Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN

5

1

a a

d1

f x x

5ln

8ln

Câu 7 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ OH vuông góc với

mặt phẳng ABC tại  H Khẳng định nào sau đây sai?

A 1 2 12 12 12

OH OA OB OC B OABC

C H là trực tâm tam giác ABC D AH OBC

Câu 8 Cho phương trình 2

log x2log x mlog x m(*) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc [ 2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?

A 2020 B 2019 C 2021 D 4038

Câu 9 Cho khối chóp S ABC có SA6, SB2, SC4, AB2 10 và SBC 90 , ASC120

Mặt phẳng  P đi qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng SAC cắt 

A d2a B d8a C d16a D d11a

Câu 15 Cho hàm số ym3x2m1 có đồ thị là đường thẳng d Gọi S là tập các giá trị của

tham số m để đường thẳng d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác

OAB cân Số tập con của tập S là

với x, y , z là ẩn số thực, m là tham số Số giá trị

nguyên của m để hệ có nghiệm là

A 24 B 13 C 12 D 25

Câu 19 Cho tứ diện ABCD có AB6a; CD8a và các cạnh còn lại bằng a 74 Tính diện tích mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

3) f x g x    d =x  f x d x g x  dx 4) f   x g x d +x  f x g x    d =x f x g x   

 

 

  B ; 6 C 6;  D 1; 6

Câu 24 Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ Hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hai hàm số y f x ;y f x có diện tích bằng





 tại hai điểm phân biệt A và B có

hoành độ x , A x Giá trị của biểu thức B x Ax B bằng:

A 2 B 5 C 1 D 3 Câu 26 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong 2 2

y m x ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành Khi (H ) quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích là V Có bao

nhiêu giá trị nguyên của m để V1000

Câu 27 Cho khối chóp S ABC có SASBSCa và ASBBSCCSA 30 Mặt phẳng   bất

kì qua A cắt SB , SC tại B , C Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi AB C  

A a 3 B a 2 C a D 2a Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u1;1; 2 , v1;0;m Tìm tất cả các giá

trị của m để góc giữa hai vectơ u , v bằng 45

Câu 30 Cho hình trụ có bán kính đáy r Gọi O và O là tâm của hai đường tròn đáy với OO 2r

Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O Gọi V và c V r làn lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ Khi đó c

f x  x ax b với a, b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

 1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a2b

a



3312

a



332

a



336

Gọi A x y z 0; 0; 0x0 0 là điểm nằm trên đường

thẳng d sao cho từ Akẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu  S và các tiếp điểm B C D, , sao cho

ABCD là tứ diện đều

Tính giá trị của Px0y0z0

A P8 B P6 C P16 D P12

Câu 35 Cho hàm số yx3m1x2 x 2m1 có đồ thị  C ( m là tham số thực) Gọi m1, m là 2

các giá trị của m để đường thẳng d y:   x m 1 cắt  C tại ba điểm phân biết A, B, C sao

cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với  C tại A, B, C bằng 19 Khi đó, m1m2 bằng

A 4 B 0 C 2 D 2

Câu 36 Biết 4  

2 0

Câu 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa, BCa 3 Cạnh bên

SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB một góc  30 Thể tích của khối chóp S ABCD là

333

a

323

a

3

2 63

 Hai mặt phẳng  P ,  P chứa d và tiếp xúc với  S tại T,

T Tìm toạ độ trung điểm H của TT

f x x x x  mx Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị?  

A 6 B 5 C 0 D 7 Câu 47 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h

Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho

Câu 49 Mệnh đề nào dưới đây SAI?

A Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

B Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

C Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

D Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng

nhau

Câu 50 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?

A

3 2

11

x y x





2 2

x x y

7 7  7n  3

n a

trong với  O ( sao cho O khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua

M vuông góc với O A , O B cắt đường thẳng AB lần lượt tại các điểm , C D

a) Chứng minh rằng AB2CD b) Gọi T là một điểm thuộc  O sao cho ATB 90 Tiếp tuyến của  O tại T cắt đoạn AB

tại N và đường thẳng MN cắt  O tại K khác M Vẽ đường tròn qua M K và tiếp xúc ,ngoài với  O tại S Chứng minh rằng điểm S luôn di động trên một đường tròn cố định khi

 O thay đổi

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số nguyên) A B, được gọi là “thân thiết” với nhau nếu A B, khác O và 1 OA OB 1 với O là gốc tọa

độ

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên M x y( , ) với x 19, y 19 thỏa mãn điểm M và điểm N(3;7)

“thân thiết” với nhau?

b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?

ĐÁP ÁN Câu 1 (5 điểm) Xét dãy số  a n xác định bởi a1 3, a2 7 và a n2 3a n1a với n n1, 2,3,

7 7  7n  3

n a

1

17

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1 Thật vậy:

ta được bộ 3 số thực a b c, , đôi một phân

biệt thỏa mãn bài toán

b) Giả sử tồn tại 3 bộ số thực a b c với i, ,i i i1, 3 gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho

 i i,  i i,  i i

P a b P b c P c a với i1, 3 Đặt S i   a i b i c i với i1, 3

Chứng minh rằng S12S22S32 S S1 2S S2 3S S3 1 Giả sử 2 2 2

S S S S S S S S S S S S d Xét đa thức Q x  x P x P P x   d suy ra Q x là đa thức bậc 9  

suy ra Q x không chứa   8

x nên theo định lí viét thì phương trình Q x 0 có tổng các nghiệm bằng 0 hay 3d   0 d 0 Q x 0 có một nghiệm bằng 0, mà P 0 0 mâu thuẫn với giả thiết P a i b P b i,  i c P c i,  i a i Vậy S12S22S32 S S1 2S S2 3S S3 1

Bài 3 ( 5 điểm)

Cho AB là một dây cố định khác đường kính của đường tròn  O cố định Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB Xét đường tròn  O thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xúc

trong với  O ( sao cho O khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua

M vuông góc với O A , O B cắt đường thẳng AB lần lượt tại các điểm , C D

a) Chứng minh rằng AB2CD b) Gọi T là một điểm thuộc  O sao cho ATB 90 Tiếp tuyến của  O tại T cắt đoạn AB tại N và đường thẳng MN cắt  O tại K khác M Vẽ đường tròn qua M K và tiếp xúc ,ngoài với  O tại S Chứng minh rằng điểm S luôn di động trên một đường tròn cố định khi

 O thay đổi

Lời giải

Lời giải

a) Gọi E F lần lượt là tiếp điểm của ,  O với  O và AB

Cách 1: Ta sẽ chứng minh EF đi qua M

Do đó, EFlà phân giác của AEB nên EF đi qua M

Xét đường tròn điểm A và đường tròn  O thì từ đẳng thức trên, ta thấy M có cùng phương tích đến

hai đường tròn Suy ra MC chính là trục đẳng phương của đường tròn điểm A và đường tròn  O

K

N

T

D C

Cách 1 Gọi S là giao điểm của đường thẳng TM với  O ,S T

MS MT MF MEMA MN MK nên tứ giác NKTS nội tiếp

Gọi xS y là tiếp tuyến của  O tại S, ta có xy S M,  S TN S KM suy ra xy cũng là tiếp tuyến của đường tròn MKS Do đó MKS tiếp xúc với  O

90

SAMSBM  Xét tứ giác AMBS có AMB không đổi và tổng SAMSBM 90 nên ASB270 , chứng tỏ S luôn thuộc cung chứa góc 270  dựng trên AB Ta có đpcm

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số nguyên) A B, được gọi là “thân thiết” với nhau nếu A B, khác O và  1 OA OB 1 với O là gốc tọa

độ

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên M x y( , ) với x 19, y 19 thỏa mãn điểm M và điểm N(3;7)

“thân thiết” với nhau?

b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?

Lời giải

a) Ta có điều kiện 1 3  x7y1 nên có ba trường hợp:

(1) Nếu 3x7y0 thì ( , )x y  ( 7 ,3 )t t với t thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau

(3) Nếu 3x7y 1 thì ( , )x y  (2 7 , 1 3 )t   t với t thỏa mãn Xét hệ ràng buộc

Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn là 4 6 6 16.  

b) Gọi điểm đã cho là A a b với i( ; )i i a b i, i ,i1,n và a i2b i2 0

Ta có a a i kb b i k 1 với mọi ik Ta thấy rằng:

- Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox là (1;0) và ( 1;0).

- Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy là (0;1), (0; 1).

Ta sẽ chứng minh rằng có không quá 2 điểm không thuộc cả Ox Oy Giả sử ngược lại rằng có ba điểm ,như thế thỏa mãn đề bài là A a b1( , ),1 1 A a b2( ,2 2),A a b3( , ).3 3 Ta có hai trường hợp:

(1) Nếu có hai điểm thuộc cùng một góc phần tư, giả sử là A A1, 2 thì các số a a cùng dấu, các số 1, 2 b b 1, 2cũng cùng dấu nên a a1 2 0,b b1 2  0 a a1 2b b1 2 2, loại

(2) Nếu không có điểm nào thuộc cùng một góc phần tư thì phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử là A A1, 2 thì các số a a trái dấu, các số 1, 2 b b cũng trái dấu nên 1, 2

a a  b b  a a b b   , không thỏa

Do đó, điều giả sử là sai, tức là tổng cộng có không quá 6 điểm thỏa mãn đề bài

Ta có A1(0;1),A2(0; 1), A3(1;0),A4( 1;0), A5(1;1),A6( 1;1) đôi một “thân thiết”

b) Chứng minh rằng f x( ) 1 với mọi x

Bài 2.(5 điể ) Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp  O Một đường tròn  J thay đổi đi qua

,

B C và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại D và E Trên đường thẳng BC lấy hai điểm

phân biệt R S, sao cho DER và  DES tiếp xúc với đường thẳng  BC Giả sử ADE cắt 

 O tại M khác A Gọi  O là đường tròn ngoại tiếp tam giác  RSM

a) Chứng minh rằng đường tròn  O đi qua trực tâm của tam giác ARS b) Chứng minh rằng điểm O luôn di động trên một đường thẳng cố định khi  J thay đổi

Bài 3.(5 điể ) Cho S là tập hợp các bộ a a1, 2, ,a164 là hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên

a) Có bao nhiêu hoán vị a a1, 2, ,a164 thuộc S sao cho với mọi i1, 2, ,164 ta luôn có

i

a i và a i imod 41? b) Tồn tại hay không hoán vị ( , a a1 2, , a164) thuộc S sao cho với mọi i{1, 2, ,164}đều tồn tại các số nguyên bi {0,1, , 40} thỏa mãn a1a2  a i b i2 (mod 41)?

i 4 (5 điể )

Tại một hội nghị khoa học có đại biểu tham dự Người ta nhận thấy rằng không có đại

biểu nào đôi một quen nhau iết rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho không có đại biểu nào quen quá n đại biểu khác và với mọi k , 1 k n  có ít nhất một đại biểu quen đúng k đại biểu khác ãy tìm giá trị lớn nhất của n

 HẾT 

b) Chứng minh rằng f x( ) 1 với mọi x

Do đó, trong ba số f      0 , f 2 , f 2 phải có hai số bằng nhau; điều này chứng tỏ f x 

không phải là một đơn ánh trên b) Chứng minh rằng f x( ) 1 với mọi x Theo giả thiết suy ra f(2 )x ( (f x3x))2  2 2 với mọi x nên f x( ) 2,  x

Ngoài ra , cũng bằng phương pháp quy nạp toán học , ta thấy u n  1 với mọi n1

Thật vậy: Với n1 có u1   2 1 (mệnh đề đúng với n1)

Giả sử mệnh đề đúng với nk k(  ) tức là u k 1

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1 Ta có:

Vì limu n  1 nên phải có f x( )  1, , đpcm.

Bài 2.(5 điể ) Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp  O Một đường tròn  J thay đổi đi

qua B C, và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại D và E Trên đường thẳng BC lấy hai

điểm phân biệt R S, sao cho DER và  DES tiếp xúc với đường thẳng  BC Giả sử ADE cắt  O tại M khác A Gọi  O là đường tròn ngoại tiếp tam giác  RSM

a) Chứng minh rằng đường tròn  O đi qua trực tâm của tam giác ARS b) Chứng minh rằng điểm O luôn di động trên một đường thẳng cố định khi  J thay đổi

Lời giải

a) Giả sử DEBCT thì M là điểm Miquel của tứ giác toàn phần BCEDAT nên điểm

MAT

Ta có: TM TA TD TE  TS2 TR2 nên T là trung điểm của RS

Từ đó ta có TMS TSATSM TAS Tương tự thì TRM TAR

Do đó: TSMTRM TAS TRA RAS hay RSMRAS 180 Mặt khác, gọi H là trực tâm của ARS thì RHSRAS 180 nên RHS RMS

L F

K

G

N O'

R

S M

J

Từ đây suy ra đường tròn  O đi qua trực tâm của tam giác ARS

b) Vì đường tròn  O đi qua trực tâm của tam giác ARS nên nó đối xứng với đường tròn

ARS qua  BC, mà ARS đi qua điểm  A cố định nên đường tròn  O đi qua điểm K đối xứng với A qua BC, cũng cố định

Gọi FBECD L, AFBC thì TL BC,  1

Ta có TS2 TR2 TM TA TB TC  nên RS BC,  1 Gọi N là trung điểm của BC, khi đó

2 2

4

BC

NS NRNB  const Gọi G là giao điểm của đường thẳng NK với  O , GK

NG NK NS NR const Do đó, suy ra NGconst  G cố định

Vậy O di động trên đường trung trực của KG cố định

Bài 3.(5 điể ) Cho S là tập hợp các bộ a a1, 2, ,a164 là hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên

a) Có bao nhiêu hoán vị a a1, 2, ,a164 thuộc S sao cho với mọi i1, 2, ,164 ta luôn có

i

a i và a i imod 41? b) Tồn tại hay không hoán vị ( , a a1 2, , a164) thuộc S sao cho với mọi i{1, 2, ,164}đều tồn tại các số nguyên bi {0,1, , 40} thỏa mãn a1a2  a i b i2 (mod 41)?

Lời giải

+) Chia các số từ 1, 2, ,164thành 41 nhóm theo số dư, khi chia cho 41 thì rõ ràng mỗi nhóm

có 4 số ( 4 số này ở các vị trí a a i, i41,a i82,a i123 với i1, 41 của hoán vị) Các số trong mỗi

bộ trên sẽ được hoán vị đổi vị trí cho nhau

+) Ta thấy với một bộ x x x x1, 2, 3, 4, ta có 9 cách hoán vị là:

( , , , ),( , , , ),( , , , ),( , , , ),( , , , ),( , , , ),( , , , ),( , , , ),( , , , )

  cũng cho điểm tối đa

b) Tồn tại hay không hoán vị ( , a a1 2, , a164) thuộc S sao cho với mọi i{1, 2, ,164}đều tồn tại các số nguyên bi {0,1, , 40} thỏa mãn a1a2  a i b i2 (mod 41)?

*Bổ đề: Với p là số nguyên tố có dạng 3k2 thì {1 , 2 ,3 3 ,p3} sẽ lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo mod p

Chứng minh bổ đề: Giả sử trong bộ trên có hai số i j sao cho i3  j3(mod )p thì

Các số 4282; 83123; 124164 cũng được thực hiện hoán vị tương tự

Hoán vị này thỏa mãn vì

Tại một hội nghị khoa học có đại biểu tham dự Người ta nhận thấy rằng không có đại

biểu nào đôi một quen nhau iết rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho không có đại biểu nào quen quá n đại biểu khác và với mọi k , 1 k n  có ít nhất một đại biểu quen đúng k đại biểu khác ãy tìm giá trị lớn nhất của n

uy ra họ quen không quá đại biểu

Vì vậy những đại biểu quen , , …, , đại biểu khác phải thuộc X

Điều này vô lý bởi X 3266 34 1  =33

Cách 2:

Xét người A có 67 người quen Xét người B có lớn hơn hoặc bằng 34 người quen

Nếu A quen B, khi đó trong 98 người còn lại có 66 người quen A và lớn hơn hoặc bằng 33 người quen B

Do 66 33 99  98 nên A, B phải có người quen chung (mâu thuẫn giả thiết )

Vậy A không quen B

Vì có ít nhất 33 người có số người quen tương ứng là 34 , 35 ,…, 66 nên có ít nhất 33 người không quen A Điều này mâu thuẫn vì A quen với 67 người

quen với k người  k 1, ,34, B k quen với 34 người  k 35, , 66

Rõ ràng trường hợp trên thỏa mãn các yêu cầu đề bài