Phương pháp tìm cực trị của hàm số trên tập xác định Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

1 Phương pháp giải

- Tìm tập xác định D của hàm số f

- Tính f’(x)

- Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x0D mà tại đó hàm f liên tục

nhưng f’(x0) không tồn tại

- Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x) ) hay định lý 3 (tính f’’(x)) để xác định điểm cực trị của

hàm số

Chú ý: Cho hàm số y f(x)  xác định trên D

Điểm x x  0 D là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:

 Tại x x  0 đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

 Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0

Ví dụ: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1

2

1 x

y

x



 2

2

x x 1 y

2x 4

  





Lời giải

1 Tập xác định : D  \ 0 

Ta có:

2

1

x

      x D, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị

Giới hạn :

lim y , lim y ;

x lim y , lim y x

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại x 3 , yCĐ 5

2

   ,hàm số đạt cực tiểu tại x 1 , yCT 1

2

  

2 Bài tập

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1

3 2

x

3

     2  3

y  x – 2 – 3x 4 

Lời giải

1 Tập xác định : D 

Ta có: y'   x2 4x 3  ,   x D:y' 0  x 1 , y(1) 13

x 3 , y(3) 1



 



1 2 3 1 lim y lim x

3 x x x

 

      

3

1 2 3 1 lim y lim x

3 x x x

 

      

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1  và yCT 1

3

  ,hàm số đạt cực đại tại x 3  và yCĐ 1

2 Tập xác định : D 

Ta có:  3

y' 3 x – 2  – 3 ,   x D: 2 2 x 1, y(1) 0

y' 0 3(x 2) 3 (x 2) 1

x 3 , y(3) 4



Giới hạn :

x lim y , lim y x

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x 3  và yCT   4,hàm số đạt cực đại tại x 1  và yCĐ  0

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1 y 1x4 x2 5

    2 y 2x  3 3x 1 

Lời giải

1 Tập xác định : D 

Ta có: y'   x3 2x   x(x2 2),   x D: y' 0 x 0 , y(0) 5

4

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 , yCĐ 5

4

2 Tập xác định : D 

Ta có: y' 6x  2  3 0   x D, suy ra hàm số đồng biến trên

3 1

x x

 

     

3

3 1 lim y lim x 2

x x

 

     

Bảng biến thiên

Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1 y   x4 2x2 3 2 y x – 2x  4 2  3

Lời giải

1 Tập xác định : D 

Ta có: y'   4x 3  4x   4x(x 2  1),   x D: y' 0 x 0 , y(0) 3

x 1 , y( 1) 4

      



Giới hạn :

x lim y ; lim y x

     

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , y  CT 3.

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x   1, yCĐ 4

2 Tập xác định : D 

Ta có: y' 4x  3  4x 4x(x  2  1),   x D: y' 0 x 0 , y(0) 3

x 1 , y( 1) 4

       



2 3 lim y lim x 1

x x

 

     

4

2 3 lim y lim x 1

x x

 

     

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểmx 0 , y  CĐ  3

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x   1 , yCT  4

Bài 4: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1

2

3 3x

2

    2 y x3 9x2 6

2

   

Lời giải

Tập xác định : 

Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 ,y  CT   7,hàm số đạt cực đại tại x 1, yCĐ 13

2

  

2 Tập xác định : D 

Ta có: y'   3x2 9x,   x D: y' 0 x 0 , y(0) 156

x 3 , y(3)

2



 



3

9 6 lim y lim x 1

2x x

 

     

3

3

9 6 lim y lim x 1

2x x

 

     

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, y  CT  6,hàm số đạt cực đại tại x 3 , yCĐ 15.

2

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

-

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí