Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Thống Nhất

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN

M thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên

u v u v

u v

E

Toạ độ E là nghiệm của hệ

13

,2

122

1

1

n u

u u

u

n

n n

a k u

f y  có hai nghiệm phân biệt khi m  0 0,5

A và B sao cho tam giác PAB đều

Câu II: (6,0 điểm)

1 Giải phương trình 3 x 1 2 1  

x

x 2 2x 1 3

Câu III: (6,0 điểm)

1 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A '

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

AA' và BC bằng a 3

4 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'

2 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng    đi qua trung điểm I

của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm (khác A) Gọi h , h , h , hA B C D lần

lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng   

 



Câu IV: (2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A    1; 1  và đường tròn

T : x  3  y  2  25 Gọi B, C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn   T (B, C khác

A) Viết phương trình đường thẳng BC, biết I 1;1   là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu Nội dung Điểm

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình   1

có hai nghiệm phân biệt khác  1

Suy ra hàm số f t   liên tục và đồng biến trên Khi đó: Pt(1)  f  x   1   f 3 2x   1  x   1 3 2x  1 0,5

1 x

A'

C' B'

C

B

G A

4

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Gọi Dlà hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng AA'

Do đó BC  DE, AA'  DE

Suy ra DE là khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

0,5

Tam giác ADE vuông tại D suy ra DE 1 0

Vì VAB'C' D'  VAIB'C'  VAIC' D'  VAID' B' và (*) nên

B

C D C'

0,5

Ta có: A'B  A'C (*) (Do BA'  CA') A'BC  BAI (1) (Vì cùng bằng IAC) Mặt khác ta có ABI  IBC (2)

Từ (1) và (2) ta có: BIA'  ABI  BAI  IBC A'BC   IBA' Suy ra tam giác BA'I cân tại A ' do đó A'B  A'I (**)

Từ     * , ** ta có A'B  A'C A'I 

Khi đó Inằm trong tam giác ABC (TM) Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x  4y 17   0 0,5

  3 32

2t 2t t

2

   khi và chỉ khi t  1

0,5

Vậy ta có 3

P 2

  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

16 a 21

b

1 c 21

3 ĐỀ SỐ 3

Câu I (5,0 điểm)

1 Cho hàm số y  x4  mx2  m, với m là tham số

Tìm các giá trị của mđể hàm số có ba điểm cực trị

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2

Câu III (5,0 điểm)

1 Tìm hệ số của x15 trong khai triển nhị thức Niutơn của

n 5 2

1

x , x 0 x

Biết C0n  C1n   Cn 1n  Cnn  1024 (với n  *, Cnk là số các tổ hợp chập k của n)

2 Giải phương trình :  2sin x 1 sin x    2cosx   sin 2x  cosx

Câu IV (5,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA, đáy là tam giác vuông tại B Gọi B' là hình chiếu

vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng

BC cắt SC tại C'

1 Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng  AB'C' 

2 Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C', biết SA  AB  a và BC 2a 





   

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt

x 1 0

1 2x 5x 3 0

x 1 0

2 2x 5x 3 x 1

Từ giả thiết ta suy ra 2n  1024  2n  210   n 10 0,5

Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của

10 5 2

1 x x

Suy ra x15 ứng với 7k  20 15    k 5 0,5 Vậy hệ số của x15 là C105  252 0,5

III

2,

(2,5đ)

PT  2sin x 1 sinx+2cosx     2sin x cos x  cosx 0,5

 2sin x 1 sinx+2cosx   cosx 2sin x 1   0

S

Do BC   SAB   B'C'   SAB   B'C'  AB' 0,5

Ta có B'C' là đường trung bình của tam giác SBC suy ra 1

4 ĐỀ SỐ 4

Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số 2

x y x





 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Đường thẳng  d có phương trình 1 yx cắt (C) tại hai điểm A và B Đường thẳng  d2 có phương trình y x m  Tìm tất cả các giá trị của m để  d2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho tứ

3cossin

01)1(2

2)2()

(22

3 3

2

R y x x

y

y x y x y x y x

y x y x

a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Tính

thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho MAN  450 Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN

Câu V (4,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm I(2; 4) và các đường thẳng

2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) và M(1;2;4) thuộc mặt phẳng

ABC Viết phương trình mặt phẳng ABC để cho thể tích của khối OABC nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

1

Cho hàm số 2

x y x





12

0,50

3 Đồ thị:

Giao với Ox tại 2;0

Giao với Oy tại  0; 2

2 Đường thẳng  d có phương trình 1 yx cắt (C) tại hai điểm A và B… 2,00

(d1) giao (C) tại 2 điểm A(-1;-1) , B(1;1) và AB2 8

Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và (C) là

2 4,0

1 Giải pt: x x x sin2x 3sinxsin3x

2

3cos

3cossin

)3sin(

0sin





x x

x

0, 5

k Z

k x

x

k x

x

k x

3

2 3 6

3

0,5

k Z

k x

k x

k x

Xét hàm số f ( t )  2t  t t ,  t  0

022

ln2)(

t

t t t

)12(

)12(

t y

y t

21

)12(  3    



 y y y x thoã mãn (*)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x y) là (2; 1)

0,5

  3 32

2t2t t

2

   khi và chỉ khi t  1

0,5

Vậy ta có P 3

2

  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

16a21

b

1c21

C

A

B D

S

x

y x

N P

min ( ) ( 2 1)

Vậy

3

3max

3( 2 1)min

1 Trong mặt phẳng Oxy,cho điểm I(2; 4) và các đường thẳng… 2.0

Gọi hình chiếu của I trên d d lần lượt là 1, 2 E F, khi đó

Vậy phương trình đường tròn ( )C cần tìm là ( ) : (C x2)2(y4)2 8 0,5

2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) và M(1;2;4) thuộc

mặt phẳng ABC Viết phương trình mặt phẳng ABC để cho thể tích của khối OABC nhỏ nhất

y a

x

1421







c b a

3

3

42

1     abc

abc abc

c b a

3

142

1   

c b a

12 c

6 b

3 a

1

2 3

1 1

c b a



 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A B, sao cho AB 2IB, với I(2, 2)

Câu III (4 điểm)

1 Giải bất phương trình sau

452

342

2 Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có ABADCD, điểm

B(1; 2), đường thẳng BD có phương trìnhy  2 Biết rằng đường thẳng ( ) : 7d x y 250 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BMBC và tia BN là tia phân giác của góc MBC Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương)

Câu V (4 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông với AB2a Tam giác SAB vuông tại S, mặt

phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A 1;2;1 , B 1; 2;4     và mặt phẳng

( ) : 2P y z 0 Tìm toạ độ điểm C ( )  P sao cho tam giác ABC cân tại B và có diện tích bằng 25

Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)

Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)

0,25

x y’

1.2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng

và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB  2 IB, với I(2;2)

y x

0 0

11

1

31

x x x

cos 2 1 0

sin 2 0

1cos 2

2

3

x x

14

52

3

)1(2

2 2

x

x x

x x

x

x

453

4

14

52

3

2)(

1(

2 2

x x

x x

x x

1.0

x1 (

453

4

14

52

3

2

2 2

4

1( )2

Vậy giá trị lớn nhất của 1

4

P khi

3

11

Trường hợp 1: Nếu a16 Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số 0;1;2;3;4;5 cho 4

vị trí còn lại trường hợp này có A46 số

0,75

Trường hợp 2: Nếu a1 6, có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6 Khi đó, có 5 cách chọn

1

a  1;2;3;4;5 Sau khi chọn a1 và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 vị trí được chọn từ

4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là A35 trường hợp này có 4.5.A35 số 0,75

Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là A46+ 4.5.A35 =1560 0,5

Giải hệ được hai nghiệm (a ; b) là (6 ; -2) ; (-4 ; -2) 0,25

Vậy có hai điểm C thoả mãn yêu cầu có toạ độ là (6 ; -2 ; 4) , (-4 ; -2 ; 4) 0,25

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí