Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Phương pháp

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D







x D ,f(x) M

M maxf(x)





x D ,f(x) m

x D ,f(x ) m

Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b )thì giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất

của f trên [a;b] luôn tồn tại , hơn nữa các giá trị này chỉ đạt được tại các điểm cực trị hoặc tại hai biên

a,b.Do đó trong trường hợp này để tìm



x [a,b] max f(x) , min f(x),ta có thể tiến hành một cách đơn giản hơn như sau:

 Tính f’(x) và tìm các nghiệm x ,x , ,x1 2  n thuộc (a;b) của phương trình f’(x) = 0

 Tính f(x ),f(x ), ,f(x ),f(a),f(b)1 2 n

 Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số

f trên [a,b]

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y  x4 2x2 5,x [ 2; 3]  

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D  , xét x [ 2; 3]  

Ta có: y' 4x  3 4x và y' 0   4x(x2    1) 0 x 0 hoặc x   1

y(0) 5; y( 1) 4; y(1) 4; y( 2) 13; y(3) 68       

Vậy,

x [ 2;3] max y 68

   khi x  3 và

x [ 2;3] min y 4

   khi x   1

Ví dụ 2 :

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y  x5 5x4 5x3 2,x [ 1; 2]  

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D  , xét x [ 1; 2]  

Ta có: y' 5x  4 20x3 15x2 và y' 0   5x4 20x3 15x2    0 x 0,x 1,  x 3 [ 1; 2]   

y(0) 2; y(1) 3; y( 1)      9; y(2)   6.

Vậy,

x [ 1;2] max y 3

   khi x 1  và

x [ 1;2] min y 9

    khi x   1

2 Bài tập

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1 y 3 x    x 2  4x 3  2   2  

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1     2

2    2

4 .y x 6   x 2  4,    x 0; 3 

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1  

 

2 2

y

2 2

y

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1  1 3  1 2   

y x   4 1 x  trên đoạn  1;1 

3

2 2

y



 trên khoảng 0; 

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1.y (x 3)    x 2  2x 3  2 y  45 20x  2  2x 3 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

Với x ( ;1) (3;), y' 2x – 5 hay y' 2 x – 2    1

Ta thấy: y' 0  với x (   ;1 và y' 0  với x (3;   )

Với x (1; 3), y'  2x 3 và y' 0   x 3 (1; 3)

2

Tại x 1  : y'(1 )   2(1) 3 1, y'(1 ) 2(1) 5        3  y'(1) không tồn tại

Tại x3: y'(3 ) 2(3) 5 1,    y'(3 )  2(3) 3  3 y'(3)không tồn tại

2

Từ bảng biến thiên trên suy ra

min y 0 , max ykhông tồn tại

2



 



2

2

4 x x 1 khi x [1; 2]

y

4 x 1 x khi x [ 2;1]

2

x (1; 2) x (1; 2)

2

  





2

2 2

x ( 2;1)

x ( 2;1)

Tại x 1 : y'(1 )     1  1 , y'(1 )   1   1 y'(1)

Tại x 2 , x    2 thì y' không xác định

Từ bảng biến thiên trên suy ra



x D

x D

max y 2 2 1 , min y 1

Bài 2:

1 maxf(x) f( 2) 5;   min f(x) f   5  0

2 Ta có :          

2

2

  



0 x 2

4 x x max y  y( 2) 2 2; min y      y( 2) 2

3 Hàm số xác định  2x x  2     0 0 x 2

2

Tại hai điểm x 0 ,x 2   thì y’ không tồn tại

y' 0,x (0; 2)



  x 2 2.

2

       

x D

x D

maxf(x) 3 2 , min f(x) 2

4

x 0;3 min y 12, max y x 0;3 3 13

       

Bài 3:

1



x x

max y , min y

2 maxf(x) 7, minf(x) 5

2

Chú ý: Với bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp miền giá trị như sau:

2

2 2

* y 20 (1)

3 có nghiệm

* Nếu y 20 (1)

3 có nghiệm    2   

' 2y 19y 35 0   5 y 7

Bài 4:

y'

.Bình phương hai vế ta có phương trình hệ quả

(2x 1) [(2x 1) 3] (2x 1) [(2x 1) 3]

(2x 1) (2x 1) x 0 thay vào (1) ta thấy 1   1 vô lý

Vậy phương trình y' 0  vô nghiệm hay y' không đổi dấu trên , mày'(0) 1 0    y' 0 x   

2 Xét trên miền    2 x 5, ta có :       

2



  

2

2

3 x

x









2

2

3

2 x 5

2 3

Chú ý: Vì ( x  2  4x 21) ( x    2  3x 10) x 11 0       y 0

 2           

y (x 3)(7 x) (x 2)(5 x) 2r(x 3)(7 x)(x 2)(5 x)

 (x 3)(5 x)    (x 2)(7 x)   2  2 2

Bài 5:

1 *y(0) 3 , y(4)   23 , y(3)  21

* y liên tục trên [0; 4] và có đạo hàm trên (0; 4)

2 Đặt t  x ,x2   1;1     t 0;1 

Hàm số đã cho viết lại   3  3

f t  t  4 1 t  ,t  0;1

Ta có   2  2  2 

f ' t  3t  12 1 t    3 3t  8t 4 

t 2

 



và f 0  4,f 1  1

3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng 0; 

y

Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 0;  khi hàm số

f x  9x   1 x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0;  Ta có:  

2

9x

 với mọi x 0; 

Ta tìm nghiệm của phương trình f ' x  trên khoảng 0; 





 

3

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khi x 0 

Bài 5:

1        

2

2

x 1

2

2 2

2 Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

 2   2  2  2 2  2 BCS   

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

Suy ra y 6 2x 2x 3 Áp dụng bất đẳng thức a  b a b ,ta có







(6 2x)(3 2x) 0

3

4

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí