;1;1 với m0, n0 và m n 1 Biết rằng khi m, n thay đổi, tồn tại một

mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và đi qua  D Tính bán kính R của mặt cầu đó

đi qua D Ta có Rd ,ABC

Vì khi tham số m thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và 

đi qua D có bán kính R cố định nên một trong các phương trình  1 ,  2 có nghiệm với mọi giá trị của tham số m Ta có các trường hợp sau:

Câu 9 Trong không gian Oxyz cho hai điểm (1; 2;1),, A  (2; 4;6).B Điểm M di động trên AB và N

là điểm thuộc tia OM sao cho OM ON 4 Biết rằng N thuộc một đường tròn cố định Tìm

bán kính của đường tròn đó

Lời giải

Trong mặt phẳng (OAB Kẻ tia OH) : AB tại H

Trên tia OH lấy điểm K sao cho ONK  90

Xét OMH và OKN có: ˆO chung

T MA  MB MC  MD   2  2 2

4

12

Gọi H3;5; 0 là hình chiếu của I trên Oxy

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

4

m n

 



 



Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;c với , ,a b c

là những số dương thay đổi thỏa mãn a24b216c249 Tính tổng S a2 b2 c khi 2

khoảng cách từ O đến mặt phẳngABC đạt giá trị lớn nhất

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 6;1 và mặt phẳng P :x  y 7 0

Tìm tọa độ điểm BOz C,  P sao cho tam giác ABCcó chu vi nhỏ nhất

B Oz B c Thay tọa độ điểm ,A B vào phương trình mặt phẳng P :x  y 7 0

Ta suy ra ,A B nằm cùng phía với nhau bờ là mặt phẳng  P

Chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi B là hình chiếu của A lên OzB0; 0;1và

 



C A B P

với A là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng  P :x  y 7 0

Đường thẳng đi qua A vuông góc mặt phẳng P :x  y 7 0có dạng

161

Câu 16 Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1;1; 2  thuộc mặt cầu

  2  2 2

S x  y z  Từ điểm A kẻ ba dây cung AB AC AD, , có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau một góc 60o Mặt phẳng BCD có phương trình x by cz d     0 Tính b c d

Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   :x  z 3 0 và điểm M1;1;1 Gọi A là điểm

thuộc tia Oz , B là hình chiếu của A lên   Biết rằng tam giác MAB cân tại M Diện tích của tam giác MAB bằng:

A 6 3 B 3 3

3 123

Do  S1 và  S2 đồng tâm I4; 0; 0 và có tính đối xứng nên   sẽ tiếp xúc với  S1 tại

trung điểm M của BC suy ra 2 2

M A

   ( loại)

* TH2: Mp  P cắt mc  S và  S theo 2 đường tròn  C1 và  C2 sao cho  C1 và  C2cắt nhau tại hai điểm  1

Dễ thấy  S và  S cắt nhau theo đường tròn có bán kính r4 nên ta có

2110

Do m Z      m  4; 3; 2; 1; 0 nên có 9 giá trị nguyên của m

Câu 21 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho 2 mặt cầu  2 2 2

Lời giải

Chọn A

(S) (S')

x

5

7 4

Ta có:    S1 ; S2 có cùng tâm ( 4;0;0)I  , bán kính R14;R2 6;A nằm ngoài hai mặt cầu

   S1 ; S2

BC có độ dài không đổi SABC lớn nhất  d A( ; ) lớn nhất

Gọi tiếp điểm của   và  S là 1 M

Câu 22 Trong không gian O xyz cho  P :x4y2z 6 0;  Q :x2y4z 6 0 Lập phương

trình mặt phẳng   chứa giao tuyến chung của 2 mặt phẳng    P ; Q và cắt các trục tọa độ lần

lượt tại , ,A B C sao cho hình chóp O ABC là hình chóp đều

Giả sửA B C lần lượt là giao điêm của , ,   với các trục Ox Oy Oz , ,

Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S , 1  S2 có phương trình lần lượt là

Dựng mặt cầu  S3 có tâm I1 và bán kính R3 3, suy ra d tiếp xúc với  S3

Nhận thấy  S2 ở bên trong  S3 và có chung với  S3 duy nhất điểm M0; 0;3 nên d đi

qua M, vuông góc với véc tơ k0; 0;1 và véc tơ u1; 1; 0 

Do u k;      1; 1; 0 nên d có một véc tơ chỉ phương là u3 1;1; 0

Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A3; 2; 2 ,  B 2; 2; 0 và mặt phẳng

 P : 2x y 2z 3 0 Xét các điểm M N di động trên ,  P sao cho MN1 Giá trị nhỏ nhất của 2 2

 Biết rằng, khi m thay đổi có 2 mặt cầu cố định tiếp xúc

đồng thời với cả hai mặt phẳng     ,  Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng:

Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng   cắt các tia ox,oy oz, lần lượt tại B m ;0;0, C0;1m;0, A0;0;1Tâm I

cách đều    oxz ; oyz khi và chỉ khi I có tọa độ dạng I a a z ; ; 0 Khi 1

Dấu bằng xảy ra khi tam giác OAB vuông tại O

Câu 27 Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD A B C D    có tọa độ các đỉnh A0; 0; 0,

1; 0; 0

B ,D0;1; 0 và A0; 0;1 Gọi Mlà trung điểm cạnh AB và N là tâm hình vuông

ADD A  Diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng CMN và hình lập phương đã cho bằng:

S S

3 14 14.

V h   hh với 0 h 3

48 3 163

V h    h  h

r

R h

J H

I B

A

   2

V h   h    h

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có Vmax 39

Câu 29 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;c với , , a b c0 Biết rằng

mặt phẳng (ABC ) đi qua điểm 2 4 4; ;

  cũng thuộc mặt cầu ( )S nên mặt phẳng ( ABC tiếp xúc với mặt cầu ( )) S

tại điểm M Suy ra mặt phẳng (ABC đi qua điểm ) 2 4 4; ;

Gọi I là trung điểm của BC  I 3; 0; 6

Ta có: MA MBMC MA 2.MI MA2MI

4 2

OA  RR; OI  3262 3 5 R

Với điểm M bất kì, ta xét mặt phẳng OAM : 

Gọi E là giao điểm của OA và mặt cầu; OA2OM nên ta lấy F là trung điểm OE

OE R OA E là trung điểm OA E 0; 0; 2  F 0; 0;1

Ta có: MA MBMC MA 2.MI MA2MI 2MF2MI 2MFMI

Mà MFMI FI, dấu  xảy ra khi ba điểm F, M, I thẳng hàng (luôn xác định được điểm

M thỏa mãn)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của MA MBMC 2FI 2 3252 2 34

Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 3), B( 2; 2;1)  và mặt phẳng

( ) : 2 x 2 –y z 9 0 Xét điểm M thuộc ( ) sao cho tam giác AMB vuông tại M và độ

dài đoạn MB lớn nhất Phương trình đường thẳng MB là

Gọi  C là giao tuyến của mặt cầu  S và mặt phẳng ( ) 

Vì tam giác AMB vuông tại M nên M thuộc  S Mặt khác M thuộc ( ) nên M thuộc   C

Để độ dài đoạn MB lớn nhất thì MB là đường kính của  C

Gọi d là đường thẳng qua  

Tâm H của đường tròn  C là giao điểm của d và ( ) 

Tọa độ H là nghiệm của hệ

Gọi  C là giao tuyến của mặt cầu  S và mặt cầu  S1

Gọi mặt phẳng ( ) qua  C phương trình mặt phẳng   là z 2 0

Ta có d I ,  1, suy ra bán kính của đường tròn  C là r R2d2  8 1  7

Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu   2 2 2

Thay tọa độ A, B vào phương trình P thì B ( )P mà M ( )P nên MB ( )P

Vậy MB AB MB; ( )P nên đường thẳng MB có một vecto chỉ phương là u n( )P ;AB

Một VTCP của đường phân giác cần lập là u25u1   5; 2;1,

PT đường phân giác của góc tù giữa d1 và d2 là: 1 2 3

x  y  z

Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 2 0 và mặt phẳng

 Q : 2x y 2z100 song song với nhau Biết A1; 2;1là điểm nằm giữa hai mặt phẳng

 P và  Q Gọi  S là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và  Q Biết rằng

khi  S thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn

N

I A

Vậy I thuộc đường tròn tâm H bán kính 4 2

3

Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S có tâm 1 I12;1; 0 và bán kính R1 3, mặt cầu  S2

có tâm I20;1; 0 và bán kính R2 2 Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu    S1 , S2 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ ,điểm A1;1;1 đến đường thẳng d Giá trị M m bằng

Lời giải

Chọn A

Ta có I I1 2  2 R2 nên I1 S2 , do đó hai mặt cầu chỉ có tiếp tuyến chung ngoài

Các tiếp tuyến chung ngoài đều đi qua một điểm cố định thẳng hàng với I I1, 2 Gọi điểm đó là

2

R KI

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

2,

,

d

c K

Câu 38 Trong không gia với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 1;0 , B2;0;3 và mặt phẳng

 P : x2y2z 4 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc  P sao cho AM  61 và MB vuông

góc với AB

Lời giải

Ta thấy điểm B thuộc  P nên gọi d là đường thẳng nằm trong  P và d đi qua B

1;1;3

AB AB 11 Tam giác MAB vuông tại B nên MB 50

Gọi u là vec tơ chỉ phương của d  u n AB P, 4,5, 3 , d đi qua điểm B

 có phương trình tham số:

2 45

Vì M thuộc  P sao cho AM  61 và MB

vuông góc với AB nên Md M2 4 ,5 ,3 3 t t  t BM 4 ,5 , 3t t  t

Dễ thấy     MNP và K2; 2; 2    là tâm dường tròn nội tiếp tam giác đều MNP I

thuộc đường thẳng qua K và vuông góc với mặt phẳng MNP

Vậy có vô số mặt cầu thỏa mãn bài toán

I

N K

Câu 40 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A14;13; 4 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của tia KB với mặt cầu  S

Câu 41 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x z  và đường thẳng : 2

 Hai mặt phẳng  P ,  P chứa d và tiếp xúc với  S tại T

và T Tìm tọa độ trung điểm H của TT

66

R IK

  

16

I K H

I K H

x x x

y y y

z z z

  Hai điểm M N lần lượt đi ,

động trên các mặt phẳng   :x2,  :z2 sao cho trung điểm K của MN luôn thuộc đường thẳng  Giá trị nhỏ nhất của độ dài MN bằng

   và hai điểm A0;1; 3 ,  B 1; 0; 2 Biết điểm M thuộc 

sao cho biểu thức T  MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tmax Tính giá trị Tmax

A Tmax  3 B Tmax 2 3 C Tmax 3 3 D Tmax  2

Cách 1 Gọi M t ; 0 ,A1; 2 , B 0; 2 Khi đó,  1  T 3 M A M B , suy ra biểu

thức T đạt giá trị lớn nhất khi T M A M B  đạt giá trị lớn nhất

Nhận xét điểm M0 ,x A B / /0x, nên không tồn tại vị trí điểm M để Tđạt giá trị lớn nhất, hay không tồn tại vị trí điểm M để T đạt giá trị lớn nhất

t t t

VN t

f   nên hàm số f t  đồng biến trên

Ta có bảng biến thiên của hàm số y f t( ) trên

Theo giả thiết M thoả mãn 2 2

  M thuộc mặt cầu  S tâm I bán kính 54

Suy ra phương trình mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  + Theo giả thiết ABM là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với  P

Suy ra phương trình ABM: 2x5y  z 11 0

Khi đó toạ độ M thoả mãn hệ

x y z

thay vào PT  P ta được t 3M4; 2; 7 a b c   1

* Nhận xét: Với cách giải trên và kết quả thu được thì giả thiết bài cho thừa điều kiện

Câu 45 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z 1 cắt mặt phẳng ( ) :P x2y2z 1 0 theo giao tuyến là đường tròn (C) Mặt cầu chứa đường tròn (C) và qua

điểm (1;1;1)A có tâm là điểm ( ; ; )I a b c , giá trị a b c  bằng:

Câu 46 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu    2 2  2

: 1   2 4

2:

Tổng các giá trị thực của tham số m để  S cắt d tại hai điểm phân biệt , A B

và các mặt phẳng tiếp diện của  S tại , A B tạo với nhau góc lớn nhất bằng:

là tiếp diện của  S

tại , A B và K là hình chiếu của điểm I lên giao tuyến

của 2 mp    P , Q

Khi đó,     P , Q KA KB, 

Do vậy,         0

Nên KAIB là hình vuông

23

Vậy, chọn đáp án C

Câu 47 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;3;3),B 2; 1;1.Gọi    S1 , S2 lần lượt là hai mặt

cầu thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với đường thẳng AB lần lượt tại các điểm ,A B , đồng thời

tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

 P :x2y2z20180 đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức a b c  bằng

Lời giải

Chọn A

Gọi   là tiếp diện chung của    S1 , S2 tại M,K  AB    KAKBKM , suy ra

K là trung điểm của AB và M thuộc mặt cầu  S đường kính AB.Ta có K0;1; 2 và bán kính của  S là 3

Với mọi điểm M thuộc mặt cầu  S ta có: d M , P d K P ,   R 675

Dấu '''' xảy ra khi    

Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho điểm A1; 3; 0  và mặt cầu     2 2 2

Mặt phẳng AIM cắt mặt cầu   S theo giao tuyến là đường tròn (như hình vẽ):

50 40 10

MI MA IA    AIM vuông tại A

Vậy, khi AMI lớn nhất thì M luôn nằm trên mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với AI

* Viết phương trình mặt phẳng   :

Vậy OM2ON2 đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi và chỉ khi OI NM, ngược hướng.

Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0; 4; 3)  Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục

Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây

IK KA

Ta có: IAKA IK   4 3 7, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi K nằm trong đoạn thẳng IA

Vậy khoảng cách từ A đến d đạt GTLN là 7 khi và chỉ khi K nằm trong đoạn thẳng IA

3

(0; 3; 3)4

KI KA I

Suy ra phương trình đường thẳng d đi qua I và song song với Oz là:

033

x y

Vậy d đi qua điểm M (0; 3; 5)  

Câu 51 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; 2), ( 2; 2;0) B  và mặt phẳng

( ) : 2P x y 2z 3 0 Xét các điểm M N di động trên ( ), P sao cho MN1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2MA23NB2 bằng:

Gọi K là hình chiếu của B trên mặt phẳng  P

P 2 ; ; 2 (2 2; 2; 2 0)

BK k n BK k k k K k  k k màK P nên 2(2k    2) ( k 2) 2(2 ) 3k     0 k 1 K(0;1; 2)

t  3 thì M13 11 16 loại vì B không nằm giữa A‟ và M ; ; 

Câu 53 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 1 1

S x  y  z  Hai điểm A và B thay đổi trên  S sao cho tiếp diện

của  S tại A và Bvuông góc với nhau Đường thẳng qua Asong song với d cắt Oxy tại 

M, đường thẳng qua B song song với d cắt Oxy tại N Tìm giá trị lớn nhất của tổng 

Gọi J là trung điểm của MN '

Hình thang AMNB có JJ là đường trung bình nên '    