Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến hàm số lượng giác

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN

ĐẾN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x    trên D ta tính y', tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu

hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN

Chú ý:

* Nếu hàm số y f x    luôn tăng hoặc luôn giảm trên a; b  thì

[a;b]

[a;b]

maxf(x) max{f(a),f(b)}; min f(x) min{f(a),f(b)}

* Nếu hàm số y f x    liên tục trên a; b  thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN,

GTNN ta làm như sau

B1: Tính y' và tìm các điểm x , x , ,x1 2 n mà tại đó y' triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm

B2: Tính các giá trị f(x ),f(x ), ,f(x ),f(a),f(b)1 2 n Khi đó

x [a;b] max f(x) max{f(x ), ,f(x ),f(a),f(b)}

x [a;b] min f(x) min{f(x ), ,f(x ),f(a),f(b)}

* Nếu hàm số y f x    là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T

* Cho hàm số y f x    xác định trên D Khi đặt ẩn phụ tu(x), ta

tìm được t E  với x D   , ta có y g t    thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàmg

trên E

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm

GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức

để tìm Max, Min

Chú ý:

Nếu hàm số y f x    là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm

GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T

* Cho hàm số y f x    xác định trên D Khi đặt ẩn phụ t  u x , ta tìm được t E  với x D   , ta có

 

y g t  thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm gtrên E

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm

GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức

để tìm Max, Min

* Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản :

+ Giá trị lớn nhất của hàm số y f x    trên D với cực đại của hàm số

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x    trên D với cực tiểu của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x    trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương

Lưu ý:

t  sin x, t  1, t  cos x, t  1

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

2

sin x 1 y

sin x sin x 1





Lời giải

Hàm số đã cho xác định D 

Đặt t  sin x, t  1, ta có:

2

t 1 y





  với t [ 1;1] 

Ta có:

2

y'

 



2

y' 0     t 2t    0 t 0 hoặc t     2 [ 1;1]

2

3

Vậy,

t [ 1;1] max y 1

   khi x 0  và

x [ 1;1] min y 0

   khi x   1

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC không tù Tìm GTLN của biểu thức : P cos 2A 2 2 cos B cosC     

Lời giải

2

Đẳng thức có  cos A cos A 2 



Đẳng thức xảy ra cosB C 1

2



  Đặt t sinA 0 t 2

Ta có: P   4t 2  4 2t 1 f t    

Xét hàm số   2

f t , t 0;

2



2

Lập bảng biến thiên ta có:   2

Đẳng thức xảy ra

2

0 0

cos A cos A

A 90

B C

sin



 







Vậy maxP 3

2 Bài tập

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1 y x sin2x   trên đoạn ;

2 2

  

3

4

3

  trên đoạn 0; 

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1 sin x cos x

y

1 sin x cos x

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau g(x) f(sin x)f cos x  2  2  trong đó hàm f thỏa mãn:

f(cot x) sin 2x cos 2x  x [0; ]

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1 y 2 cosx 6 sin x

2

  trên đoạn  0; 

2 y sin x cos x 2  4  2 

3 y x sin 2x   trên đoạn ;

2

   

4.

2

sin x 1 y

sin x sin x 1





5

sin x cos x cos x sin x y

sin x cos x







6 y 2cos x6 3cos 2x

4

7 y sin x cos x  3  3





9 y  1 sin x   1 cos x 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1 Ta có: y    1 2cos 2x với mọi x ;

2 2

   

  Ta tìm nghiệm của phương trình y' trên khoảng 2 2;

   

1 2 cos 2x 0 x

6

2 2

x

2 2

6

                   

2 Đặt t=sinx,x      0;  t 0;1 

Hàm số đã cho viết lại: 3  

y = 2t 4t = f t

3

3

  liên tục trên đoạn 0;1 

Ta có : f ' t   2 4t 2, với mọi t  0;1 Ta tìm nghiệm của phương trình y' trên khoảng  0;1





2

x [0; ] t [0;1]

 

x [0; ] min y t [0;1] min f =f 0 = 0 khi t = 0 sin x 0 x 0 x

Bài 2:

1





2

2 2 2

3

4 y

2



4 t

2 t với 0 t 1   ,

Ta có

 

 

2

 2

2x

1 x   y sin t cos 2t 1     2sin t sin t 2 2  

Đặt u sin t    sin1 u sin1      y 2u 2   u 2

Ta cóy' 4u 1 y' 0  u 1

8

Bài 3: Đặt t cot x 



2



2 2

f(t)

   

u sin xcos x; 0 u

4

2

4

 hàm số h(u) luôn tăng trên  

1 0;

4 nên  

 

 

 

1

u 0;

4

max h(u) h

  

1

u 0;

4

Bài 4:

1 Đặt sinx t t 0;1

f t  2 1 t  1  6t , t  0;1 , ta suy ra  

x 0;

   

  

x 0;

5 10 max y

4

   



2 y sin x cos x 2 sin x sin x 3  4  2   4  2  Đặt t sin x,0 t 1  2  

Xét hàm số   2

f t  t   t 3 liên tục trên đoạn 0;1 

 

t 0;1

 

t 0;1

 

3 Ta có : f ' x  1 2cos 2x, x

2



6 6 6

  

   



 

  2t 1

f t





  liên tục trên đoạn  1; 1

t 1;1

2

   



t 1;1

   

5 Vì sin x  cos x  sin x cos x 1, x2  2   

sin x cos x cos x sin x y





y  sin xcos x 1  sin xcos x  sin xcos x

2 3



   Đặt t  sin 2x ; 0 t 1  

Xét hàm số :   1 3 1 2 1



   liên tục trên đoạn 0;1 

4

   Đặt t cos x,0 t 1  2  

Khi đó   6 3 2 

4

    với mọi t  0;1 

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g t  trên đoạn 0;1  Ta có:

2

  với mọi t  0;1 Ta tìm nghiệm của phương trình g' t  trên khoảng  0;1 và

2

5 max y

4

 khi x  và min y 1

4

 khi x

4





4

Khi đó   1 2 3

    với mọi t  2; 2 

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g t  trên đoạn  2; 2 

  Ta có:

   với mọi t   2; 2

8

4

1

8

9 Hàm số đã cho xác định khi 1 sin x 0

1 cos x 0



 

2

y 0   y  sin x cos x 2 2 sin x cos x sin xcos x 1 *      

Khi đó  * viết lại   1 2 

2

f t



 



Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí