Lý thuyết và bài tập về các loại đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

Định nghĩa Cho hàm số y f x   xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a;   ) ,( ; b) hoặc

(   ; ) Đường thẳng y y  0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong

các điều kiện sau được thỏa mãn:   0

x lim f x y

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Định nghĩa Đường thẳng x x  0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x    nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

x x0

lim f x





  hoặc  

x x0

lim f x





 hoặc  

x x0

lim f x





  hoặc  

x x0

lim f x





 

3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN

Định nghĩa

Đường thẳng y ax b,a 0    ,được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x    nếu ít nhất

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

      hoặc      

      Trong đó

f x

x

f x

x

Ví dụ

1 Cho hàm số y 2x 1 1

x 2

 có đồ thị là (C) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (C) , qua M vẽ hai

đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của (C) , hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một hình bình hành , chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi

2 Tìm m  để hàm số y mx 1

x

  có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến

đường tiệm cận xiên của nó bằng 2

17

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên      ; 2  2; 

Gọi MNIP là hình bình hành tạo bời hai tiệm cận của (C) và hai đường thẳng vẽ từ M lần lượt song song với hai tiệm cận này

0 0

1



0 0

N TCX

 

1



Đường thẳng MN qua M và song song với TCĐ nên có phương trình là :

0

x – x  0  d I,MN    2 x0   2 x0

Diện tích của hình bình hành MNIP:

0

1

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  ; 0  0; 

Ta có :

2

1

x

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y' 0  có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

x

         và điểm cực tiểu của hàm số là A 1 ; 2 m

m

Vì

    nên  d : y  mx là đường cận xiên

 

1

d A, d



17.m  2 m   1 4m  17m 4 0    m  4 hoặc m 1

4



4 BÀI TẬP

Bài 1

1 Cho hàm số

y

1 x



 (1) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1)

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

2

y

x 1



 Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên

hoặc ngang là nhỏ nhất

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  ;1  1; 

Ta có :

2

1 x



Vì

x lim [y ( x m)] 0 , lim [y ( x m)] 0 x

          nên đường thẳng  d y    x m là tiệm cận xiên của đồ

thị hàm số (1)

 d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A 0; m    và B m; 0 

Diện tích tam giác OAB : S 1OA.OB 1y xA B 1m 2

Theo giả thiết ta có : S 1 m2 1 m 1.

2

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên      ; 1  1; 

2

Vì

ngang của hàm số

2 2







Vậy d O;d  nhỏ nhất bằng 2 khi 2

2

1

Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y  2

Bài 2

1 Cho hàm số

2

1 x y x



 có đồ thị là (C) Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho

2 Cho hàm số y x 2

x 3





 , có đồ thị là  C Tìm tất cả các điểm M thuộc  C sao cho khoảng cách từ M

đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

3 Tìm trên đồ thị   x 2

C : y

x 3





 những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận

đứng bằng 1

5 khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  ; 0  0; 

0 0

0

1

x

0

1

2x

    2 0 0

0

1

2x



Vậy, các điểm cần tìm là M 1; 0

2.Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  ; 3  3; 

Giả sử 0

0

5

M x ;1



  là điểm thuộc đồ thị  C , x0 3 Khi đó khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 x0 3

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 2

0

5 d





Theo giả thiết d1 5d2 hay  2

0

25

 , phương trình này có 2 nghiệm x0  2 hoặc

0

x  8

Vậy, M 2; 0 , M 8; 2  là tọa độ cần tìm

3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  ; 3  3; 

Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là  d : x 3, d1   2 : y 1 

0





0 0



Vậy có 2 điểm thỏa mãn M 2; 4 ,M1   2 4; 6

Chú ý:

1  1  2 0

0

5



2 d M,d 1  d M,d 2 2 d M,d d M,d 1  2 2 5

Bài 3

1 Cho hàm số y 2x 1 2

2x 1

 có đồ thị là (C) hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho

khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất

2 Cho hàm số y 3 2x

x



 có đồ thị là (C) Tìm các điểm trên (C) có tổng các khoảng cách từ đó đến hai

trục tọa độ nhỏ nhất

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ;1 1;

   

M thuộc nhánh phải của (C) ,suy ra M 1 a; 2a 1 , a 0

N thuộc nhánh trái của (C), suy ra N 1 b; 2b 1 , b 0

2 2

MN 4 2;



Vậy hai điểm cần tìm là M 1 1 ; 0





2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên  ; 0  0; 

0 0

A (C)   A(x ; y )với 0

0

3

x

   , d(A,Ox)  y0 , d(A,Oy)  x0

0 0

T d(A,Ox) d(A,Oy)    y  x

Nếu A thuộc nhánh trái của (C) thì y0  2 khi đó T  2.Mặt khác giao điểm của (C) với trục Ox là

3

2

2

   ,suy ra điểm cần tìm thuộc nhánh phải của (C)

Như vậy ta chỉ cần xét các điểm A thuộc nhánh phải của (C) (x0 0)

0

3

x

Lập bảng biến thiên của hàm số T trên 0; 

3 2x

0

3

x

2

* Nếu

0

3

x

2

    thì 0

0

3

x

Ta có:

2 0

3

x

   với mọi x0 3,

2

  

*Tại x0 3

2



   

, T' 3 1



   

Vì T' 3 T' 3

nên T' 3

2

 

 

  không tồn tại

Bảng biến thiên của hàm số T

Suy ra minT 3

2

 đạt được khi x0 3

2

 Vậy điểm cần tìm là E 3; 0

2

Bài 4

Cho hàm số:y 2m x

x m





 có đồ thị là  Cm Cho A 0;1  và I là tâm đối xứng Tìm m để trên  Cm tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A

Lời giải

Xét B b;2m b (C )m

b m

m 2b

m b

  Ta có I( m; 1)  AI ( m; 2)  

Tam giác ABI vuông cân tại

2 2

A



 





 



    

* b  2 thay vào (1) ta được: m 4 m m2 3m 4 0

m 2

* b   2 thay vào (1) ta được: m 4 m m2 3m 4 0

m 2

Vậy m   1, m   4 là những giá trị cần tìm

Bài 5.Tùy theo giá trị của tham số m  Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

3

x 1 y







Lời giải

* m 0       y x 1 đồ thị hàm số không có tiệm cận

*

x 1



 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x  và

x  

Vì

x 1 x 1

1

3

   đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

* m 0

m 1

 



 

1

m

Đường thẳng y 0  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đường thẳng

3

1 x m

 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

m

x 3m



1 Tìm m  để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị  Cm bằng 450

2 Tìm m  để đồ thị  Cm có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, Bsao cho tam giác  AOB có diện tích bằng 4

Lời giải

Ta có: y mx 2 6m 2

x 3m





Đồ thị hàm số có hai tiệm cận 6m 2 0 m 1

3

Phương trình hai đường tiệm cận là: 1: x   3m   x 3m 0 

Và 2: y mx 2    mx y 2 0   

Véc tơ pháp tuyến của 1và 2 lần lượt là : n1 1; 0 ,n2m; 1  

1 Góc giữa 1 và 2 bằng 450 khi và chỉ khi

1 2

0 n n

n n



2 2 2

2

Vậy m   1 là những giá trị cần tìm

2 Hàm số có tiệm cận xiên

1 m 3

 



 



 Khi đó:  

2

m

Ta có: S ABC 1OA.OB 4 1 2 2 4 m 2

Vậy m   2 là những giá trị cần tìm

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí