Phác đồ toán HSG tỉnh toàn quốc

   có đáy là tam giác đều cạnh .a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC Biết khoảng cách giữa đường... Tính thể tích khối tròn xoa

BON 01 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1;0 và 0;

C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận

D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0

BON 02 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log 42 xm x 1 có đúng

2 nghiệm thực phân biệt?

  

  



BON 05 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của

điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC Biết khoảng cách giữa đường

a

3324

a

3312

a

333

a

BON 06 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và đồ thị  C Tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm

 2; m có phương trình là y4x6 Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y f f x   và  2 

326

BON 17 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f x 2 là

2log mx6x 2log 14x 29x2 0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi

2

m

  C m39 D 19 m 39

BON 22 Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC120 và AB4 cm. Tính thể tích khối tròn xoay lớn

nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó

BON 23 Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình log 2x 1 log2mx8 có hai

nghiệm thực phân biệt là

BON 24 Cho bất phương trình:  2   2   

1 log x  1 log mx 4x m 1 Tìm tất cả các giá trị của m

để  1 được nghiệm đúng với mọi số thực x

A 2 m 3 B 3  m 7 C m  ; 3   7; D 2 m 3

BON 25 Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết diện

qua trục là một tam giác đều Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là

BON 27 Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác suất để

BON 29 Cho hình chóp S ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , tam giác SAB đều

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M là trung điểm của AD Khoảng cách từ

BON 30 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B Biết AB BC a 3 ,

góc SAB ̂ = SCB̂ 90  và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

BON 31 Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y

-1 -2

BON 34 Cho 3 số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1 Biết cũng theo thứ tự

đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d, d0 Tính a

BON 35 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình

vẽ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

a

3312

a

349



25

a b

BON 42 Cho hàm số y f x  có đạo hàm   2  3

1 13 15 ,

f x x x x  x Tìm số điểm cực trị của hàm số 25

BON 43 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh SA vuông góc với đáy, khoảng

cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng 2 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC Tính cos khi thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất

a

334

a

3

3 316

a

BON 46 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a Mặt phẳng  P đi qua A và vuông

góc với SC, cắt cạnh SB tại B với 2

3

SB SB

a

363

a

366

a

BON 47 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SC2,góc BCS45; góc giữa hai mặt phẳng SAB và  SBC bằng 90 ; góc giữa hai mặt phẳng SAC và  SBC bằng 60  Thể tích khối chóp

BON 48 Cho hình chóp S ABCD là hình bình hành Hai điểm M N, lần lượt là trung điểm của AB

và SC Hai đường thẳng AN MN lần lượt cắt mặt phẳng , SBD tại  I và K Gọi V là thể tích khối chóp

S ABCD và V là thể tích khối tứ diện CNIK Tỉ số V

V

 bằng

A 1

1

1

1.18

BON 49 Cho a0,a1 và hai số thực dương b, c thỏa mãn log a b3 và loga c 2 Tính giá trị của biểu thức

2 3

5loga a b

P

c



A P9 B P 2 C P 7 D P13

BON 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD b ,  và cạnh bên

SA c vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho AM x  , 0 x c 

Tìm x để mặt phẳng MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau 

A  5 1

2

ab x



 D 3 5

2

c x



HẾT

1.C 2.A 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B 10.A

BON 01 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

Vậy hàm số đã cho có ba đường tiệm cận

Đáp án C

BON 02 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương

trình log 42 xm x 1 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?

0 2 0

m S

Do đó ở bài này ta không cần

thiết phải đặt điều kiện xác

Dựa vào dấu của S và P, ta suy ra được điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng

dấu/ hai nghiệm cùng dương/ hai nghiệm cùng âm/ hai nghiệm trái dấu

BON 03 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, biết AB a , AC2 ,a CC 2a Gọi M I lần lượt là ,

trung điểm A B  và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng IM và AC

A 90 B 60 C 45 D 30

 LỜI GIẢI

Ta có I là trung điểm BC nên I cũng là trung điểm của B C

Do đó MI là đường trung bình của tam giác B A C  nên MI A C//  Mặt khác ACC A  là hình vuông (do AC CC ) nên ACA C Vậy AC MI hay góc giữa hai đường thẳng IM và AC bằng 90

Đáp án A

BON 04 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

cos 3cos

x y

Note

Trong các bài toán chứa tham

số giải bằng phương pháp

đặt ẩn phụ, các em lưu ý cần

phải đặt điều kiện chặt chẽ

cho ẩn phụ Có như vậy thì

khi biện luận theo tham số

mới không mắc sai sót.

Hàm số cos 3

cos

x y

t m





 đồng biến trên 1;0

m m

a

B

3 324

a

C

3 312

a

D

3 33

a

AM và sin HAM̂

314232

a HM

BON 06 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và đồ thị  C

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm  2; m có phương trình là y4x6 Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y f f x   và y f3x210 tại điểm

có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y ax b  và y cx d  Tính giá trị của biều thức S4a3c2b d

48 94

y x

Do đó a16, b 30,c48, d 94 Suy ra S174

Mấu chốt của bài toán này là

việc tính được f 2  2 dựa

vào nhận xét “Tiếp tuyến

của đồ thị  C tại điểm

x x

không có biên vô cực nên

không thể xét giới hạn của

hàm số tại vô cực, tức là đồ

thị hàm số không có đường

tiệm cận ngang Nếu không

để ý điều này mà lại tính

2 2

rồi kết luận hàm số có tiệm

BON 11 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Khi đó y không đổi dấu khi x qua 0 nên m1 loại

BON 12 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 Tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A 3 B 6 C 2 3 D 2

 LỜI GIẢI

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Do tứ diện ABCD đều nên AOBCD

Kẻ đường trung trực của cạnh AB, cắt AO tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, R AI

Ta có ANI ᔕ AOB nên AN AI

AO AB hay 2

2A

AB AI

BON 13 Cho đa thức f x  có hệ số thực thỏa mãn điều kiện

y xf x x  x không có cực trị

Đáp án B

BON 14 Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh bằng a 2

Tính theo a thể tích khối tứ diện ACB D 

A

3

2 23

a

D

326

BON 15 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm

số y  x3 3x2mx có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ;0  Số phần tử của tập S là

2 3

.0

2 1

x

x x

x

x x

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng ;0 

Do đó chọn đáp án A

Đáp án A.

BON 17 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f x 2 là

BON 18 Gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân n

 u n có công bội q khác 1 Biết S8257S4 và u332 Tính u 1

+∞

–∞

0

x f’(x)

Do đó dấu của y không đổi

khi x đi qua log 3 2

, 03

2log mx6x 2log 14x 29x2 0

có 3 nghiệm thực phân biệt khi

Một cấp số nhân hoàn toàn

được xác định khi biết u và 1

q Với hai giả thiết đã cho là

1) Hai kết quả quan trọng

liên quan đến khai triển nhị

Liên quan đến dấu các

nghiệm của một phương

trình bậc hai, xin xem lại

BON 02 cùng đề

14 29 2 02

6 14 291

214

BON 22 Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC120 và AB4 cm.

Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC

quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC

Quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối nón đỉnh B và đỉnh C, chung đáy là đường tròn

H HA;  Xét khối nón  N có đỉnh là B, đáy là đường tròn 1 H HA có ; 

1

21

.3

N

V  BH AH

x f’(x)

114

392

0 –

19

2

398

Xét khối nón  N có đỉnh là C, đáy là đường tròn 2 H HA có ; 

2

21

.3

N

V  CH AH Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được là:

S V

 LỜI GIẢI

Ta có 2  2   2

11

2

x x

1

f(x)

4

3 _

8

+ +∞

0

+∞

 BON Tip

BON 23 và 21 có cùng một

phương pháp giải Đó là “cô

lập m” để biến đổi phương

trình về dạng f x m, sau

đó khảo sát lập bảng biến

thiên của f x để suy ra  

điều kiện của tham số

2

mx  x m 

m m

m m

m

m m

BON 25 Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy

của một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều Tỉ số thể tích

khối cầu và thể tích khối nón là

9

C N

V

V 

Đáp án A

BON 26 Một hình trụ có bán kính đáy bằng a Cắt hình trụ bởi mặt

phẳng song song với trục và cách trục một khoảng

nên ta có thể giải bài này

theo phương pháp “cô lập

B A

Vậy thể tích khối trụ bằng V a 3 .a2 a3 3.

Đáp án B

BON 27 Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 Lấy ngẫu

nhiên ba số thuộc S, xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là

2 3

.38

Gọi A là biến cố “ba số lấy được lập thành một cấp số cộng”

Các số cách đều nhau sẽ tạo thành một cấp số cộng Ta xét số đứng giữa trong ba số

Nếu số đó là 1 hoặc 20: Không tạo được cấp số cộng

Nếu số đó là 2 hoặc 19: Tạo được 1 cấp số cộng

Nếu số đó là 3 hoặc 18: Tạo được 2 cấp số cộng

BON 29 Cho hình chóp S ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng 2a , tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng ABCD Gọi M là trung điểm của AD Khoảng cách từ điểm B

Kẻ HJAI. Khi đó HJSCMd H SCM ;  HJ

Xét tam giác KBC, ta có AM BC//

1

2 42

lệ khoảng cách, bài toán đã

được giải quyết

BON 30 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân

tại đỉnh B Biết AB BC a 3 , SAB ̂ = SCB̂ 90  và khoảng cách từ A đến

mặt phẳng SBC bằng  a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

chứng minh được ABCH là

hình vuông là điểm mấu chốt

của lời giải này Từ đó ta

chuyển được khoảng cách từ

biến trên mà lim   ; lim  

  nên loga b0,logb c0,logc a0

Do đó với cơ số thuộc 1;1

2loga logb logc

Do a b c, , theo thứ tự lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một

cấp số cộng với công sai là d nên 3

ac b Khi đó    2 2 2 2

0

g(x)

3

1 _

4 +

5413

0

6

 BON Tip

Ta gặp lại một lần nữa trong

đề này phương pháp “cô lập

BON 37 Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của x trong khai

SA ABC Mặt phẳng SBC cách A một khoảng bằng a và hợp với

mặt phẳng ABC góc 30 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

389

a

B

383

a

C

3312

a

D

349



 D 7 2 6

25

a b

2

5

122

t t t

2 5 0

1 64

   

        

   

Đáp án B

BON 40 Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số bậc ba yf x 

như hình vẽ bên dưới

Nếu thay y bởi m và phát

biểu lại một chút như sau thì

sẽ có cảm giác “thân quen”

hơn: “Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để

Mặt khác theo giả thiết

4

x

y f x

 

   

  có 6 điểm cực trị

Đáp án C.

BON 43 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh

SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC 

bằng 2 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC Tính coskhi thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất

sinsin

AH AI

tại điểm có hoành độ x là 0 2  2

3 6 6 3 1 3 3

k x  x   x    Đẳng thức xảy ra khi x0 1, khi đó k3, tiếp điểm là  1;9 Vậy phương trình tiếp tuyến là y3x 1 9 hay y3x6

Đáp án C

BON 45 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh đáy AB a

Trên cạnh BB lấy điểm M sao cho B M 2BM Biết A M B C Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C   

A

3

3 38

a

B

338

a

C

334

a

D

3

3 316

1 –

Gọi x là nghiệm của y0 

+ Với a 0 : Tiếp tuyến của

BON 46 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a

Mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với SC, cắt cạnh SB tại B với 2

3

SB SB



 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3 64

a

B

3 62

a

C

3 63

a

D

3 66

a

 LỜI GIẢI 1

Trong mặt phẳng SAC vẽ AH SC tại H

Trong mặt phẳng SBC, qua H dựng HB SC với BSB Đặt SA SB SC SD x x    , 0 suy ra 2

B C’

C

A

M B’

3 2

Trong mặt phẳng SAC vẽ AH SC tại H

Trong mặt phẳng SBC , qua H dựng  HB SC với BSB Gọi K AH SO Ta có:

BON 47 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SC2,

BCŜ 45; góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 90 ; góc giữa hai mặt phẳng SAC và  SBC bằng 60  Thể tích khối chóp S ABC là

Ta có SBC vuông cân tại B SB BC  2

Ta có KBC vuông cân tại K KB KC 1

cắt mặt phẳng SBD tại  I và K Gọi V là thể tích khối chóp S ABCD và

V là thể tích khối tứ diện CNIK Tỉ số V

V

 bằng

A 1

1

1

1.18

 

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SCJ với 3 điểm N, K, M thẳng

hàng nằm trên 3 cạnh của cho tam giác SCJ, ta có:

BON 49 Cho a0,a1 và hai số thực dương b, c thỏa mãn

loga b3 và loga c 2 Tính giá trị của biểu thức

2 3

5loga a b

AB a AD b  và cạnh bên SA c vuông góc với mặt phẳng ABCD 

Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho AM x , 0 x c  Tìm x để mặt

phằng MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng 

nhau

A  5 1

2

ab x



 D 3 5

2

c x