Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

1 Phương pháp

B1.Tìm tập xác định của hàm số f

B2 Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm x sao cho 0 f x'( 0)= 0 hoặc f x'( 0)không xác định

B3 Lập bảng xét dấu f x'( ),dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của

hàm số

B4 Kết luận

Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 x





 2

2x 1

x 1





Lời giải

1 Tập xác định : D  \ 1 

Ta có:

2

2

(x 1)



  x D,suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định Giới hạn

x lim y 4 , lim y x 4;

xlim y1 , lim yx1

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1)và (1;  )

2 Tập xác định : D  \  1

Ta có:

2

1

(x 1)

  x D, suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định Giới hạn

x lim y 2 , lim y x 2;

lim y , lim y

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; 1)và (  1; )

2 Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1

2

x

y

1 x



 2

2

x x 5 y

x 2





Lời giải

1 Tập xác định : D  \ 1 

Ta có:

2 2

x 2x y'

(1 x)





x D:

  y' 0 x 0 , y 0

x 2 , y 4



Giới hạn

lim y , lim y ;

x lim y , lim y x

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)và (2;  );

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0;1) và (1;2)

2 Tập xác định : D  \  2

Ta có:

2

3

(x 2)

  x D,suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

Giới hạn

lim y , lim y ;

x lim y , lim y x

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (  ; 2)và (  2; )

Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

3

x 4x 8 f(x)

x 2





Lời giải

Tập xác định : D  \ 2 

Ta có:

(3x 4)(x 2) (x 4x 8) 2x 6x

f '(x)

x D:

  f '(x) 0   2x 3  6x 2    0 x 0 hoặc x 3 

Giới hạn:

lim f(x) , lim f(x) ;

x lim f(x) , lim f(x) x

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2 và  2; 3 ;

Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 

Bài 3 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y  x – 3x3 2 4 2

3 2

x

3

Lời giải

Tập xác định : D 

Ta có: y' 3x – 6x 2

x D:

  y' 0 x 0 , y(0) 4

x 2 , y(2) 0



lim y lim x 1 , lim y lim x 1

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; )0 và (2 ;  );

Hàm số nghịch biến trên  0; 2

2 Tập xác định : D 

y' x   2x 3   x 1    2 0   x D, suy ra hàm số đồng biến trên

Giới hạn:

x lim y , lim y x

Bảng biến thiên

Bài 4 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y  x4 2x – 4 2 2 y 1x4 2x2 2

4

Lời giải

1 Tập xác định : D 

Ta có: y' 4x  3 4x 4x(x  2 1)

x D:

  y' 0    x 0 , y(0)   4

Giới hạn: 4

2 4

2 4

x x

 

4

2 4

2 4 lim y lim x 1

x x

 

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;);

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 0)

2 Tập xác định : D 

Ta có: y' x  3 4x  x(x2 4).

x D:

  y' 0 x 0 , y(0) 2

x 2 , y( 2) 2



Giới hạn:

x lim y ;

  

x lim y

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên hai khoảng (- 2;0) và (2;+);

Hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-; - 2) và (0;2)

Bài 5 Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y 9x7 7x6 7x5 12

5

    2 y 2x5 3x4 3x2 2x 1

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: 4 2

y' 7x 3x 1  

y' 0  với x 0  hoặc x 1

3

 và y' 0  với mọi x 0  , x 1

3



Hàm số đồng biến trên nửa khoảng  ; 0 , đoạn 0;1

3

  và nửa khoảng

1

; 3





  Từ đó suy ra hàm số đồng

biến trên

2 Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: y' x 2  1 2x 2  3x 2  

y' 0   x   1 hoặc x 1  vì 2x2 3x 2 0,     x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 1 và 1; , nghịch biến trên khoảng

 1;1

3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

x 1







x 1







x 1







2 4x







Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1

2

x 4x 4

y

x 1





3

2

x x 1

y

x 1

 





2

2

4x 5x 5 y

x 1





4

2

x 2x 1 y

x 2





Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y x  3 3x2 2

3 y 4x3 2x2 x 3

3

5 y   x3 3x2 24x 26 

2

3 2

x 3x

4 y  x3 6x2 9x 3 

Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1 y   2x4 4x2

3 y 1x4 3x2 1

2 y  x4 6x2 8x 1 

4

Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến trên :y 2x9 x6 2x3 3x2 6x 1

3

ĐÁP SỐ

Bài 1:

1 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng  ;1và 1; ( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định )

2 Hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1và 1; ( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi

khoảng xác định )

3 Hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1và 1; ( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi

khoảng xác định )

4 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng ;1

2

 

1

; 2

 

 ( hay hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng xác định )

Bài 2:

1 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: (   ; 2) và (0;  ), nghịch biến trên các khoảng: ( 2; 1)   và

( 1; 0) 

2 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: (   ; 2) và (0;  ), nghịch biến trên các khoảng: ( 2; 1)   và

( 1; 0) 

3 Hàm số đồng biến trên (  ; 0) và (2;  ) Hàm số nghịch biến trên (0;1)và (1; 2)

4 Hàm số đồng biến trên các khoảng   5; 2 và  2;1, nghịch biến trên các khoảng   ; 5và 1;  Bài 3:

1 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng (  ; 0) và(2;  ), nghịch biến trên khoảng (0; 2)

2 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng (  ;1)và (2;  ), nghịch biến trên khoảng (1;2)

3 Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ;1

2

 

1

; 2





Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên

4 Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1và 3;  , nghịch biến trên  1;3

5 Trên khoảng 4; 2:y' 0   y đồng biến trên khoảng  4; 2,

Trên mỗi khoảng   ; 4 , 2;  :y' 0   y nghịch biến trên các khoảng  ; 4 , 2; 

Bài 4:

1 Hàm số đồng biến trên (   ; 1) và (0;1); nghịch biến trên ( 1; 0)  và (1;  )

2 Hàm số đồng biến trên ( 2;   ), nghịch biến trên (   ; 2)

3 Hàm số y đồng biến trên khoảng (  ; 0), nghịch biến trên(0;  )

4 Hàm số y đồng biến trên khoảng (   ; 1), nghịch biến trên khoảng ( 1;   )

Bài 5: y' 6(x  8 x5 x2  x 1)

Xét các trường hợp sau

x (   ; 0], khi đó 8 5 2

x  0 , x  0 , x  ,x 0  y' 0 x (   ;0]

x (0;1], khi đó x 2  x , 1 x 0 , x 5   8   0 y' 0 x (0;1]   

x  (1; ), khi đó x 8  x , x 5 2   x y' 0 x (1;     )

Vậy   x R , y' 0  ,suy ra hàm số đồng biến trên

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức

Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí