baáo cáo bài tập lớn giải tích 2

4 Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong ..... Mặt cong trong không gian còn có th ể được xác định ởdạng ấn bởi phương trình: F?, ?, ? = 0 Tuy nhiên, không phải bất kì mặt cong nào cũng

ĐẠ I H C QUỐC GIA TP HCM Ọ

TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA

Đề tài: 10 Nhóm 10

Giảng viên hướ ng d n: Th.S ẫ TRẦ N NG ỌC DIỄ M

Thủ Đức, Ngày 15 tháng 5 năm 2021

STT Họ tên SV MSSV Công việc được phân chia

1 Lai C m Tài ẩ 2014407 Phương pháp tìm pháp vector

2 Nguyễn Chí Sang 2014349 Tìm cách tính diện tích m cong cho d ng ặt ạ

tham s ố

3 Từ L ch Thanh Tâm ị 2014444 Tìm cách tính diện tham s tích m cong cho d ng ốặt ạ

4 Lê Vũ Hoàng Anh 2010851 Soạn báo cáo Word, làm bt phầ 1-4 n

5 Nguyễn Trần Thiện Ân 2010889 Tìm cách viết phương trình tiếp diện của

mặt cong cho d ng tham s ạ ố

6 Lê Ng c Quang ọ 2014325 Tìm cách viết phương trình tiếp diện của

mặt cong cho d ng tham s ạ ố

7 Trương Khải Nguyên 2011716 Tìm cơ sở lí thuyết về tham số hóa mặt

cong

8 Lê Văn Nam 2013819 Phương pháp tìm pháp vector

9 Trần Quốc Thái 2010616 Tìm cơ sở lí thuyết về tham số hóa mặt

cong

10 Nguyễn Phúc Khang 2011367 Soạn báo cáo Word, làm bt phần 15-20

Đề tài 10:

Cơ sở lí thuyết:

Tìm hiểu về tham s hóa m cong, cách tìm vect và ố ặt ơ viết phương

trình tiếp diệ của mặt n cong cho d ng tham s cách tính ạ ố, diện tích m ặt cong cho d ng tham s ạ ố, cách tính diện tích m cong cho d ng tham ặt ạ

số

Bài tập:

Bài t ập 1-4, -20 15 phầ n 15.6

Mục lục

Phần Lý thuyết 2

THAM S HOÁ M T CONG Ố Ặ 2

Cơ sở lí thuyết 2

Tham s hoá m t cong ố ặ 3

CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ 4

Định nghĩa vectơ pháp tuyến: 4

Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong 5

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DI ỆN CỦ A M T CONG CHO Ặ DẠNG THAM S Ố 7

Cơ sở lí thuyết 7

Các ví d ụ 9

TÍNH DI N TÍCH M T CONG CHO D NG THAM S Ệ Ặ Ạ Ố 10

Cơ sở lí thuyết 10

Các ví d ụ 12

Phầ n Bài T p 13 ậ Bài t p 1- ậ 4: chỉ ra hình d ạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với các phương trình sau 13

Bài t p 15- ậ 20: tìm các véctơ biểu diễn cho các mặt sau 15

Tài u tham kh o liệ ả 17

KẾT THÚC BÀI BÁO CÁO 18

Phần Lý thuy t ế

THAM S HOÁ M T CONG Ố Ặ

Cơ sở lí thuyết

Định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa: Cho D ∈ ℝ𝑛 Ánh xạ 𝑓 → 𝐷 → ℝ hay 𝑥 = (𝑥1, 𝑥𝑛) ⟶ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1, 𝑥𝑛) ∈ ℝ được gọi là hàm s trên ố D (với : t D ập xác định, :hàm s𝑓 ố; : 𝑥 biến số)

Lưu ý:biến s có thành ph n, m i thành phố n ầ ỗ ần xem như một biến độc lập (cho nên hàm s trên ố ℝ𝑛 hay được gọi là hàm nhi u biề ến)

Hàm ba bi n là hàm nhi u bi n có s thành ph n cế ề ế ố ầ ủa biến là 3(t c n=3) ứ

Định nghĩa mặt cong

Giả sử U là một mi n liên thông trong m t phề ặ ẳng 𝑢, 𝑣 c là (tứ không t n t i hai ồ ạ tập m r i nhauở ờ mà h p c a chúng ợ ủ chứa U đồng thời mỗi tập đều chứa điểm của U),

và là t p h p cậ ợ ủa hữu h n ho c vô hạ ặ ạn điểm được miền con đồng phôi với hình tròn đơn vị; X(𝑢, 𝑣) là một ánh xạ liên tục từ U vào ℝ3 sao cho thu h p c a nó trên mẹ ủ ỗi miền con là một đồng phôi Khi ấy, tậ ảp nh

S = 𝑋 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ : 𝑋 = 𝑋(𝑢, 𝑣) ∈ U{ ( ) 3 }

được gọi là mặt cong M t cong trong không gian có th ặ ể được xác định ở dạng tường minh: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ G ⊂ ℝ2hoặc là y = 𝑓(𝑥, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑧) ∈ G1⊂ ℝ2 hay là

x = 𝑓(y, 𝑧) ∀(y, 𝑧) ∈ G2 ⊂ ℝ2

Mặt cong trong không gian còn có th ể được xác định ởdạng ấn bởi phương trình: F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

Tuy nhiên, không phải bất kì mặt cong nào cũng có thể được xác định bằng hai dạng trên Một ví dụ điển hình cho vấn đề này là mặt helicoid (m t xo n ốc) Chúng ta ặ ắ

có th ể thấ ằy r ng với một điểm (𝑥, 𝑦) trên m t ph ng thìặ ẳ 𝑥, 𝑦 đề ẽ có hơn mộ u s t hình

chiếu lên mặt helicoid, vì vậy mà mặt cong này không th ể là đồ thị ủa mộ c t hàm

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Hình A1: Helicoid-m t xoặ ắn ốc-không ph ải là đồ thị𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Tham s hoá m t cong ố ặ

Ý nghĩa:

Như cách chúng ta thấy dễ hơn khi biểu diễn một đường cong trên một mặt phẳng và không gian b ng ảằ nh c a một đườủ ng thẳng dưới hàm véctơ r so với việc

biểu diễn nó dưới đồ th của hàm, chúng ta s th y ị ẽ ấ một trường hợp tương tự như vậy

cho các m t cong Tha vì sặ y ử d ng mụ ột tham số, chúng ta s sẽ ử d ng ụ hai tham số và

khảo sát một mặt cong trong không gian như là ảnh của các vùng xác định trong mặt phẳng

Phương pháp tham số hoá mặt cong

Cho: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤( ) ( ) ( ) ( )

là một hàm véctơ xác định cho mọi điểm 𝑢, 𝑣 trong miền xác định D ủa mặ c t ph ng ẳ (𝑢, 𝑣) Tập hợp của t t c các điểm ấ ả (𝑥, 𝑦, 𝑧) trong không gian ℝ3 thỏa phương trình

tham s ố{𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)

𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) với

( , )u v n m trong miằ ền D được gọi là tham s hóa m t cong ố ặ được bi u di n bể ễ ởi véctơ r

Do đó, khi (𝑢, 𝑣 nằm trong mi) ền xác định D, đầu của véctơ 𝐫 𝑢, 𝑣( ) s quét ẽ qua mọi điểm trong m t cong Hay nói cách khác, là ánh x cặ S r ạ ủa các điểm (𝑢, 𝑣) trong miền xác định lên một điểm 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) trên m t cong S sao cho ặ

miền xác định D được biến d ng thành mạ ặt S.

CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ

Định nghĩa vectơ pháp tuyến:

Trong hình h c, ọ pháp tuyến (hay trực giao) là một đ i tưố ợng như đường

thẳng, tiahoặ véctơc vuông góc với một đối tượng nhấ ịt đnh

Ví dụ: trong không gian hai chờng pháp tuy n cế ủa một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiế p tuy n vế ới đường cong tại điểm đó Còn trong không gian ba chiều ,đường th ng vuông góc vẳ ới mặt ph ng ti p tuy n cẳ ế ế ủa mặt cong tại một điểm được gọi là pháp vectơ của mặt cong tại điểm đó

Hình B1: Véctơ pháp tuyến của mặt cong

Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài b ng mằ ột (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không

Dấu đại số c a nó có th ủ ể biểu th hai phía c a b m t (bên trong ho c bên ị ủ ề ặ ặ ngoài)

Cách tìm véctơ pháp tuyến của mặt cong

Công thức pháp véctơ đơn vị ủ c a một mặt mức F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 có dạng

𝑛󰇍 = ±|∇𝐹|∇𝐹 hay 𝑛 󰇍󰇍󰇍 = (cos , cos , cos ) 

(trong đó ,, lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3 trục Ox, Oy, Oz v i pháp ớ véctơ)

Lưu ý: D u c ng hay tr tùy thu c vào yêu c u cấ ộ ừ ộ ầ ủa đề bài

Nếu phương trình tham số của mặt cong là {𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)

𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣), khi đó pháp véctơ đơn vị của mặt cong có công th c ứ là:

𝑛󰇍 = ± 𝐫′𝑢󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 × 𝐫′𝑣󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

|𝐫′𝑢󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 × 𝐫′𝑣󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 |

(trong đó: 𝐫′𝑢󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′ ) 𝐫′𝑢 𝑢 𝑢 và 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′ )𝑣 𝑣 𝑣 𝑣

Công th ức của hàm véctơ:

Ta có:𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤( ) ( ) ( ) ( )

Khi o hàm theo và theo ta có công th𝐫 đạ 𝑢 𝑣 ức như sau:

𝐫𝑢(𝑢0,𝑣0) = 𝜕𝑥𝜕𝑢 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 +𝜕𝑢 (𝑢𝜕𝑦 0, 𝑣0)𝐣 +𝜕𝑧𝜕𝑢 (𝑢0, 𝑣0)𝐤

𝐫𝑣(𝑢0 0,𝑣 ) =𝜕𝑥𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 +𝜕𝑦𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐣 + 𝜕𝑧𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐤 Công thức hàm véctơ pháp tuyến:

𝑛 = 𝐫𝑢(𝑢0 0, 𝑣 ) × 𝐫v(𝑢0,𝑣0)

Ta chi u m t cong (S) lên m t phế ặ ặ ẳng(UV), khi đó véctơ 𝐫 t o thành 2 ạ véctơ con là 𝐫󰇍󰇍󰇍 và 𝐫𝑢 󰇍󰇍󰇍 cùng n m trên m𝑣 ằ ột mặt ph ng ti p tuyẳ ế ến với m t cong t i ặ ạ điểm M(U0,V0).

Ta dùng tích có hướng cho hai véctơ 𝐫󰇍󰇍󰇍 và 𝐫𝑣𝑢 󰇍󰇍󰇍 thì s t o ra mẽ ạ ột véctơ mới

vuông góc với hai véctơ 𝐫󰇍󰇍󰇍 và 𝐫𝑢 󰇍󰇍󰇍 và cũng chính là 𝑣 véctơ pháp tuyến c a mủ ặt cong (S) tại điểm M(U0,V0).

Hình B1: Hình chi u hàm s r lên mi n D c a m t S ề ố ề ủ ặ

2 Phương pháp tìm véctơ pháp tuyến cho dạng tham số :

Khi đề bài cho ta một hàm véctơ:

𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤( ) ( ) ( ) ( )

Ta đạo hàm theo và : r 𝑢 𝑣

𝐫𝑢(𝑢0, 𝑣0) = 𝜕𝑥𝜕𝑢 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 +𝜕𝑢 (𝑢𝜕𝑦 0, 𝑣0)𝐣 +𝜕𝑧𝜕𝑢 (𝑢0, 𝑣0)𝐤

𝐫𝑣(𝑢0 0, 𝑣 ) =𝜕𝑥𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 +𝜕𝑦𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐣 + 𝜕𝑧𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐤 Sau đó ta sử ụng tích có hướ d ng giữa hai hàm véctơ trên để tìm ra hàm vecto pháp tuyến:

𝑛 = 𝐫𝑢(𝑢0, 𝑣0) × 𝐫v(𝑢0, 𝑣0)

I Các ví d ụ

VD B.1: Tìm pháp véctơ đơn vị ại điể t m 𝑀(1,1,0) của mặt trụ 𝑧 = 1 − 𝑥2

Giải

Ở đây ta có một véctơ pháp tuyế ại điểm n t 𝑀 là:

(−𝑧′ , −𝑧′ , 1) = 2𝑥, 0,1 = (2,0,1)𝑥 𝑦 ( )

⇒ pháp véctơ đơn vị ại điểm t 𝑀 là:

𝑛󰇍 = ± (2,0,1)

√22+ 02+ 12= ± 1

√5(2,0,1)

Ở đây, do ta lấy phía dưới tức 𝑧 < 0 nên ta chọ ấn d u tr ừ

Vậy 𝑛󰇍 = − 1

√5(2,0,1)

VD B.2: Tìm pháp véctơ đơn vị phía dưới mặt nón 𝑧 =√𝑥2+ 𝑦2 t ại điểm 𝑀(1, −1, √2)

Giải

Ta có th tham s hóa mể ố ặt nón với 𝐫 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑢 cos𝑣, 𝑢 sin𝑣, 𝑢) trong đó

𝑢 ≥ 0 và −𝜋2 ≤ 𝑣 ≤ 𝜋2

Khi đó { 𝐫𝐫 󰇍󰇍󰇍 = (cos𝑣, 𝑣, 1)𝑢 sin

𝑣

󰇍󰇍󰇍 = (−𝑢 𝑣, 𝑢 cos𝑣, 0)sin

và 󰇍󰇍󰇍 × 𝐫𝐫𝑢 󰇍󰇍󰇍 = −𝑢 cos𝑣, −𝑢 𝑣 ( sin𝑣) Khi đó:

𝑛󰇍 = ±|(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)| = ±(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢) 1

√2(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)

= ± 1

√2(− √

2

2 ,√22 , 1) với (𝑢, 𝑣) = ( 2,√ 𝜋4) Do vậy phía dưới m t nón, tặ ức là z < 0 nên ta chọn dấu trừ

Vậy 𝑛󰇍 = −√21 (−√22 ,√22 , 1)

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG CHO D NG THAM S Ạ Ố

Cơ sở lí thuyết

1 Mặt ph ng ti p di n cẳ ế ệ ủa m t cong S t ặ ừ phương trình tham số cho trước

Cho phương trình:

𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤

tại điểm P0 ứng với 𝑢 = 𝑢0, 𝑣 = 𝑣0

Nếu ta cố định𝑢 = 𝑢0 thì 𝐫( 𝑢0, 𝑣) xác định một đường cong C1 ⊂ S trong

không gian Tiếp tuy nế với đường cong này tại P0 có véctơ chỉ phương là

𝐫𝑣 = ∂𝑥∂𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 + ∂𝑣∂y (𝑢0,𝑣0)𝐣 + ∂z∂𝑣 (𝑢0,𝑣0)𝐤

Tương tự như vậy, nếu ta c ố định 𝑣 = 𝑣0 thì 𝐫( 𝑢0, 𝑣) xác định một đường

cong C ⊂ S2 trong không gian Ti p tuy n vế ế ới đường cong này tại P0có véc tơ chỉ

phương là

𝐫u = ∂𝑥∂u (𝑢0, 𝑣0)𝐢 + ∂u∂y (𝑢0, 𝑣0)𝐣 + ∂z∂u (𝑢0, 𝑣0)𝐤

Lấy tích có hướng của 𝐫u và 𝐫𝑣 ta được véctơ pháp tuyến của m t ph ng tiặ ẳ ếp

diện của mặt cong S tại điểm P0 N u tế ại P0, 𝐫u× 𝐫𝑣 ≠ 0 thì ta nói mặt cong S là trơn

tại P0

Lưu ý: Đường thẳng đi qua P0 và vuông góc v ới tiế p di ện c a S tủ ại P0 được gọi

là pháp tuyến của mặt S tạ P0 Nó nh n vi ậ éctơ N = 𝐫u× 𝐫𝑣 làm véctơ chỉ phương

2 Phương trình tiếp diện củ a m t cong cho bởi phương trình ặ 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)

Trường hợp đặc biệt, m t cong S cho bặ ởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) thì S có một tham s hóa t nhiên là ố ự { 𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣

𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

Khi đó, 𝐫𝑢 = (1,0, 𝑧′𝑢), 𝐫𝑣 = (1,0, 𝑧′𝑣) và do đó, véctơ pháp tuyến của mặt

cong S t i P là ạ 𝐫u∧ 𝐫𝑣 = |𝐢 𝐣 𝐤1 0 𝑧′𝑢

0 1 𝑧′𝑣| = (−𝑧′𝑢, −𝑧′𝑣, 1) = (−𝑧′𝑥, −𝑧′𝑦, 1)

Do đó, phương trình tiếp diện tại 𝑃(𝑥 , 𝑦0 0 0, 𝑧 ) là

𝑧 − 𝑧0 = 𝑧′𝑥(𝑀) (𝑥 − 𝑥0) + 𝑧′𝑦 (𝑀) (𝑦 − 𝑦0) (1.6)

3 Phương trình tiếp diện củ a m t cong cho bởi phương trình ặ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0và M(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )0 0 0 là một điểm chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)và các đạo hàm 𝑧′ , 𝑧′𝑥 𝑦được tính theo công thức

𝑧′ = −𝑥 𝑓′𝑓′𝑥𝑧, 𝑧′𝑦 = −𝑓′𝑦

𝑓′𝑧,

Áp d ng công thụ ức (1.6) ta được

• Phương trình tiếp diện tại M

𝑧 − 𝑧0 = −𝑓′ (𝑀)𝑥

𝑓′ (𝑀)𝑧 (𝑥 − 𝑥0) −𝑓′𝑦 (𝑀)

𝑓′ (𝑀)𝑧 (𝑦 − 𝑦0) (***)

n t

• Phương trình pháp tuyế ại M

(𝑑): (𝑥−𝑥0 ) 𝑓′ (𝑀)𝑥 =(𝑦−𝑦0 )

𝑓′ (𝑀)𝑦 = 𝑧−𝑧0

𝑓′ (𝑀)𝑧 (***)

Các ví d ụ

Vd: Viết phương trình tiếp di n c a mệ ủ ặt cong cho b ởi phương trình tham số 𝑥 =

𝑢2, 𝑦 = 𝑣2,𝑧 = 𝑢 + 2𝑣 tại điểm (1, 1, 3)

Giải

Ta có:

𝐫u = ∂u∂𝑥 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 + ∂y∂u (𝑢0, 𝑣0)𝐣 + ∂z∂u (𝑢0, 𝑣0)𝐤

𝐫𝑣 = ∂𝑥

∂𝑣 (𝑢0, 𝑣0)𝐢 + ∂𝑣∂y (𝑢0,𝑣0)𝐣 + ∂z∂𝑣 (𝑢0,𝑣0)𝐤

Do đó, 𝐫u∧ 𝐫𝑣 = |2𝑢 0 1𝐢 𝐣 𝐤

0 2𝑣 2| = −2𝑣𝐢 − 4𝑢𝐣 + 4𝑢𝑣𝐤 Điểm (1, 1, 3) ứng với giá trị 𝑢 = 𝑣 = 1 nên 𝐫u∧ 𝐫𝑣 = (−2, −4, 4) Vậy phương trình tiếp di n là: ệ

−2(𝑥 − 1) − 4(𝑦 − 1) + 4(𝑧 − 3) = 0 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0

TÍNH DI N TÍCH M T CONG CHO D NG THAM S Ệ Ặ Ạ Ố

Cơ sở lí thuyết

Mặt cong trong không gian có th ể xác định d ng n bở ạ ẩ ởi phương trình chung:

F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0

Ví dụ:Phương trình 𝑥2+ 𝑦 + 𝑧 − 1 = 02 2 xác định m t cong trong không ặ gian là một mặt cầu có bán kính bằng 1, tâm đặt tại gốc tọa độ O(0,0,0)

Ngoài ra, m t cong còn có th ặ ể xác định tổng quát ở dạng tham số :

{𝑥 = 𝑥(𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)𝑢, 𝑣)

𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) ; (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐻 ⊂ 𝑹

2

Để đơn giản hơn người ta thường cho phương trình tham số dưới dạng:

{ 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦( ) ; (𝑥, 𝑦) ∈ D ⊂ 𝐑

2

Hình D1: m t cong S b chia nh thàbh nh ng mặ ị ỏ ữ ặt 𝑆𝑖𝑗

Chia m t cong S thành nhiặ ều mặt cong nhỏ S có diij ện tích là ∆Sij và gọi D là ij

hình chi u cế ủa Sijxuống mặt phẳng O𝑥𝑦 Trong mỗi mặt cong S ijta lấy ng u nhiên ẫ điểm M ijchi u xu ng ế ố O𝑥𝑦 ta được điểm Pij Từ đó ta viết phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong S tại Mij (𝑥𝑖𝑗 𝑖𝑗, 𝑦 , 𝑧𝑖𝑗):

𝑧 − 𝑧𝑖𝑗= 𝑓′𝑥(𝑥𝑖𝑗, 𝑦𝑖𝑗)(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑓′𝑦(𝑥 , 𝑦𝑖𝑗𝑖𝑗 𝑖𝑗 )(𝑦 − 𝑦𝑖𝑗)

(v iớ 𝑧𝑖𝑗= 𝑓(𝑥𝑖𝑗, 𝑦𝑖𝑗)) Từ phương trình tiếp diện trên ta có pháp véctơ 𝑛󰇍 =

(−𝑓′ (𝑥 , 𝑦𝑥 𝑖𝑗 𝑖𝑗), −𝑓′𝑦(𝑥 , 𝑦𝑖𝑗), 1) Ta l i có 𝑖𝑗 ạ 𝑘󰇍 = (0,0,1) là pháp véc tơ của mặt phẳng O𝑥𝑦 nên góc 𝛾𝑖𝑗giữa mặt ph ng ti p di n và m t phẳ ế ệ ặ ẳng O𝑥𝑦 được tính như sau:

𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗=|< 𝑛󰇍 , 𝑘󰇍 >|

‖𝑛󰇍‖ ‖𝑘󰇍‖ =

1

√1 + 𝑓′𝑥(𝑥𝑖𝑗, 𝑦𝑖𝑗)2+ 𝑓′𝑦(𝑥 , 𝑦𝑖𝑗)𝑖𝑗 2

⇒Diện tích hình chi u D cế ij ủa Sij được tính theo công thức:

∆D = ∆S.𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 ⇒ ∆S𝑖𝑗= ∆𝐷𝑖𝑗

𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗= √1 + 𝑓′𝑥(𝑥𝑖𝑗, 𝑦𝑖𝑗)2+ 𝑓′𝑦(𝑥𝑖𝑗, 𝑦𝑖𝑗)2 ∆𝐷𝑖𝑗

Cộng tất cả các ∆S lạ ới nhau ta được diện tích của mặt cong S là i v tổng Reimmen c a ủ hàm hai biến:

S ≈ ∑ ∑√1 + 𝑓′𝑥(𝑥 , 𝑦𝑖𝑗 𝑖𝑗)2+ 𝑓′𝑦(𝑥 , 𝑦 )𝑖𝑗 𝑖𝑗 2∆𝐷𝑖𝑗

𝑛 𝑗=1

𝑚 𝑖=1 Theo định nghĩa tích phân kép ta sẽ được:

S = ∬√1 + (𝑓′ ) + (𝑓′ )𝑥 2 𝑦 2

.

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

Các ví d ụ

VD D.1 : Tính di n tích c a ph n m t cong ệ ủ ầ ặ 𝑥2+ 𝑦 + 𝑧 = 22 2 n m trong ằ

hình nón 𝑧2 = 𝑥 + 𝑦2 2

Giải

Ta có : z = ±√2 − 𝑥 − 𝑦2 2 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

⇒ 𝑓′𝑥 = √2−𝑥∓ 𝑥2 − 𝑦 2 , 𝑓′𝑦 = √2−𝑥∓ 𝑦2− 𝑦2

𝑆 = 2 ∬ √1 + 𝑓′( 𝑥)2 + (𝑓′ 𝑦)2

.

𝐷(𝑥,𝑦)

𝑑𝑥𝑑𝑦

Đổi bi n sang tọế a đ cực : ộ 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 + 𝑦 = 𝑟2 2 2

Ta có miền 𝐷 = { 𝑟, 𝜑( ) ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

⇒ S = 2 ∫ 𝑑𝜑 ∫ √1 + 02𝜋 01 2 − 𝑟𝑟2 2 𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋(2 − √2 )

VD D.2 : Tính di n tích c a ph n mệ ủ ầ ặt 𝑧 = 𝑥𝑦 ằ n m trong hình tr ụ

𝑥2+ 𝑦2 = 1

Giải

Ta có : 𝑧 =𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

⇒ 𝑓′𝑥 = 𝑦 , 𝑓′𝑦 = 𝑥

𝑆 = 2 ∬ √1 + 𝑓′( 𝑥)2 + (𝑓′ 𝑦)2

.

𝐷(𝑥,𝑦)

𝑑𝑥𝑑𝑦

Đổi bi n sang tọế a đ cực : ộ 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥2+ 𝑦 = 𝑟2 2

Ta có miền D = {(𝑟, 𝜑)∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑 ≤𝜋

2 𝑣à 𝜋 ≤ 𝜑 ≤3𝜋2 }

⇒ 𝑆 = 2 ∫ 𝑑𝜑𝜋2

0 ∫ √1 + (𝑟 sin𝜑)1 2+ (𝑟 cos𝜑)2

Phần Bài Tập

trình sau

1 𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤sin

2 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤sin

3 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 𝑣𝐣 + 𝑢sin 2𝐤

4 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤sin

Giải

1 𝐫(𝑢, 𝑣) = 2 cos 𝑢𝐢 + 2 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤sin

Đặt: 𝑥 = 2 cos 𝑢; 𝑦 = 2 𝑢sin ; 𝑧 = 𝑣

Ta có: 𝑥2+ 𝑦 = 2 (cos 𝑢 +2 2 2 sin2𝑢) = 4

Phương trình trên không chứ , không có điềa z u kiện cho 𝑣 => 𝑣 ∈ (−∞; +∞) Vậy m t cong là hình tr tròn có bán kính b ng 2 và chi u cao vô hặ r ụ ằ ề ạn

=> Hình (b)

2 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤sin

Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣; 𝑦 = 𝑢 𝑣sin ; 𝑧 = 𝑢

Ta có: 𝑥2+ 𝑦 = 𝑢 (cos 𝑣 +2 2 2 sin2𝑣) = 𝑢 = 𝑧2 2

=> Mặt cong có hình d ng là m t nón 2 phía ạ ặ

=> Hình (c)

3 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 𝑣𝐣 + 𝑢sin 2𝐤

Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣; 𝑦 = 𝑢 𝑣sin ; 𝑧 = 𝑢

Ta có: 𝑥2+ 𝑦 = 𝑢 (cos 𝑣 +2 2 2 sin2𝑣) = 𝑢 = 𝑧2

=> Mặt paraboloid elliptic

=> Hình (a)

4 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤sin

Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos , 𝑦 = 𝑢 𝑣sin , 𝑧 = 𝑣

*Cố định 𝑢 = 𝑢0

Gọi T là hình chi u cế ủa r lên m t ph ng Oxy ặ ẳ

=> T là đường tròn 𝑥2+ 𝑦 = 𝑢2

02 Với mỗi giá tr cị ủa 𝑣 ta ch có duy nh t 1 b giá trỉ ấ ộ ị 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng

=> Hình (d)

Bài t p 15- ậ 20: tìm các véctơ biểu diễn cho các mặt sau

15 Mặt phẳng đi qua điểm (2, 1, −3) và chứa các véctơ 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤 và 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤

16 Mặt phẳng 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6

17 Nửa dưới của mặ ầu t c 𝑥2+ 𝑦 + 𝑧 = 12 2

18 Nửa trên của mặt ellpisoid 9𝑥 + 4𝑦2 2+ 36𝑧2 = 36

19 Một ph n c a hình tr ầ ủ ụ𝑥2+ 𝑦 = 42 , cắt bởi các mặt 𝑧 = −1 𝑧 =và 3

20 Một ph n c a hình tr ầ ủ ụ9𝑦 + 4𝑧2 2= 36, cắt bởi các mặt 𝑥 = 0 𝑥 = 3 và

Giải

15 𝑎 = 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤,b = 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤

=> véctơ pháp tuyến 𝑛󰇍(−3,1, −5)

Mặt phẳng đi qua điểm (2,1, −3), có vtpt 𝑛󰇍(−3,1, −5) là:

− + y −3x 5z 10− = 0

Ta có 𝐫 = 𝐫0+ 𝑢𝑎 + 𝑣b = − + j −3i 5k + u(2𝐢 + 𝐣 − 𝐤) + 𝐯(𝐢 − 2𝐣 − 𝐤)

= (−3 + 2𝑢 + 𝑣)𝐢 + (1 + 𝑢 − 2𝑣)𝐣 + (−5 − 𝑢 − 𝑣)𝐤

16 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6

Đặt: 𝑥 = 𝑢, 𝑦 = 𝑣, 𝑧 = 6 − 2𝑥 + 3𝑦( )

= 6 − (2𝑢 + 3𝑣)

= 6 − 2𝑢 − 3𝑣 Véctơ biễu diễn mặt phẳng đã cho là: