Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

BÀI TOÁN TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

1 Phương pháp giải

 Tìm TXĐ

 Tính y’

 Hàm số đồng biến trên  y' 0, x   

( Hàm số nghịch biến trên  y' 0, x   

Từ đó suy ra điều kiện của m

Chú ý: Cho hàm số y f(x)  có đạo hàm liên tục trên D

 Hàm số đồng biến trên I  D  f '(x) 0, x I    và f '(x) 0  có hữu hạn nghiệm

 Hàm số đồng biến trên I  D  f '(x) 0, x I    và f '(x) 0  có hữu hạn nghiệm

Ví dụ 1: Định m để hàm số y mx 4

x m





 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D  \{ m}    ; m   m; 

Ta có:

2 2

y'

(x m)







Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng   ; m và  m; 

y' 0

  ,   x D  m 2    4 0 m   2 hoặc m 2 

Vậy, với m   2hoặc m 2  thì hàm số luôn đồng biến trên các khoảng   ; m và  m; 

Ví dụ 2 : Định m để hàm số luôn đồng biến:

1 y  x3 3x2 mx m 

2 y  mx3 (2m 1)x  2 (m 2)x 2  

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định D 

Ta có: y' 3x  2 6x m 

Cách 1: Hàm số luôn đồng biến trên  y' 0, x    , thì phải có   ' 0, tức 9 3m 0   hay m  3

Vậy, với m  3 thì hàm số luôn đồng biến trên

Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên  y' 0, x    , thì phải có 2

m   3x  6x Xét hàm số

g x   3x  6xtrên và có g' x   6x 6  , g' x     0 x 1

Bảng biến thiên:

x   1 

g'(x)  0 

g(x)

3

 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m g(x)  với   x  m 3 

2 Hàm số đã cho xác định D 

Ta có: y' 3mx  2 2(2m 1)x m 2   

Hàm số luôn đồng biến trên  y' 0, x    , thì phải có ' 0

 

 

 , tức 4m2 4m 1 3m(m 2) 0

     







  







 m 0

Vậy, với m  0 thì hàm số luôn đồng biến trên

2 Bài tập

Bài 1: Tìm a để hàm số y 1x3 ax2 4x 3

3

    đồng biến trên

Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

x m

 



y

x 1

    





Bài 3: Tìm m để hàm số:

1

3

x

3

2 y (m 1)x   3 3(m 1)x  2 3(2m 3)x m   nghịch biến trên

3 1 2  3   2

3

     luôn nghịch biến trên

     đồng biến trên tập xác định của nó

5 y x 1 m x    2 1 đồng biến trên

Bài 4: Tìm m để hàm số:

2

y

2x 1

  



 nghịch biến trên từng khoảng xác định

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

Cách 1: Hàm số đã cho đồng biến trên  y' 0  ,   x nghĩa là ta luôn có:   ' a2  4 0

   

Cách 2 : Tham khảo cách giải sau, bạn đọc đúc kết gì qua 2 lời giải

Bảng xét dấu  '

a   2 2 

'

  0  0 

 Nếu    2 a 2 thì y' 0  với mọi x  Hàm số y đồng biến trên

 Nếu a  2 thì  2

y'  x 2  , ta có : y' 0     x 2,y' 0,x    2 Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng    ; 2 và   2;  nên hàm số y đồng biến trên

 Tương tự nếu a   2 Hàm số y đồng biến trên

 Nếu a   2 hoặc a  2 thì y' 0  có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 Giả sử x1 x2 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x ; x1 2,đồng biến trên mỗi khoảng  ; x1và x ;2  Do đó a   2 hoặc a2 không thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài 2:

1   3 m 1 

2

    , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1, 1; 

 m 1

2

 khi đó phương trình y' 0  có hai nghiệm x1  1 x2hàm số đồng biến trên mỗi khoảng x ;11 

và 1; x 2, trường hợp này không thỏa

Bài 3:

1 Vì đạo hàm không thể triệt tiêu tại vô hạn điểm nên

Hàm số đồng biến trên  y' 0 x   

2

         (1)

TH 1: Nếu m   2 khi đó (1) luôn đúng với mọi x  m   2 thỏa bài toán

TH 2: Nếu m   2 khi đó (1)    

     



' (m 2)(4m 1) 0

1

2 m

4

    

2  m 1 y'  3 0 x  hàm số nghịch biến trên

 m 1 

Hàm số nghịch biến trên

2

m 1 0

  



 

      



m 1

m 1

m 2 0

 

      Vậy m 1 

3 Hàm số y đồng biến trên khi và chỉ khi  y' 0, x   

 Xét m2   1 0 m   1

3

4

          

m 1   y' 3 0     x  m   1 thoả mãn yêu cầu bài toán

 Xét m2   1 0 m   1

 Nếu m    1 m 2  thì y' 0  với mọi x  Hàm số y đồng biến trên

 Nếu m 2  thì  2

y' 3 x 1   , ta có : y' 0     x 1,y' 0,x    1 Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng    ; 1 và   1; nên hàm số y đồng biến trên

 Nếu   1 m 2,m 1   thì y' 0  có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 Giả sử x1 x2 Khi đó hàm số nghịch

biến trên khoảng x ; x1 2,đồng biến trên mỗi khoảng  ; x1và x ;2  Do đó   1 m 2,m 1   không

thoả mãn yêu cầu bài toán

Do đó hàm số y đồng biến trên khi và chỉ khi m    1 m 2 

4 Hàm số đồng biến trên D   x D, y' 0     x D, x 2   x 4    m (1)

Xét hàm f(x)  x 2   x 4  Khi đó (1)    x D,f(x)   m

Lập bảng biến thiên của f(x) trên [4;  ) f '(x) 1 1 0 x (4; )

     

Lại có f(x) liên tục trên [4;  ),do đó f(x) đồng biến trên [4;  ),suy ra

x [4; min f(x) f(4) ) 2

số đã cho đồng biến trên D  m   2

5   x , y' 0    1 m     0 1 m 1 

Bài 4: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y' 0, x 1

2

   tức  6x2 6x 4 m 0   

, x 1

2

   m 11

2



Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí