Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Đình Phùng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN

yx mx  m C với m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị  C có

hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị  C tại Acắt đường tròn

Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và ABC 60 Gọi E, F lần

lượt là trung điểm của các cạnh SC , SD Biết SA SC SD  và mặt phẳng ABEF vuông góc với mặt bên SCD , tính thể tích khối chóp  S ABCD theo a

2 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB3, AC4, AD6 và các góc

60

BACBAD , CAD 90 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Câu IV (2,0 điểm) Cho đa thức   4 3 2

1

f x x ax bx  cx với ; ;a b c là các số thực không âm Biết

rằng phương trình f x 0 có 4 nghiệm thực, chứng minh   4

ĐÁP ÁN Câu I (5,0 điểm)

yx mx  m C với m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị  C có

hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị  C tại Acắt đường tròn

Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và ABC 60 Gọi E, F lần

lượt là trung điểm của các cạnh SC , SD Biết SA SC SD  và mặt phẳng ABEF vuông góc với mặt bên SCD , tính thể tích khối chóp  S ABCD theo a

2 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB3, AC4, AD6 và các góc

Có SASCSD nên hình chiếu của S lên mặt

Có ABEF  SCD theo giao tuyến EF

BMN

  vuông tại B

Gọi O là trung điểm của MN thì O là tâm Lại có ABAM  AN 3

f x x ax bx  cx với ; ;a b c là các số thực không âm Biết

rằng phương trình f x 0 có 4 nghiệm thực, chứng minh   4

2018 2019

Lời giải Nhận xét: Nếu x là nghiệm của phương trình 0 f x 0 thì x0 0 (vì nếu x0 0 thì

t t

6 t 1 1 vô nghiệm vì  2 3

6 t 1    6 1, t ) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có f t    0, t Hàm số f t đồng biến trên  

Ta có:  3  f x  f y  y x Thay yx vào  2 ta có: 3 2 3 2  

cos arccos

7arccos

cos arccos

7arccos

n n

n

u u

f x  xm có đúng 3 điểm cực trị sao cho 2 2 2

x x x , trong đó x , 1 x , 2 x là hoành độ của ba cực trị đó 3

b) Cho dãy số  un xác định như sau

1 2 1

1

; 32

1, 1

n n n

CD AD AB Gọi M 2; 4 là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB3AM Điểm N thuộc

cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M Phương trình đường thẳng MN là 2x  y 8 0

Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d x:  y 0 và điểm A

thuộc đường thẳng d: 3x  y 8 0

b) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Biết hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng ABCDlà điểm M thỏa mãn AD3MD Trên cạnh CD lấy các điểm I,

N sao cho ABM MBI và MN vuông góc với BI Biết góc giữa SC và ABCDbằng 60 Tính thể tích khối chóp S AMCB và khoảng cách từ N đến mặt phẳng SBC

Câu 4 (3.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 15xy2 2z

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (5.0 điểm)

Thay y x 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình:

So sánh điều kiện  * , hệ đã cho có hai nghiệm x ; y là   1 ; 2; 0 ; 1 

a) Cách 1

2 2

44

h x x  x Hàm số này có bảng biến thiên như sau

Nếu 3    m 16 m 19 thì các phương trình  1 ,  2 ,  3 đều vô nghiệm Do đó, hàm số

Nếu   m 16 m 16 thì phương trình  1 có 2 nghiệm bội chẵn, phương trình  2 có 2 nghiệm đơn, phương trình  3 có 5 nghiệm đơn Do đó, hàm số g x không thỏa mãn có ba  cực trị

Vậy m17 là giá trị cần tìm

h x x  x Hàm số này có bảng biến thiên như sau

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi      m 16 2 m 16 m 18 Khi đó, giả sử x14 thì

Vậy m17 là giá trị cần tìm

b)

2 1

1

n n n

u u u

u v u





 ta có v n2 v v n n1 nên v n2  v n v n1 Đặt x n ln v n ta được x n2 x n1x n

u v

+) Vì D thuộc đường thẳng d x:  y 0 nên D d ;dMDd  2; d 4 Phương trình đường thẳng MN: 2x  y 8 0 có véc tơ chỉ phương

Kẻ ME vuông góc với BC , MK vuông góc với SE Suy ra : MK d M SBC   

Ta có : 1 2 1 2 1 2 132 130

a MK

x x

 Vì vậy ta cũng suy ra đượcx là số lẻ

Ta lại lập luận tiếp để kết luận zphải là số chẵn bằng phản chứng như sau:

y y

42

z t

Tương tự như thế, nếu x2n3,n0 thì từ 15 1  

k k

2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019

S C C C C  C C C C Xét



 có đồ thị  C Tìm m để đường thẳng d y:   x m cắt  C tại hai điểm

phân biệt A và B sao cho PAB đều, biếtP 2;5

2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB25m, chiều rộng AD20mđược chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( M N, lần lượt là trung điểm BC và AD) Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được30m Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây

dựng làm được con đường đi từ A đến C

có ít nhất hai tiết mục của khối 12

Câu III (2,0 điểm)

1) Cho dãy số  u n xác định bởi

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD(AB/ /CD AB, CD)có ADDC

,D(3;3) Đường thẳng AC có phương trình x  y 2 0, đường thẳng ABđi qua M( 1; 1)  Viết

phương trình đường thẳng BC

Câu IV (3,0 điểm)

Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ’ ’ ’ ’có đáy ABCD là hình vuông

1) Gọi S là tâm của hình vuông A B C D SA , BC có trung điểm lần lượt là ' ' ' ' M và N Tính thể

tích của khối chóp S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD)một góc bằng 600 và ABa

2) Khi AA'AB Gọi R S, lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A D CD’ , ’sao cho RS vuông góc với

mặt phẳng (CB D' ') và 3

3

a

RS Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D theo a ’ ’ ’ ’

3) Cho AA'ABa Gọi G là trung điểm BD', một mp P thay đổi luôn đi qua G cắt các đoạn

thẳng AD CD D B', ', ' ' tương ứng tại H I K, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



 có đồ thị  C Tìm m để đường thẳng d y:   x m

cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho PAB đều, biếtP 2;5

hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( )C là nghiệm phương trình

2 11

x

x m x

AD m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( M N, lần

lượt là trung điểm BC và AD) Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A

đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30m Tính thời gian

ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C

Giả sử con đường đi từ A đến C gặp vạch chắn

(25 ) 100100

y x

0,25

x 25m

Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 

Số phần tử của không gian mẫu là: n()=C125 792 0,25 Gọi A là biến cố “ Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu

diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12'' Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là : + 2 tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, một tiết mục khối 11 + 2 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 2 tiết mục khối 11 0,25

t

+ 3 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) =

Gọi H là hình chiếu của D trên

AC và D' là giao điểm của DH với AD Vì DCAD nên ADC

cân tại DDACDCA mà

CABDCA(so le trong)

'

DAH D AH

  H là trung điểm của BB’ BB'qua B và

vuông góc với AC Ta viết được

0,25

M

I D' H

B A

phương trình BB’:x  y 6 0

 

HBBACH Có H là trung điểm của DD' Do đóD' 5;1 

AB đi qua M và nhận MD' làm vtcp nên phương trình AB x: 3y 2 0

 2;0

AC AB A

Ta có ADCD là hình bình hành nên ' ADD C' Do đó,C 6; 4 0,25

Gọi d là đường trung trực của DC , suy ra d: 3x y 170 Gọi I  d AB, I

là trung điểm của AB 53 11;

Gọi H là trung điểm của AC => SH là

trung tuyến trong tam giác SAC Mặt khác SAC cân tại S => SH là đường cao SHAC

Gọi I là trung điểm của AH , mà M là trung điểm của SA => IM là đường

trung bình trong tam giác SAH

/ /12

600N

M

S

C

B A

Khi AA'AB Gọi R S, lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A D CD’ , ’sao

cho RS vuông góc với mặt phẳng (CB D' ') và 3

3

a

RS  Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D theo ’ ’ ’ ’ a

D'

m

A

A'

Câu

III.3

1,0 đ

Cho AA'ABa Gọi G là trung điểm BD', một mp P thay đổi luôn

đi qua G cắt các đoạn thẳng AD CD D B', ', ' ' tương ứng tại H I K, , Tìm giá

      Nghĩa là: (P) đi qua G và song song 0,25

B A

với mp(ABC) Vậy giá trị lớn nhất của T là 82

a b c abc  

P f a b c f a b c

đẳng thức xảy ra

121

4 16

11

844

1336

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc BAC Đường

thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O Chứng minh OQ vuông BC

2,5 điểm

0,25 0,5

0,5 0,25

1 8045 x

Vậy ( un) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn

Giả sử, lim un  a.Ta có: 3

3 3

4

Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành

Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có dạng : y = ax

O là giao điểm của PO và trục hoành nên O  ( ab ,0)

BC đi qua gốc tọa độ nên :

+) Nếu BC không nằm trên trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx với c 0,c

  a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB và AC)

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

+) Nếu BC nằm trên trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M N, do đó O thuộc

3 1

y z

y z

Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm của phương trình

Vậy: nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x  2)2  ( y  3)2  9và điểm A (1; 2)  Đường thẳng qua A,  cắt (C) tại M và N Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN

m m

4

m m

 Khi đó nghiệm của

(1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I)

giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN 1,0

(C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3 Có A nằm trong đường tròn(C) vì

Vậy MN nhỏ nhất bằng 2 7 khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A 0,25

4 a Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2

Cho dãy số   un xác định bởi u1  1 và un1  3 un2  2 với mọi n  1

a Xác định số hạng tổng quát của dãy số   un

b Tính tổng S  u12  u22  u32   u20112

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho a b c , , là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a2    b2 c2 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a ( 3,0 điểm )

1,2

t x  x t Khi đó phương trình trở thành:

4t  t 7t   5 t 6t  9 t  4t 4 0 0,5

 3 sin cos 0 tan 1

63

x x  x     x  k

, kZ

 3 sinxcosx3 phương trình vô nghiệm 0,5

2 (5,0 điểm)

3 2012

4 (3,0 điểm)

2

4 3

0, 12

Bảng biến thiên:

u 1 

 /

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí